12ஆம் வகுப்பு கணிதம்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள் மற்றும் புத்தக வினா விடைகள்

கணிதவியல் பற்றி

கடினம் ~360 மணி நேரப் படிப்பு

11ஆம் வகுப்பில் கற்ற கருவிகளை 12ஆம் வகுப்பு கணிதத்தில் பெரிய கணக்குகளில் பயன்படுத்துகிறீர்கள். மூன்று சமன்பாடுகள் கொண்ட தொகுப்பை அணி மூலம் தீர்க்கிறீர்கள். ஒரு கலப்பு எண்ணைத் துருவ வடிவில் எழுதி அதன் கனமூலங்களைக் காண்கிறீர்கள். ஒரு தகரத் தாளிலிருந்து செய்யக்கூடிய மிகப்பெரிய பெட்டியை வகைக்கெழு மூலம் கண்டுபிடிக்கிறீர்கள்.

பாடங்கள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை. ஒரு சமன்பாட்டுத் தொகுப்புக்குத் தீர்வு உண்டா என்பதை அணியின் தரம் (Rank) முடிவு செய்கிறது. மெய்க் கெழுக்கள் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மெய்யல்லாத மூலங்கள் ஏன் இணை ஜோடிகளாக வருகின்றன என்பதைச் சமன்பாட்டியலில் கலப்பு எண்கள் விளக்குகின்றன. வெக்டர் பெருக்கல்கள் மூலம் வெளியில் உள்ள கோடுகள், தளங்களின் சமன்பாடுகளை எழுதுகிறீர்கள். இரண்டாம் தொகுதியின் பெரும்பகுதியை வகையிடலும் தொகையிடலும் எடுத்துக்கொள்கின்றன. அங்கே தொடுகோடுகள், பெருமம் மற்றும் சிறுமம், வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட பரப்பு, சுழற்சியால் உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவு ஆகியவற்றைக் காண்கிறீர்கள்.

பொதுத்தேர்வில் சூத்திரம் தெரிந்தால் மட்டும் போதாது. கணக்கைப் படித்து, சரியான முறையைத் தேர்ந்தெடுத்து, கணக்கீட்டில் பிழையின்றி ஒவ்வொரு படியையும் முடிக்க வேண்டும். இதே பழக்கங்கள் பின்னர் நுழைவுத் தேர்வுகளிலும், கல்லூரியில் கணிதம், இயற்பியல், பொறியியல் படிப்புகளிலும் கைகொடுக்கும்.

நீங்கள் கற்பவை

• அணிகள், அணிக்கோவைகள் மூலம் நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளைத் தீர்க்கவும், ஒரு தொகுப்பு எப்போது ஒருங்கமைவு உடையது என்று முடிவு செய்யவும் முடியும்.
• கலப்பு எண்களை ஆர்கன்ட் தளத்தில் குறித்து, அவற்றின் அடுக்குகளையும் மூலங்களையும் காண முடியும்.
• கூம்பு வெட்டிகளின் சமன்பாடுகளையும், முப்பரிமாணத்தில் கோடுகள், தளங்களின் சமன்பாடுகளையும் எழுதிப் பயன்படுத்த முடியும்.
• வகைக்கெழுக்கள் மூலம் மாறுவீதம், தொடுகோடுகள், பெரும மற்றும் சிறும மதிப்புகளைக் காண முடியும்.
• வரையறுத்த தொகையிடல் மூலம் பகுதிகளின் பரப்பையும் சுழற்சித் திடப்பொருள்களின் கன அளவையும் காண முடியும்.
• வளர்ச்சி, சிதைவு போன்ற கணக்குகளுக்கு முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை அமைத்துத் தீர்க்க முடியும்.
• ஒரு கூட்டுக் கூற்று மெய்மமா அல்லது முரண்பாடா என்று சோதிக்க மெய்மை அட்டவணைகளை அமைக்க முடியும்.
• ஒரு சமவாய்ப்புச் சோதனைக்குப் பொருத்தமான நிகழ்தகவுப் பரவலைத் தேர்ந்தெடுத்து அதன் சராசரி, பரவற்படியைக் காண முடியும்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• 10, 11ஆம் வகுப்பு இயற்கணிதம். இருபடிச் சமன்பாடுகள், அடிப்படை அணிகள் உட்பட.
• முக்கோணவியல் விகிதங்கள், முற்றொருமைகள், திட்டக் கோணங்களில் அவற்றின் மதிப்புகள்.
• கணங்கள், சார்புகள், நேர்க்கோட்டின் ஆயத்தொலை வடிவியல், 11ஆம் வகுப்பு எல்லைகள், வகையிடல், தொகையிடல்.

கணிதவியல் — பாடத்திட்டம் விரிவாக

12 பாடங்களில் என்ன உள்ளது

இயற்கணிதம்: அணிகள், கலப்பு எண்கள், சமன்பாடுகள்

பாடம் 1 நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளைத் தீர்க்க நான்கு முறைகளைத் தருகிறது: நேர்மாறு அணி முறை, கிராமரின் விதி (Cramer's rule), காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறை, தர முறை. பாடம் 2 கலப்பு எண்களைப் பற்றியது: மட்டு, வீச்சு, துருவ வடிவம், ஆய்லர் வடிவம், டி மாய்வரின் தேற்றம், \(n\)ஆம் மூலங்களைக் காணுதல். பாடம் 3 சமன்பாட்டியல். இதில் மூலங்களையும் கெழுக்களையும் இணைக்கும் வியட்டாவின் சூத்திரங்கள், இணை ஜோடி மூலங்கள், தலைகீழ்ச் சமன்பாடுகள், டெஸ்கார்டெஸின் குறி விதி ஆகியவை உள்ளன. பாடம் 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளையும் அவற்றின் முதன்மை மதிப்புகளையும் கையாள்கிறது.

வடிவியல்: கூம்பு வெட்டிகள் மற்றும் வெக்டர்கள்

பாடம் 5 இருபரிமாணப் பகுமுறை வடிவியல்: வட்டம், பரவளையம், நீள்வட்டம், அதிபரவளையம் மற்றும் அவற்றின் குவியங்கள், இயக்குவரைகள், தொடுகோடுகள், செங்கோடுகள். பாடம் 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. திசையிலி முப்பெருக்கம், வெக்டர் முப்பெருக்கம் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துகிறீர்கள். பிறகு கோடுகளையும் தளங்களையும் துணையலகு வடிவிலும் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் வடிவிலும் எழுதுகிறீர்கள். அவற்றுக்கு இடையேயான கோணம், ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூரம், வெட்டும் புள்ளிகள் ஆகியவற்றைக் காண்கிறீர்கள்.

நுண்கணிதம்: மாறுவீதம், பரப்பு, வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்

பாடம் 7 வகைக்கெழுக்களைப் பயன்படுத்தித் தொடுகோடுகள், செங்கோடுகள், ரோலின் தேற்றம், லெக்ராஞ்சியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம், லோபிதாலின் விதி, ஏறும் மற்றும் இறங்கும் சார்புகள், பெருமம் மற்றும் சிறுமம் ஆகியவற்றைக் கையாள்கிறது. பாடம் 8 வகையீடுகள் (Differentials), நேரியத் தோராயம், இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் கொண்ட சார்புகளின் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் ஆகியவற்றை அறிமுகப்படுத்துகிறது. சமபடித்தான சார்புகளுக்கான ஆய்லரின் தேற்றமும் இதில் உண்டு. பாடம் 9 வரையறுத்த தொகையிடலைப் பயன்படுத்தி வளைவரைகளால் அடைபடும் பரப்பையும் சுழற்சித் திடப்பொருளின் கன அளவையும் காண்கிறது. பாடம் 10 முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை அமைத்துத் தீர்க்கிறது. வளர்ச்சி, சிதைவு, குளிர்தல் கணக்குகளில் அவற்றைப் பயன்படுத்துகிறது.

நிகழ்தகவு மற்றும் தனிநிலைக் கணிதம்

பாடம் 11 சமவாய்ப்பு மாறிகள், நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு, நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு, குவிவுப் பரவல் சார்பு, சராசரி, பரவற்படி, பெர்னௌலி மற்றும் ஈருறுப்புப் பரவல்களை வரையறுக்கிறது. பாடம் 12-இல் இரண்டு பகுதிகள் உள்ளன. முதலாவது ஈருறுப்புச் செயலிகள் (அடைவுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்பு, சமனி, எதிர்மறை). இரண்டாவது கணிதத் தர்க்கவியல். அங்கே கூட்டுக் கூற்றுகளுக்கு மெய்மை அட்டவணைகள் அமைத்து, மெய்மங்களையும் முரண்பாடுகளையும் கண்டறிகிறீர்கள்.

கணிதவியல் பாடத்தை எப்படிப் படிப்பது

பாடங்களை வரிசைப்படியே படியுங்கள், ஏனெனில் பின்வரும் பாடங்கள் முந்தைய பாடங்களைச் சார்ந்துள்ளன. ஒவ்வொரு பாடத்துக்கும் முன், பாடநூலின் எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளைக் கையில் பேனாவுடன் படியுங்கள். பிறகு பயிற்சிக் கணக்குகளைப் பார்க்காமல் செய்து பாருங்கள். நுண்கணிதத்தில் நீண்ட கணக்குகளைத் தொடங்கும் முன், வகைக்கெழுவும் வரையறுத்த தொகையும் வரைபடத்தில் எதைக் குறிக்கின்றன என்பதை உங்களால் விளக்க முடிகிறதா என்று உறுதிசெய்யுங்கள்.

பின்பற்றக்கூடிய ஒரு வரிசை:

• 11ஆம் வகுப்பு இயற்கணிதம், முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள், எல்லைகள், அடிப்படை வகையிடல் மற்றும் தொகையிடலைத் திருப்பிப் பாருங்கள்.
• முதல் தொகுதியை முடியுங்கள். கூம்பு வெட்டிகளுக்கும் கோடுகள், தளங்களின் வெக்டர் சமன்பாடுகளுக்கும் கூடுதல் நேரம் கொடுங்கள்.
• அதிக நேரத்தை இரண்டாம் தொகுதி நுண்கணிதத்துக்கு (பாடங்கள் 7 முதல் 10) செலவிடுங்கள்.
• கடைசியாக நிகழ்தகவுப் பரவல்களையும் தனிநிலைக் கணிதத்தையும் படியுங்கள். இவை சிறிய பாடங்கள், ஆனால் மெய்மை அட்டவணைகளிலும் பரவல் சூத்திரங்களிலும் கவனமான பயிற்சி தேவை.

ஒரு மதிப்பெண் வினாக்களை (MCQ) நேரம் வைத்துச் செய்யுங்கள். அப்போதுதான் வேகம் வரும். ஒவ்வொரு பாடத்துக்கும் ஒரே தாளில் சூத்திரங்களை எழுதி வைத்துக்கொள்ளுங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, கூம்பு வெட்டிகளின் திட்ட வடிவங்கள், தொகையீட்டுக் காரணி. தேர்வுக்கு முந்தைய இரவு அதைப் படியுங்கள். பாடநூலில் ஒவ்வொரு பாடத்தின் இறுதியில் உள்ள பாடச் சுருக்கத்தை வைத்து அந்தத் தாளைச் சரிபார்க்கலாம்.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• பூச்சியக் கோவை அணிக்கு நேர்மாறு காண முயல்வது. \(|A| = 0\) எனில் \(A^{-1}\) இல்லை. எனவே நேர்மாறு அணி முறையையும் கிராமரின் விதியையும் பயன்படுத்த முடியாது. தர முறைக்கு மாறுங்கள்.
• கலப்பு எண்ணின் முதன்மை வீச்சைத் தவறாகக் காண்பது. முதலில் \(\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|\) மூலம் அடிப்படைக் கோணத்தைக் காணுங்கள். பிறகு \(x\), \(y\) ஆகியவற்றின் குறிகளை வைத்து அது எந்தக் கால்பகுதியில் உள்ளது என்று முடிவு செய்யுங்கள்.
• வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது மாறத்தக்க மாறிலியை விட்டுவிடுவது. முதல் வரிசைச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வில் ஒரு மாறிலி இருக்க வேண்டும். அதன் மதிப்பைப் பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட தொடக்க நிபந்தனை மூலம் காண்கிறோம்.
• வரிசையையும் படியையும் குழப்பிக்கொள்வது. வரிசை என்பது மிக உயர்ந்த வகைக்கெழுவின் வரிசை. படி என்பது அந்த மிக உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழுவின் அடுக்கு. சமன்பாடு அதன் வகைக்கெழுக்களில் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருந்தால் மட்டுமே படி வரையறுக்கப்படும்.
• தேரப்பெறாத வடிவம் இல்லாத எல்லைக்கு லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்துவது. முதலில் பிரதியிட்டுப் பாருங்கள். \(\frac{0}{0}\) அல்லது \(\frac{\infty}{\infty}\) வடிவங்களுக்கு மட்டும், அல்லது வேறு தேரப்பெறாத வடிவத்தை இவற்றில் ஒன்றாக மாற்றிய பிறகு மட்டும், இந்த விதியைப் பயன்படுத்துங்கள்.
• எல்லா நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் ஒரே வீச்சகம் என்று நினைப்பது. \(\sin^{-1}x\) மதிப்புகள் \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)-இல் இருக்கும். ஆனால் \(\cos^{-1}x\) மதிப்புகள் \([0, \pi]\)-இலும், \(\tan^{-1}x\) மதிப்புகள் \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)-இலும் இருக்கும்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

நேர்மாறு அணி முறைக்கும் கிராமரின் விதிக்கும் இடையே எப்படித் தேர்ந்தெடுப்பது?

இரண்டுக்கும் பூச்சியமற்ற அணிக்கோவை கொண்ட சதுரக் கெழு அணி தேவை. இரண்டும் ஒரே தனித்த தீர்வைத் தருகின்றன. நேர்மாறு அணி முறை \(AX = B\) என்பதை \(X = A^{-1}B\) எனத் தீர்க்கிறது. இதற்குச் சேர்ப்பு அணி தேவை. கிராமரின் விதி ஒவ்வொரு தெரியாத மதிப்பையும் அணிக்கோவைகளின் விகிதமாகத் தருகிறது, எடுத்துக்காட்டாக \(x = \frac{\Delta_1}{\Delta}\). இரண்டு அல்லது மூன்று தெரியாதவை இருக்கும்போது கிராமரின் விதியில் பொதுவாக வேலை குறைவு. அணிக்கோவை பூச்சியம் எனில் இரண்டு முறைகளும் பொருந்தாது.

கலப்பு எண்களை ஏன் படிக்கிறோம்?

\(x^2 + 1 = 0\) போன்ற சமன்பாட்டுக்கு மெய்த் தீர்வு இல்லை. ஆனால் கலப்பு எண்களில் அதற்கு \(\pm i\) என்ற தீர்வுகள் உண்டு. கலப்பு எண்களை அனுமதித்தால், \(n\) படி கொண்ட ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டுக்கும் (மீண்டும் வரும் மூலங்களையும் எண்ணி) \(n\) மூலங்கள் உண்டு. துருவ வடிவமும் டி மாய்வரின் தேற்றமும் அடுக்குகளையும் மூலங்களையும் எளிதாகக் கையாள உதவுகின்றன. பொறியாளர்கள் மாறுதிசை மின்னோட்டச் சுற்றுகளிலும் அலைகளிலும் கலப்பு எண்களைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.

வகைக்கெழுவுக்கும் வகையீட்டுக்கும் என்ன வேறுபாடு?

வகைக்கெழு \(f'(x)\) என்பது ஒரு புள்ளியில் \(f\)-இன் மாறுவீதம், அதாவது அங்குள்ள தொடுகோட்டின் சாய்வு. வகையீடு \(dy = f'(x)\,dx\). \(x\) ஆனது \(dx\) அளவு மாறும்போது தொடுகோட்டின் வழியே \(y\)-இல் ஏற்படும் மாற்றம் இது. \(dx\) சிறியதாக இருந்தால் இது உண்மையான மாற்றம் \(\Delta y\)-க்கு அருகில் இருக்கும். அதனால்தான் பிழைகளை மதிப்பிடவும், \(\sqrt{36.1}\) போன்ற மதிப்புகளைத் தோராயமாகக் காணவும் வகையீடுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையை எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்?

எந்தத் தொகுப்புக்கும் பொருந்தும் ஒரே வழிமுறை வேண்டும் என்றால் இதைப் பயன்படுத்துங்கள். விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை அடிப்படை நிரை உருமாற்றங்கள் மூலம் நிரை ஏறுபடி வடிவத்துக்குக் குறைத்து, பின்னோக்கிப் பிரதியிடுகிறீர்கள். கிராமரின் விதியைப் போலன்றி, கெழு அணி பூச்சியக் கோவை அணியாக இருந்தாலும் இம்முறை வேலை செய்யும். தொகுப்புக்குத் தனித்த தீர்வா, எண்ணற்ற தீர்வுகளா, தீர்வே இல்லையா என்பதைக் குறைக்கப்பட்ட வடிவம் உடனே காட்டிவிடும்.

ஒரு நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையதா என்று எப்படிச் சோதிப்பது?

கெழு அணி \(A\)-இன் தரத்தையும் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \([A|B]\)-இன் தரத்தையும் ஒப்பிடுங்கள். ரூஷே-கபெல்லி தேற்றப்படி, இரண்டு தரங்களும் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது. அவை தெரியாதவைகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம் எனில் தீர்வு தனித்தது. சமமாக இருந்து, தெரியாதவைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவு எனில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உண்டு. தரங்கள் வேறுபட்டால் தொகுப்புக்குத் தீர்வு இல்லை.

கூம்பு வெட்டிகள் அன்றாட வாழ்வில் எங்கே பயன்படுகின்றன?

பரவளைய எதிரொளிப்பானின் குவியத்தில் வைக்கப்பட்ட விளக்கின் ஒளி இணைக் கற்றையாக வெளியேறுகிறது. அதனால்தான் வாகன முகப்பு விளக்குகளும் செயற்கைக்கோள் தட்டுகளும் பரவளைய வடிவில் உள்ளன. கோள்கள் நீள்வட்டப் பாதையில் சுற்றுகின்றன. சூரியன் ஒரு குவியத்தில் உள்ளது. சில வானொலி வழிகாட்டும் அமைப்புகளில் அதிபரவளையங்கள் பயன்படுகின்றன. மின் நிலையங்களின் குளிர்விப்புக் கோபுரங்களின் குறுக்குவெட்டு அதிபரவளைய வடிவில் உள்ளது.

லெக்ராஞ்சியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம் என்ன சொல்கிறது?

\(f\) ஆனது \([a, b]\)-இல் தொடர்ச்சியாகவும் \((a, b)\)-இல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்தால், \((a, b)\)-இல் குறைந்தது ஒரு \(c\) உள்ளது. அதற்கு \(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\). எளிய சொற்களில், \(a\)-க்கும் \(b\)-க்கும் இடையே எங்கோ ஓரிடத்தில் தொடுகோடு, இறுதிப் புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணுக்கு இணையாக இருக்கும். ஒரு காருக்கு இதன் பொருள்: பயணத்தின் ஏதோ ஒரு கணத்தில் வேகமானியின் அளவீடு அந்தப் பயணத்தின் சராசரி வேகத்துக்குச் சமமாக இருக்கும்.

தனிநிலைக் கணிதத்துக்கும் கணினி அறிவியலுக்கும் என்ன தொடர்பு?

தொடர்ந்து மாறும் அளவுகளை அல்ல, தனித்தனியாக எண்ணக்கூடிய பொருள்களைத் தனிநிலைக் கணிதம் படிக்கிறது. பாடம் 12-இல் உள்ள தர்க்கவியல், அதாவது AND, OR, NOT போன்ற இணைப்பான்களும் அவற்றின் மெய்மை அட்டவணைகளும், நிரலாக்க நிபந்தனைகளிலும் இலக்கச் சுற்றுகளின் வாயில்களிலும் பயன்படும் அதே தர்க்கம். மட்டு \(n\) கூட்டல் போன்ற ஈருறுப்புச் செயலிகளும் கணினியியலில் வருகின்றன.

தனிநிலை மற்றும் தொடர் சமவாய்ப்பு மாறிகளுக்கு என்ன வேறுபாடு?

தனிநிலைச் சமவாய்ப்பு மாறி முடிவுறு அல்லது எண்ணத்தக்க மதிப்புகளை மட்டும் எடுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று நாணயங்களைச் சுண்டும்போது கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கை. தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி ஓர் இடைவெளியில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மின்விளக்கின் ஆயுள் (மணிகளில்). தனிநிலை மாறியை நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு விவரிக்கிறது. தொடர் மாறியை நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு விவரிக்கிறது.

முதல் வரிசை நேரிய வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை எப்படித் தீர்ப்பது?

முதலில் அதை \(\frac{dy}{dx} + Py = Q\) என்ற திட்ட வடிவில் எழுதுங்கள். இங்கு \(P\), \(Q\) ஆகியவை \(x\)-இன் சார்புகள். தொகையீட்டுக் காரணி \(e^{\int P\,dx}\). தீர்வு \(y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q \cdot (\text{I.F.})\,dx + C\). \(P\)-ஐக் கண்டறியும் முன் \(\frac{dy}{dx}\)-இன் கெழுவால் வகுக்க மாணவர்கள் அடிக்கடி மறந்துவிடுகின்றனர். இதனால் தொகையீட்டுக் காரணி தவறாகிவிடும்.