நிகழ்தகவு பரவல்கள் — சூத்திரத் தாள்

நிகழ்தகவு நிறை / அடர்த்தி சார்புகள்

• தனிநிலை pmf நிபந்தனைகள்: \(f(x_i)\geq 0,\qquad \displaystyle\sum_i f(x_i)=1\).
• தொடர்ச்சியான pdf நிபந்தனைகள்: \(f(x)\geq 0,\qquad \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1\).
• இடைவெளி நிகழ்தகவு: \(P(a\leq X\leq b)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\).

பரவல் சார்பு (cdf)

• வரையறை: \(F(x)=P(X\leq x)\).
• தொடர்ச்சியான: \(F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}f(u)\,du,\qquad f(x)=F'(x)\).
• தனிநிலை: \(F(x)=\displaystyle\sum_{x_i\leq x} f(x_i),\qquad P(X=x_i)=F(x_i)-F(x_i^{-})\).
• \(F(-\infty)=0,\quad F(\infty)=1,\quad F\) குறையாத சார்பு.

எதிர்பார்ப்பு, சராசரி, பரவற்படி

• \(E(X)=\displaystyle\sum_i x_i f(x_i)\) (தனிநிலை), \(E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\,dx\) (தொடர்ச்சியான).
• \(E(X^{2})=\displaystyle\sum_i x_i^{2} f(x_i)\) அல்லது \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^{2} f(x)\,dx\).
• \(\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2},\qquad \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}\).
• \(E(aX+b)=aE(X)+b\).
• \(\operatorname{Var}(aX+b)=a^{2}\operatorname{Var}(X)\).
• \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\).

சிறப்புப் பரவல்கள்

• பெர்னோலி: \(f(x)=p^{x}q^{\,1-x},\ x=0,1\); சராசரி \(p\), பரவற்படி \(pq\) \((q=1-p)\).
• ஈருறுப்பு \(B(n,p)\): \(f(x)=\dbinom{n}{x}p^{x}q^{\,n-x},\ x=0,1,\dots,n\); சராசரி \(\mu=np\), பரவற்படி \(\sigma^{2}=npq\), திட்ட விலக்கம் \(\sqrt{npq}\).
• ஒரு புள்ளி (\(x_0\)): சராசரி \(x_0\), பரவற்படி \(0\).
• இரு புள்ளி (\(x_1,x_2\)), \(p=q=\tfrac{1}{2}\): சராசரி \(\dfrac{x_1+x_2}{2}\), பரவற்படி \(\dfrac{(x_2-x_1)^{2}}{4}\).