தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் — பாட இறுதி வினா விடைக் குறிப்பு (பயிற்சி 9.10)

பயிற்சி 9.10 — விடைச் சுருக்கம்

ஒவ்வொரு வினாவுக்கும் சரியான தேர்வும், ஒரு வரி காரணமும்:

1. தேர்வு (1) \(\dfrac{\pi}{6}\): \(\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-u^2}}=\sin^{-1}\tfrac{u}{a}\); \(\tfrac{1}{3}\sin^{-1}1=\tfrac{\pi}{6}\).
2. தேர்வு (3) \(\dfrac{5}{2}\): \(\int_{-1}^{0}(-x)+\int_{0}^{2}x=\tfrac12+2\).
3. தேர்வு (3) \(0\): \(\sin^4x\cos^3x\) ஆனது \(x=\tfrac{\pi}{2}\) பற்றி ஒற்றைச் சார்பு போல் — \([0,\pi]\) இல் நீங்கும்.
4. தேர்வு (4) \(\dfrac{2}{3}\): சமச்சார்பு; \(u=\sin x\), \(2\int_0^1 u^2\,du\).
5. தேர்வு (4) \(24\): \(\Gamma(5)=4!=24\).
6. தேர்வு (3) \(\dfrac{3}{8}\): \(\int_0^\infty e^{-2x}x^3\,dx=\dfrac{3!}{2^4}=\dfrac{6}{16}\).
7. தேர்வு (3) \(\dfrac{2}{3}\): \(\int_0^{\pi/2}\cos^3x\,dx=\dfrac{2}{3}\) (ஒற்றைப்படை, \(\tfrac{\pi}{2}\) இல்லை).
8. தேர்வு (3) \(\dfrac{\pi}{4}\): \(\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx=\tfrac12\cdot\tfrac{\pi}{2}\).
9. தேர்வு (2) \(\dfrac{\pi}{4}\): \(f(x)+f(\tfrac{\pi}{2}-x)\) முறையால் \(2I=\tfrac{\pi}{2}\).
10. தேர்வு (1) \(0\): ஒற்றைச் சார்பின் சமச்சீர் இடைவெளித் தொகையீடு.
11. தேர்வு (4) \(9\): ரீமான் கூட்டுத்தொகை \(\to\int_0^1 x\,dx=\tfrac12\); \(18\times\tfrac12\).
12. தேர்வு (2) \(\dfrac{7}{3}\): \(\int_1^2 x^2\,dx=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}\).
13. தேர்வு (2) \(4\): \(\int_0^2 2x\,dx=[x^2]_0^2\).
14. தேர்வு (4) \(1\): \(\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin\tfrac{\pi}{2}\).
15. தேர்வு (4) \(4\): \(\int_0^\pi\sin x+\big|\int_\pi^{2\pi}\sin x\big|=2+2\).
16. தேர்வு (4) \(\pi ab\): நீள்வட்டப் பரப்பு \(=4\times\tfrac{\pi ab}{4}\).
17. தேர்வு (3) \(\dfrac{\pi a^{2}}{2}\): \(V=\pi\int_0^a y\,dy=\tfrac{\pi a^2}{2}\).
18. தேர்வு (4) \(\sqrt{\pi}\): \(\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi}\).
19. தேர்வு (2) \(\pi a^{2}\): வட்டப் பரப்பு \(=4\times\tfrac{\pi a^2}{4}\).
20. தேர்வு (1) \(2\displaystyle\int_{0}^{a} f(x)\,dx\): சமச்சார்பின் சமச்சீர்ப் பண்பு.

குறிப்பு: சரியான தேர்வுகளின் இடங்கள் ஆங்கிலப் பதிப்பில் (முதல் கட்டம்) ஏற்கனவே நிர்ணயிக்கப்பட்டுள்ளன; இத்தமிழ்ப் பதிப்பு அதே வினாக்களுக்கு மொழிபெயர்ப்பை இணைக்கிறது.