Every multiple-choice question from அணிகள் மற்றும் அணிக்கோ ைவகளின் பயன்பாடுகள் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல், Samacheer Kalvi) with the correct option highlighted and a clear, worked explanation. 25 questions in all — free to read in English and Tamil.
Q1
\( \lvert \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) \rvert = \lvert A \rvert^{9} \) எனில், சதுர அணி \( A \) -யின் வரிசை
- A. \( 3 \)
- B. \( 4 \)Correct
- C. \( 2 \)
- D. \( 5 \)
Explanation. எந்த \( n \times n \) வரிசை சதுர அணிக்கும் \( \lvert \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) \rvert = \lvert A \rvert^{(n-1)^{2}} \) என்பது அறியப்பட்ட முடிவு. கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் இடப்புறம் \( \lvert A \rvert^{9} \) ஆக உள்ளதால் அடுக்குகளை சமப்படுத்த,
\[ (n-1)^{2} = 9 \;\Rightarrow\; n-1 = 3 \;\Rightarrow\; n = 4. \]
எனவே அணியின் வரிசை \( 4 \). சரியான விடை: தேர்வு 2.
Q2
\( A \) என்பது \( 3 \times 3 \) பூச்சியமற்ற கோவை அணி, \( A A^{T} = A^{T} A \) மற்றும் \( B = A^{-1} A^{T} \) எனில், \( B B^{T} = \)
- A. \( A \)
- B. \( B \)
- C. \( I_{3} \)Correct
- D. \( B^{T} \)
Explanation. \( B = A^{-1} A^{T} \) என எடுத்துக்கொள்க. முதலில் இடமாற்றியைக் காண்போம்:
\[ B^{T} = (A^{-1} A^{T})^{T} = (A^{T})^{T}(A^{-1})^{T} = A\,(A^{T})^{-1}. \]
இப்போது
\[ B B^{T} = A^{-1} A^{T} \cdot A (A^{T})^{-1}. \]
கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை \( A^{T} A = A A^{T} \) -ஐப் பயன்படுத்தி நடுவில் உள்ள \( A^{T} A \) -ஐ \( A A^{T} \) ஆக மாற்ற,
\[ B B^{T} = A^{-1} (A A^{T})(A^{T})^{-1} = (A^{-1} A)(A^{T}(A^{T})^{-1}) = I \cdot I = I_{3}. \]
எனவே \( B B^{T} = I_{3} \). சரியான விடை: தேர்வு 3.
Q3
\( A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \), \( B = \operatorname{adj} A \) மற்றும் \( C = 3A \) எனில், \( \dfrac{\lvert \operatorname{adj} B \rvert}{\lvert C \rvert} = \)
- A. \( \dfrac{1}{3} \)
- B. \( \dfrac{1}{9} \)Correct
- C. \( \dfrac{1}{4} \)
- D. \( 1 \)
Explanation. முதலில் \( \lvert A \rvert \) காண்போம்:
\[ \lvert A \rvert = (3)(2) - (5)(1) = 6 - 5 = 1. \]
\( 2 \times 2 \) அணிக்கு \( B = \operatorname{adj} A \) எனில் \( \lvert B \rvert = \lvert A \rvert^{\,n-1} = \lvert A \rvert^{1} = 1 \).
மீண்டும் \( \lvert \operatorname{adj} B \rvert = \lvert B \rvert^{\,n-1} = 1^{1} = 1 \).
\( C = 3A \) என்பது \( 2 \times 2 \) அணியாதலால் \( \lvert C \rvert = 3^{2}\lvert A \rvert = 9 \times 1 = 9 \).
\[ \frac{\lvert \operatorname{adj} B \rvert}{\lvert C \rvert} = \frac{1}{9}. \]
சரியான விடை: தேர்வு 2.
Q4
\( A\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \) எனில், \( A = \)
- A. \( \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \)
- B. \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \)
- C. \( \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)Correct
- D. \( \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)
Explanation. \( P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \) என எடுத்துக்கொண்டால் \( A P = 6 I \), எனவே \( A = 6 P^{-1} \).
\( \lvert P \rvert = (1)(4) - (-2)(1) = 4 + 2 = 6 \), மற்றும்
\[ P^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}. \]
எனவே
\[ A = 6 \cdot \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}. \]
சரியான விடை: தேர்வு 3.
Q5
\( A \) ஒரு \( 3 \times 3 \) பூச்சியமற்ற கோவை அணி எனில், \( A(\operatorname{adj} A) = \)
- A. \( A^{-1} \)
- B. \( A \)
- C. \( \operatorname{adj} A \)
- D. \( \lvert A \rvert\, I \)Correct
Explanation. அணிகளின் அடிப்படை முற்றொருமை:
\[ A(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{adj} A) A = \lvert A \rvert\, I. \]
இங்கு \( A \) என்பது \( 3 \times 3 \) ஆதலால் \( A(\operatorname{adj} A) = \lvert A \rvert\, I_{3} \). தரப்பட்ட தேர்வுகளில் இதற்கு இணையானது \( \lvert A \rvert\, I \).
சரியான விடை: தேர்வு 4.
Q6
\( A \), \( B \) ஆகியவை ஒரே வரிசையுடைய பூச்சியமற்ற கோவை சதுர அணிகள் எனில், கீழ்க்காண்பவற்றுள் எது சரியானது?
- A. \( (AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1} \)
- B. \( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \)Correct
- C. \( (AB)^{-1} \) இல்லை
- D. \( (AB)^{-1} = (BA)^{-1} \)
Explanation. நேர்மாறு அணிகளின் இடமாற்று விதிப்படி, இரண்டு பெருக்கல் சாத்தியமான அணிகளுக்கு
\[ (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \]
(வரிசை மாறி வருகிறது). இதுவே சரியான முடிவு; \( A^{-1} B^{-1} \) என்பது பொதுவாக சரியல்ல, ஏனெனில் அணிப் பெருக்கல் பரிமாற்றம் (commutative) அல்ல.
சரியான விடை: தேர்வு 2.
Q7
\( A = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \) மற்றும் \( A(\operatorname{adj} A) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \) எனில், \( k = \)
- A. \( 0 \)
- B. \( \sin\theta \)
- C. \( \cos\theta \)
- D. \( 1 \)Correct
Explanation. \( A(\operatorname{adj} A) = \lvert A \rvert\, I \) ஆதலால் \( k = \lvert A \rvert \).
\[ \lvert A \rvert = \cos\theta \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot (-\sin\theta) = \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1. \]
எனவே \( k = 1 \). சரியான விடை: தேர்வு 4.
Q8
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \) மற்றும் \( B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \) எனில், \( \lvert \operatorname{adj}(AB) \rvert = \)
- A. \( -16 \)
- B. \( -80 \) அல்லாதது
- C. \( 0 \)
- D. \( -80 \)Correct
Explanation. \( n \times n \) அணிக்கு \( \lvert \operatorname{adj} M \rvert = \lvert M \rvert^{\,n-1} \). இங்கு \( n = 2 \) ஆதலால் \( \lvert \operatorname{adj}(AB) \rvert = \lvert AB \rvert = \lvert A \rvert \lvert B \rvert \).
\( \lvert A \rvert = (2)(5) - (0)(1) = 10 \), \( \lvert B \rvert = (1)(0) - (4)(2) = -8 \).
\[ \lvert \operatorname{adj}(AB) \rvert = (10)(-8) = -80. \]
சரியான விடை: தேர்வு 4.
Q9
\( A \), \( B \), \( C \) ஆகியவை ஒரே வரிசையுடைய பூச்சியமற்ற கோவை அணிகள் எனில், கீழ்க்காண்பவற்றுள் எது சரியானது?
- A. \( (ABC)^{-1} = A^{-1} B^{-1} C^{-1} \)
- B. \( (AB)^{T} = B^{T} A^{T} \)Correct
- C. \( (AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1} \)
- D. \( (ABC)^{T} = A^{T} B^{T} C^{T} \)
Explanation. இடமாற்றியின் (transpose) பண்பு: இரண்டு அணிகளின் பெருக்கலுக்கு
\[ (AB)^{T} = B^{T} A^{T} \]
(பெருக்கல் வரிசை தலைகீழாகிறது). எனவே \( (AB)^{T} = B^{T} A^{T} \) என்பதே சரியான முடிவு; \( A^{T} B^{T} \) பொதுவாக சரியல்ல.
சரியான விடை: தேர்வு 2.
Q10
\( A \), \( B \) ஆகியவை பூச்சியமற்ற கோவை சதுர அணிகள் மற்றும் ஒரே வரிசையுடையவை எனில், \( (AB)^{-1} = \)
- A. \( B^{-1} A^{-1} \)Correct
- B. \( A^{-1} B^{-1} \)
- C. \( A^{-1} B \)
- D. \( A B^{-1} \)
Explanation. நேர்மாறு அணியின் இடமாற்று விதி:
\[ (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}. \]
சரிபார்ப்பு: \( (AB)(B^{-1} A^{-1}) = A(B B^{-1})A^{-1} = A I A^{-1} = I \). எனவே \( B^{-1} A^{-1} \) என்பதே \( AB \) -யின் நேர்மாறு.
சரியான விடை: தேர்வு 1.
Q11
\( A \) ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை சதுர அணி எனில், \( \left(\dfrac{1}{2}A\right)^{-1} = \) (இங்கு \( A \) ஆனது \( 2 \times 2 \) அணி)
- A. \( A^{-1} \)
- B. \( 2 A^{-1} \)Correct
- C. \( \dfrac{1}{2} A^{-1} \)
- D. \( 4 A^{-1} \)
Explanation. எண் மடங்குக்கான விதி: ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற எண் \( k \) -க்கு \( (kA)^{-1} = \dfrac{1}{k} A^{-1} \).
இங்கு \( k = \dfrac{1}{2} \) ஆதலால்
\[ \left(\tfrac{1}{2}A\right)^{-1} = \frac{1}{1/2} A^{-1} = 2 A^{-1}. \]
சரியான விடை: தேர்வு 2.
Q12
\( A = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \) எனில், \( 9 I_{2} - A = \)
- A. \( A^{-1} \)
- B. \( \dfrac{1}{2} A^{-1} \)
- C. \( 3 A^{-1} \)
- D. \( 2 A^{-1} \)Correct
Explanation. இது கெய்லி–ஹாமில்டன் கருத்தாக்கத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. \( A \) -யின் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு:
\[ A^{2} - (\text{tr}A)\,A + \lvert A \rvert I = 0, \]
இங்கு \( \text{tr}A = 7 + 2 = 9 \), \( \lvert A \rvert = (7)(2)-(3)(4) = 14 - 12 = 2 \). எனவே \( A^{2} - 9A + 2I = 0 \), அதாவது \( A(9I - A)/2 \cdots \) என்பதிலிருந்து \( A^{-1} = \dfrac{1}{2}(9I - A) \), அதாவது \( 9I - A = 2 A^{-1} \).
\[ A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{pmatrix},\qquad 2A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}. \]
எனவே \( 9I_{2} - A = 2 A^{-1} \). சரியான விடை: தேர்வு 4.
Q13
\( \rho(A) = \rho([A \mid B]) = \) மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட சிறியது எனில், \( AX = B \) தொகுப்பின் தீர்வுகளின் தன்மை யாது?
- A. எண்ணற்ற தீர்வுகள்Correct
- B. தனித்த ஒரே தீர்வு
- C. தீர்வே இல்லை
- D. சமச்சீர் தீர்வு மட்டும்
Explanation. தரம் (rank) முறையின் முடிவு: \( \rho(A) = \rho([A \mid B]) = r \) எனில் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது (consistent).
- \( r = \) மாறிகளின் எண்ணிக்கை \( \Rightarrow \) ஒரே ஒரு தனித்த தீர்வு.
- \( r < \) மாறிகளின் எண்ணிக்கை \( \Rightarrow \) எண்ணற்ற தீர்வுகள் (பல அளபுருக்கள் கொண்ட தீர்வுக் குடும்பம்).
இங்கு தரம் மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட சிறியதாக இருப்பதால் தொகுப்புக்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.
சரியான விடை: தேர்வு 1.
Q14
\( A \) ஒரு \( 2 \times 2 \) அணி, \( \lvert A \rvert = 2 \) எனில், \( \lvert \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) \rvert = ? \) (மேலும் \( B = \operatorname{adj} A \))
- A. \( A \)
- B. \( \lvert A \rvert \)Correct
- C. \( I \)
- D. \( A^{2} \)
Explanation. \( n \times n \) அணிக்கு \( \lvert \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) \rvert = \lvert A \rvert^{(n-1)^{2}} \). இங்கு \( n = 2 \) ஆதலால் அடுக்கு \( (2-1)^{2} = 1 \).
\[ \lvert \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) \rvert = \lvert A \rvert^{1} = 2. \]
எனவே மதிப்பு \( A \) -யின் கோவையே ஆகும். சரியான விடை: தேர்வு 2.
Q15
\( A \) என்பது \( n \times n \) கோவையற்ற அணி, \( k \) ஒரு பூஜ்ஜியமற்ற திசையிலி எனில், \( \operatorname{adj}(kA) = \)
- A. \( 0 \)
- B. \( k\,\operatorname{adj}(A) \)
- C. \( k^{n}\,\operatorname{adj}(A) \)
- D. \( k^{\,n-1}\,\operatorname{adj}(A) \)Correct
Explanation. எண் மடங்குக்கான சேர்ப்பு அணி விதி:
\[ \operatorname{adj}(kA) = k^{\,n-1}\,\operatorname{adj}(A). \]
இங்கு அடுக்கு \( n-1 \), ஏனெனில் சேர்ப்பு அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் \( (n-1) \) வரிசை சிற்றணிக் கோவையிலிருந்து உருவாகிறது; ஒவ்வொரு உறுப்பிலிருந்தும் \( k \) காரணியாக \( (n-1) \) முறை வெளிவருகிறது.
சரியான விடை: தேர்வு 4.
Q16
\( A \) ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை சதுர அணி எனில், \( (A^{-1})^{-1} = \)
- A. \( A^{-1} \)
- B. \( I \)
- C. \( A \)Correct
- D. \( A^{T} \)
Explanation. நேர்மாறின் நேர்மாறு அதே அணியே. \( A^{-1} \) -ஐ \( A \) பெருக்கினால் \( A A^{-1} = I \) கிடைப்பதால், \( A^{-1} \) -யின் நேர்மாறு \( A \) ஆகும்.
\[ (A^{-1})^{-1} = A. \]
சரியான விடை: தேர்வு 3.
Q17
\( A \), \( B \) ஆகியவை \( n \times n \) வரிசை அணிகள் எனில், \( \det(AB) = \)
- A. \( \det(A) + \det(B) \)
- B. \( \det(A)\,\det(B) \)Correct
- C. \( \det(A) - \det(B) \)
- D. \( 1 \)
Explanation. கோவைகளின் பெருக்கல் விதி:
\[ \det(AB) = \det(A)\,\det(B). \]
இரண்டு சதுர அணிகளின் பெருக்கலின் கோவை, அவற்றின் தனித் தனிக் கோவைகளின் பெருக்கலுக்குச் சமம். எனவே \( \det(AB) = \det(A)\det(B) \).
சரியான விடை: தேர்வு 2.
Q18
ஒரு \( 3 \times 3 \) அணியின் தரம் (rank) \( 3 \) எனில், அதன் கோவை குறித்து கீழ்க்காண்பவற்றுள் எது சரியானது?
- A. \( \lvert A \rvert \neq 0 \)Correct
- B. \( \lvert A \rvert = 0 \)
- C. \( \lvert A \rvert = 1 \)
- D. \( \lvert A \rvert = 3 \)
Explanation. \( 3 \times 3 \) அணியின் தரம் \( 3 \) (மிகச் சிறந்த தரம்) என்பது, அதன் \( 3 \times 3 \) சிற்றணிக் கோவை — அதாவது அணியின் கோவை — பூஜ்ஜியமல்ல என்பதைக் குறிக்கிறது.
\[ \rho(A) = 3 \;\Rightarrow\; \lvert A \rvert \neq 0. \]
அதாவது அணி கோவையற்றது (non-singular). சரியான விடை: தேர்வு 1.
Q19
\( x \), \( y \) ஆகியவற்றில் கீழ்க்காணும் ஒருபடித் தொகுப்பு \( x + y = 0 \), \( \ldots \) க்கு வெளிப்படையற்ற (non-trivial) தீர்வு கிடைக்க, தொடர்புடைய கெழு அணியின் கோவை யாதாக இருக்க வேண்டும்?
- A. \( \lvert A \rvert > 0 \)
- B. \( \lvert A \rvert = 1 \)
- C. \( \lvert A \rvert \neq 0 \)
- D. \( \lvert A \rvert = 0 \)Correct
Explanation. ஒருபடித் தொகுப்பு \( AX = O \) க்கு வெளிப்படையற்ற தீர்வு (அதாவது \( X \neq O \)) கிடைக்க வேண்டுமெனில், கெழு அணி கோவையற்றதாக இருக்கக் கூடாது:
\[ \lvert A \rvert = 0. \]
\( \lvert A \rvert \neq 0 \) எனில் ஒரே ஒரு வெளிப்படைத் தீர்வு \( X = O \) மட்டுமே இருக்கும். எனவே வெளிப்படையற்ற தீர்வுக்கான நிபந்தனை \( \lvert A \rvert = 0 \).
சரியான விடை: தேர்வு 4.
Q20
கீழ்க்காண்பவற்றுள் எவை சரியானவை?
(i) எந்த அணியின் தரமும் அதன் இடமாற்றியின் தரத்திற்குச் சமம்.
(ii) ஒரு படிநிலை வடிவ அணியின் தரம், அதன் பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம்.
(iii) \( n \times n \) அலகு அணியின் தரம் \( n \).
(iv) கோவையற்ற அணியின் தரம், அதன் வரிசையை விட சிறியது.
- A. (i) மட்டும்
- B. (ii), (iii) மட்டும்
- C. (iii), (iv) மட்டும்
- D. (i), (ii), (iii) மட்டும்Correct
Explanation. ஒவ்வொன்றாக ஆராய்வோம்:
- (i) சரி — \( \rho(A) = \rho(A^{T}) \) எப்போதும் உண்மை.
- (ii) சரி — படிநிலை (echelon) வடிவில் தரம் = பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை.
- (iii) சரி — \( I_{n} \) -யின் தரம் \( n \), ஏனெனில் \( \lvert I_{n} \rvert = 1 \neq 0 \).
- (iv) தவறு — கோவையற்ற \( n \times n \) அணியின் தரம் சரியாக \( n \), அதன் வரிசைக்கே சமம்; சிறியதல்ல.
எனவே (i), (ii), (iii) மட்டும் சரி; (iv) தவறு. சரியான விடை: தேர்வு 4.
Q21
\( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \) மற்றும் \( B = \begin{pmatrix} a & 1 \\ b & -1 \end{pmatrix} \) ஆகியவை \( (A + B)^{2} = A^{2} + B^{2} \) -ஐ நிறைவு செய்தால் \( a \), \( b \) -யின் மதிப்புகள்
- A. \( a = 4,\; b = 1 \)
- B. \( a = 1,\; b = 4 \)Correct
- C. \( a = 0,\; b = 4 \)
- D. \( a = 2,\; b = 4 \)
Explanation. \( (A+B)^{2} = A^{2} + AB + BA + B^{2} \). கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை \( (A+B)^{2} = A^{2} + B^{2} \) -ஐ நிறைவேற்ற
\[ AB + BA = O. \]
\( AB \) மற்றும் \( BA \) -ஐக் கணக்கிட்டு கூட்டினால், ஒவ்வொரு உறுப்பும் பூஜ்ஜியமாக வேண்டும் என்ற நிபந்தனைகள் கிடைக்கும். அவற்றைத் தீர்த்தால்
\[ a = 1, \qquad b = 4. \]
சரியான விடை: தேர்வு 2.
Q22
ஒரு சீரான நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு \( AX = B \) -க்கு கெழு அணியின் கோவை \( \lvert A \rvert = 0 \) ஆகவும், விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் தரம் கெழு அணியின் தரத்தை விட பெரியதாகவும் இருந்தால், தீர்வுகளின் தன்மை
- A. தனித்த ஒரே தீர்வு
- B. எண்ணற்ற தீர்வுகள்
- C. வெளிப்படைத் தீர்வு மட்டும்
- D. தீர்வே இல்லைCorrect
Explanation. தரம் முறையின்படி, \( \rho(A) \neq \rho([A \mid B]) \) எனில் (அதாவது விரிவுபடுத்திய அணியின் தரம் பெரியது) தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது (inconsistent) — எந்த தீர்வும் கிடையாது.
\[ \rho(A) < \rho([A\mid B]) \;\Rightarrow\; \text{தீர்வே இல்லை.} \]
சரியான விடை: தேர்வு 4.
Q23
ஒருபடி நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு \( AX = O \) க்கு கெழு அணியின் தரம் மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம் எனில், தீர்வுகளின் தன்மை
- A. எண்ணற்ற தீர்வுகள்
- B. தீர்வே இல்லை
- C. இரண்டு தீர்வுகள்
- D. வெளிப்படைத் தீர்வு மட்டும் \(( X = O )\)Correct
Explanation. ஒருபடித் தொகுப்பு \( AX = O \) எப்போதும் ஒருங்கமைவுடையது (குறைந்தபட்சம் \( X = O \) என்ற வெளிப்படைத் தீர்வு உண்டு).
- தரம் = மாறிகளின் எண்ணிக்கை \( \Rightarrow \) வெளிப்படைத் தீர்வு \( X = O \) மட்டுமே (தனித்த தீர்வு).
- தரம் < மாறிகளின் எண்ணிக்கை \( \Rightarrow \) வெளிப்படையற்ற தீர்வுகளும் உண்டு (எண்ணற்றவை).
இங்கு தரம் = மாறிகளின் எண்ணிக்கை ஆதலால் வெளிப்படைத் தீர்வு மட்டுமே — அதாவது \( x = y = z = 0 \).
சரியான விடை: தேர்வு 4.
Q24
\( A \) ஒரு \( 3 \times 3 \) அணி, \( \rho(A) = \rho([A \mid B]) = 2 \) எனில், \( AX = B \) தொகுப்பின் தீர்வுக் குடும்பத்தில் உள்ள அளபுருக்களின் (parameters) எண்ணிக்கை
- A. \( 0 \)
- B. \( 3 \)
- C. \( 2 \)
- D. \( 1 \)Correct
Explanation. ஒருங்கமைவுடைய தொகுப்பின் சுதந்திர அளபுருக்களின் எண்ணிக்கை
\[ = (\text{மாறிகளின் எண்ணிக்கை}) - \rho(A). \]
இங்கு மாறிகள் \( 3 \) (\( x, y, z \)), மற்றும் \( \rho(A) = 2 \). எனவே அளபுருக்களின் எண்ணிக்கை \( 3 - 2 = 1 \). அதாவது ஒரு அளபுரு கொண்ட தீர்வுக் குடும்பம் (எண்ணற்ற தீர்வுகள்).
சரியான விடை: தேர்வு 4.
Q25
சங்கேத மொழியியலில் (cryptography), செய்தியை சங்கேதப்படுத்த ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை அணி \( A \) (encoding matrix) பயன்படுத்தப்படுகிறது. சங்கேதப்படுத்தப்பட்ட செய்தியை மீண்டும் மொழிமாற்றம் (decode) செய்ய தேவையான அணி
- A. \( A^{-1} \) (நேர்மாறு அணி)Correct
- B. \( A^{T} \) (இடமாற்று அணி)
- C. \( \operatorname{adj} A \) (சேர்ப்பு அணி)
- D. \( A \) (அதே அணி)
Explanation. சங்கேதப்படுத்தும்போது மூலச் செய்தி நிரையணி \( M \) -ஐ எண்ம அணி \( A \) ஆல் பெருக்கி \( C = M A \) (அல்லது \( A M \)) என்ற சங்கேதச் செய்தி உருவாகிறது. அதை மீட்க
\[ M = C\,A^{-1}, \]
எனவே மொழிமாற்றத்திற்கு (decoding) எண்ம அணியின் நேர்மாறு அணி \( A^{-1} \) தேவை. இதனால்தான் \( A \) கோவையற்றதாக (\( \lvert A \rvert \neq 0 \)) இருக்க வேண்டும் — இல்லையேல் \( A^{-1} \) இருக்காது, மீட்பும் சாத்தியமாகாது.
சரியான விடை: தேர்வு 1.