இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல்-II: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல்-II பற்றி

கடினம் ~180 நிமிடப் படிப்பு

ரெனே டெக்கார்ட்டிடமிருந்து தொடங்கும் பகுமுறை வடிவியல், வளைவரைகளை $x$, $y$ இல் அமைந்த சமன்பாடுகளால் விவரிக்கிறது. ஒரு வளைவரைக்குச் சமன்பாடு கிடைத்தவுடன், அதன் வடிவம், அதன் மிக உயர்ந்த புள்ளி, ஒரு கோடு அதை எங்கே தொடுகிறது போன்ற கேள்விகள் இயற்கணிதக் கணக்குகளாகின்றன. 11ஆம் வகுப்பில் நேர்கோடுகளுக்கு இதைச் செய்தீர்கள். இந்தப் பாடம் வட்டங்களுக்கும் கூம்பு வளைவுகளுக்கும் இதைச் செய்கிறது.

இரட்டைக் கூம்பை ஒரு தளம் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வளைவுகளே கூம்பு வளைவுகள் (Conics). இப்பாடம் அவற்றுக்கு ஒரே வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறது: ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து (குவியம்) உள்ள தொலைவு, ஒரு நிலையான கோட்டிலிருந்து (இயக்குவரை) உள்ள தொலைவின் $e$ மடங்காக இருக்குமாறு நகரும் புள்ளி $P$ இன் நியமப்பாதையே கூம்பு வளைவு. மாறிலி $e$ மையத்தொலைத் தகவு (Eccentricity) எனப்படும். $e = 1$ எனில் வளைவு பரவளையம், $0 < e < 1$ எனில் நீள்வட்டம், $e > 1$ எனில் அதிபரவளையம். ஒரே கருத்து மூன்று வளைவுகளையும் உள்ளடக்குகிறது; திட்டச் சமன்பாடுகள் அனைத்தும் இதிலிருந்தே வருகின்றன.

தேர்வுக்குத் திட்ட வடிவங்களும், குவியங்கள், முனைகள், இயக்குவரைகள், செவ்வகலத்தின் நீளம் ஆகியவற்றுக்கான சூத்திரங்களும் விரல்நுனியில் இருக்க வேண்டும். பல கணக்குகள் திட்ட வடிவில் இல்லாத சமன்பாட்டுடன் தொடங்குகின்றன. எனவே வர்க்கப்படுத்தி நிறைவு செய்தல் திரும்பத் திரும்பப் பயன்படும் திறன். தொடுகோடுகள், செங்கோடுகள், ஒரு கோடு தொடுகோடாக இருப்பதற்கான நிபந்தனை, பரவளைய வளைவுகள் மற்றும் பாலங்கள் மீதான சொற்கணக்குகளும் வருகின்றன. எறிபொருள் பாதைகள், கோள்களின் சுற்றுப்பாதைகள் என இயற்பியலிலும் இந்தக் கருத்துகள் மீண்டும் வருகின்றன.

நீங்கள் கற்பவை

• கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளிலிருந்து வட்டத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுதல், பொது வடிவிலிருந்து மையம், ஆரம் காணுதல்.
• $x^2$, $y^2$ இன் கெழுக்களைக் கொண்டு ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு குறிக்கும் கூம்பு வளைவை அடையாளம் காணுதல்.
• கொடுக்கப்பட்ட கூம்பு வளைவின் முனை, மையம், குவியங்கள், இயக்குவரைகள், மையத்தொலைத் தகவு, செவ்வகலத்தின் நீளம் காணுதல்.
• வட்டம் அல்லது கூம்பு வளைவின் ஒரு புள்ளியில் தொடுகோடு, செங்கோடு சமன்பாடுகளைக் காணுதல்.
• பரவளையம், நீள்வட்டம், அதிபரவளையம் ஆகியவற்றின் துணையலகு வடிவங்களைக் கணக்குகளில் பயன்படுத்துதல்.
• பரவளைய வளைவுகள், தொங்கு பாலங்கள், நீள்வட்டப் பாதைகள் மீதான சொற்கணக்குகளைத் தீர்த்தல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• கார்டீசியன் தளம், தொலைவுச் சூத்திரம், பிரிவுச் சூத்திரம்.
• $x$ இலும் $y$ இலும் வர்க்கப்படுத்தி நிறைவு செய்தல்.
• கோட்டின் சாய்வு, நேர்கோட்டுச் சமன்பாட்டின் பல்வேறு வடிவங்கள்.

இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல்-II — விரிவான விளக்கம்

ஆயத்தொலை வடிவியலில் வட்டங்களும் கூம்பு வளைவுகளும்

வட்டங்கள்

ஒரு நிலையான மையத்திலிருந்து நிலையான தொலைவு $r$ இல் உள்ள புள்ளிகளின் நியமப்பாதை வட்டம். மையம் $(h, k)$ எனில் சமன்பாடு $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. பொது வடிவம் $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ இன் மையம் $(-g, -f)$, ஆரம் $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$. $g^2 + f^2 - c = 0$ எனில் வட்டம் ஒரே புள்ளியாகச் சுருங்கும் (புள்ளி வட்டம்). $g^2 + f^2 - c < 0$ எனில் மெய் வட்டம் இல்லை. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் வட்டங்கள், கொடுக்கப்பட்ட விட்டத்தின் மேல் அமையும் வட்டங்கள், வட்டத்தின் தொடுகோடுகள், செங்கோடுகள் ஆகியவற்றையும் இப்பாடம் காண்கிறது. $c^2 = a^2(1 + m^2)$ எனில் $y = mx + c$ என்ற கோடு $x^2 + y^2 = a^2$ ஐத் தொடும்.

கூம்பு வளைவுகளும் மையத்தொலைத் தகவும்

குவியத்திலிருந்து உள்ள தொலைவை இயக்குவரையிலிருந்து உள்ள தொலைவால் வகுத்தால் மாறிலி $e$ கிடைக்கும் புள்ளியின் நியமப்பாதை கூம்பு வளைவு. $e$ இன் மதிப்பு வளைவைத் தீர்மானிக்கிறது: $e = 1$ பரவளையம், $e < 1$ நீள்வட்டம், $e > 1$ அதிபரவளையம். $B = 0$ ஆக உள்ள $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ இலிருந்து கூம்பு வளைவை அடையாளம் காணப் பாடநூல் இந்தச் சோதனைகளைப் பயன்படுத்துகிறது: $A = C$ எனில் வட்டம்; $A = 0$ அல்லது $C = 0$ (இரண்டும் அல்ல) எனில் பரவளையம்; $A \neq C$, $A$ உம் $C$ உம் ஒரே குறி எனில் நீள்வட்டம்; $A$, $C$ எதிர்க் குறிகள் எனில் அதிபரவளையம். சில சிறப்பு நிலைகளில் ஒரு புள்ளி மட்டுமே கிடைக்கும், அல்லது மெய் நியமப்பாதை இருக்காது.

பரவளையம்

பரவளையத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் குவியத்திலிருந்தும் இயக்குவரையிலிருந்தும் சம தொலைவில் உள்ளது. திட்ட வடிவம் $y^2 = 4ax$ ($a > 0$) க்கு முனை $(0, 0)$, குவியம் $(a, 0)$, இயக்குவரை $x = -a$, அச்சு $y = 0$, செவ்வகலத்தின் நீளம் $4a$; இது வலப்புறம் திறக்கிறது. மற்ற மூன்று வடிவங்கள் $y^2 = -4ax$ (இடப்புறம்), $x^2 = 4ay$ (மேல்நோக்கி), $x^2 = -4ay$ (கீழ்நோக்கி). $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ போன்ற இடம்பெயர்ந்த பரவளையத்தின் முனை $(h, k)$; மற்ற எல்லா அம்சங்களும் அதனுடன் சேர்ந்து நகர்கின்றன. குவியம் வழிச் செல்லும் எந்த நாணும் குவி நாண். அச்சுக்குச் செங்குத்தான குவி நாணே செவ்வகலம் (Latus rectum).

நீள்வட்டமும் அதிபரவளையமும்

நீள்வட்டத்தில், எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் இரண்டு குவியங்களுக்கு உள்ள தொலைவுகளின் கூடுதல் மாறிலி; அது $2a$. திட்ட வடிவம் $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, இங்கு $a > b$; குவியங்கள் $(\pm ae, 0)$, இயக்குவரைகள் $x = \pm\frac{a}{e}$, $b^2 = a^2(1 - e^2)$. நெட்டச்சின் நீளம் $2a$, குற்றச்சின் நீளம் $2b$. அதிபரவளையத்தில், குவியங்களிலிருந்து உள்ள தொலைவுகளின் வித்தியாசம் மாறிலி; அது $2a$. அதன் திட்ட வடிவம் $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$; குவியங்கள் $(\pm ae, 0)$, இயக்குவரைகள் $x = \pm\frac{a}{e}$, $b^2 = a^2(e^2 - 1)$, துலக்க அச்சு $2a$, துணை அச்சு $2b$. அதிபரவளையத்திற்கு $y = \pm\frac{b}{a}x$ என்ற இரண்டு தொலைத்தொடுகோடுகளும் உண்டு; கிளைகள் அவற்றை நெருங்குகின்றன, ஆனால் சந்திப்பதில்லை. இரண்டு வளைவுகளுக்கும் செவ்வகலத்தின் நீளம் $\frac{2b^2}{a}$.

துணையலகு வடிவங்கள், தொடுகோடுகள், செங்கோடுகள்

துணையலகு வடிவில் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரே மாறியைக் கொண்டு எழுதப்படுகிறது: $y^2 = 4ax$ இல் $(at^2, 2at)$, நீள்வட்டத்தில் $(a\cos\theta, b\sin\theta)$, அதிபரவளையத்தில் $(a\sec\theta, b\tan\theta)$. துணையலகுகளால் தொடுகோடு, செங்கோடு சமன்பாடுகளைச் சுருக்கமாக எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, $y^2 = 4ax$ க்கு $(at^2, 2at)$ இல் தொடுகோடு $yt = x + at^2$. $y = mx + c$ என்ற கோடு, $c = \frac{a}{m}$ எனில் $y^2 = 4ax$ க்கும், $c^2 = a^2m^2 + b^2$ எனில் நீள்வட்டத்திற்கும், $c^2 = a^2m^2 - b^2$ எனில் அதிபரவளையத்திற்கும் தொடுகோடு.

நடைமுறைப் பயன்பாடுகள்

கடைசிப் பகுதி இப்பாடத்தை நடைமுறைச் சூழல்களில் பயன்படுத்துகிறது. கெப்ளர் கண்டறிந்தபடி, கோள்கள் சூரியனை ஒரு குவியத்தில் கொண்ட நீள்வட்டங்களில் நகர்கின்றன. செயற்கைக்கோள் வட்டு அல்லது டார்ச் எதிரொளிப்பான் பரவளைய வடிவம் கொண்டது. எனவே அச்சுக்கு இணையான கதிர்கள் குவியத்தில் சந்திக்கின்றன; குவியத்திலிருந்து வரும் ஒளி இணையாக வெளியேறுகிறது. குளிர்விப்புக் கோபுரங்களின் குறுக்குவெட்டு அதிபரவளைய வடிவம். பரவளைய வளைவின் மேல் அல்லது தொங்கு பாலத்தின் கம்பிவடத்தின் மேல் உயரங்களைக் காணுதல், நீள்வட்ட வளைவுகள் தொடர்பான கணக்குகள் பாடநூலில் உள்ளன.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• நீள்வட்டத்தையும் அதிபரவளையத்தையும் குழப்புவது: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ நீள்வட்டம்; உறுப்புகளுக்கு இடையே கழித்தல் குறி இருந்தால் அதிபரவளையம். அதுபோல $b^2 = a^2(1 - e^2)$ நீள்வட்டத்திற்கும் $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ அதிபரவளையத்திற்கும் உரியவை.
• இடம்பெயர்ந்த கூம்பு வளைவின் முனையையோ மையத்தையோ சரியாகக் கண்டுவிட்டு, குவியங்களையும் இயக்குவரைகளையும் மையம் ஆதியில் இருப்பது போல எழுதுவது.
• பெரிய பகுதி $y^2$ இன் கீழ் இருக்கும்போது நெட்டச்சை x அச்சின் வழியே எடுப்பது. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ இல் நெட்டச்சு y அச்சின் வழியே அமைகிறது.
• தவறான தொடுநிலை நிபந்தனையைப் பயன்படுத்துவது. எடுத்துக்காட்டாக, அதிபரவளையத்திற்கு $c^2 = a^2m^2 - b^2$ பயன்படுத்த வேண்டிய இடத்தில் நீள்வட்டத்திற்கான $c^2 = a^2m^2 + b^2$ ஐப் பயன்படுத்துவது.
• வட்டத்தை $a = b$ ஆக உள்ள நீள்வட்டமாகக் கருதலாம் என்பதையும், அப்போது மையத்தொலைத் தகவு 0 என்பதையும் மறப்பது.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

வட்டத்தின் திட்ட வடிவத்திற்கும் பொது வடிவத்திற்கும் என்ன வேறுபாடு?

திட்ட வடிவம் $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ மையம் $(h, k)$ ஐயும் ஆரம் $r$ ஐயும் நேரடியாகக் காட்டுகிறது. பொது வடிவம் $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ அதன் விரிவாக்கம். இதில் வர்க்கப்படுத்தி நிறைவு செய்யலாம், அல்லது மையம் $(-g, -f)$, ஆரம் $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ எனப் பயன்படுத்தலாம். இரண்டும் ஒரே வட்டத்தையே குறிக்கின்றன.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு பரவளையத்தைக் குறிக்கிறதா என்று எப்படி அறிவது?

$xy$ உறுப்பு இல்லாத $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ இல், $x$, $y$ இல் சரியாக ஒன்று மட்டும் வர்க்கமாக இருந்தால், அதாவது $A = 0$ அல்லது $C = 0$ ஆனால் இரண்டும் அல்ல எனில், அது பரவளையம். எடுத்துக்காட்டாக, $y^2 - 8x + 2y + 17 = 0$ ஒரு பரவளையம். $y$ இல் வர்க்கப்படுத்தி நிறைவு செய்தால் $(y+1)^2 = 8(x-2)$ கிடைக்கும்; முனை $(2, -1)$.

துணையலகுச் சமன்பாடுகள் ஏன் பயனுள்ளவை?

வளைவின் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் $t$ அல்லது $\theta$ என்ற ஒரே மாறியால் விவரிக்கின்றன. இதனால் ஒரு பொதுப் புள்ளியைக் குறிப்பிடுவதும், அதன் தொடுகோடு, செங்கோட்டை எழுதுவதும், நாண்கள் மற்றும் நியமப்பாதைகள் பற்றிய வினாக்களைக் கையாள்வதும் எளிதாகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, $\theta$ ஆனது $0$ இலிருந்து $2\pi$ வரை மாறும்போது $(a\cos\theta, b\sin\theta)$ முழு நீள்வட்டத்தையும் தருகிறது.

மையத்தொலைத் தகவு கூம்பு வளைவைப் பற்றி என்ன சொல்கிறது?

வளைவு வட்டத்திலிருந்து எவ்வளவு விலகியுள்ளது என்பதை அது அளக்கிறது. வட்டத்திற்கு $e = 0$. நீள்வட்டத்திற்கு $0 &lt; e &lt; 1$; $e$ ஆனது 1 ஐ நெருங்க நெருங்க அது தட்டையாகிறது. பரவளையத்திற்கு $e = 1$. அதிபரவளையத்திற்கு $e &gt; 1$; $e$ அதிகரிக்க அதிகரிக்க அதன் கிளைகள் அகலமாகத் திறக்கின்றன.

கூம்பு வளைவுகள் நடைமுறையில் எங்கே பயன்படுகின்றன?

செயற்கைக்கோள் வட்டுகள், தொலைநோக்கிகள், வாகன முகப்பு விளக்குகள் ஆகியவற்றில் உள்ள பரவளைய எதிரொளிப்பான்கள் சைகைகளையோ ஒளியையோ குவிக்கின்றன. நீள்வட்ட எதிரொளிப்பான் ஒரு குவியத்திலிருந்து வரும் அலைகளை மற்றொரு குவியத்திற்கு அனுப்புகிறது; சிறுநீரகக் கற்களை உடைக்கும் லித்தோட்ரிப்சி கருவிகள் இப்படித்தான் வேலை செய்கின்றன. குளிர்விப்புக் கோபுரங்கள் அதிபரவளைய வடிவம் கொண்டவை. கோள்கள் சூரியனைச் சுற்றி நீள்வட்டப் பாதைகளில் நகர்கின்றன.

நீள்வட்டத்தைப் போல அதிபரவளையத்திற்கும் மையம் உண்டா?

ஆம். இரண்டு முனைகளின் நடுப்புள்ளியே மையம்; அதுவே இரண்டு குவியங்களின் நடுப்புள்ளியும் ஆகும். வளைவு மையம் வழியாகச் செல்வதில்லை; ஆனால் இரண்டு தொலைத்தொடுகோடுகளும் அங்கே வெட்டிக்கொள்கின்றன. $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ க்கு மையம் ஆதிப்புள்ளி.