மார்ச் 2026 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் பொதுத் தேர்வின் 20 ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், வினாத்தாள் வரிசையில், சரியான விடை குறிக்கப்பட்டு சுருக்கமான விளக்கத்துடன்.
Q1
A என்ற \(3\times 3\) பூச்சியமற்றக் கோவை அணிக்கு \(AA^T=A^TA\) மற்றும் \(B=A^{-1}A^T\) என்றவாறு இருப்பின், \(BB^T=\)
- A. \(I_3\)சரி
- B. A
- C. \(B^T\)
- D. B
விளக்கம். \(BB^T=A^{-1}A^T\,A\,(A^{-1})^T=A^{-1}(AA^T)(A^T)^{-1}=(A^{-1}A)(A^T(A^T)^{-1})=I_3\); இங்கு \(A^TA=AA^T\) பயன்படுத்தப்பட்டது.
Q2
\(\rho(A)=\rho([A|B])\) எனில், \(AX=B\) என்ற நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது :
- A. ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும்
- B. ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வு பெற்றிருக்கும்
- C. ஒருங்கமைவற்றது
- D. ஒருங்கமைவுடையதுசரி
விளக்கம். ரூஷே–கபெல்லி தேற்றப்படி, தரங்கள் சமம் எனில் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது. தீர்வு ஒன்றா எண்ணற்றவையா என்பது மாறிகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது; அது கொடுக்கப்படவில்லை.
Q3
z என்ற கலப்பெண்ணானது \(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}\) ஆகவும் \(z+\frac{1}{z}\in\mathbb{R}\) எனவும் இருந்தால், \(|z|\) -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். \(z=re^{i\theta}\) என்க. \(z+\frac{1}{z}\) -ன் கற்பனைப் பகுதி \((r-\frac{1}{r})\sin\theta=0\). z மெய்யெண் அல்ல என்பதால் \(\sin\theta\neq0\); எனவே \(r=|z|=1\).
Q4
\(\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}\) -ன் எல்லா நான்கு மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை :
- A. 1சரி
- B. \(-2\)
- C. 2
- D. \(-1\)
விளக்கம். \((\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})^3=\cos\pi+i\sin\pi=-1\); எனவே நான்கு மதிப்புகளும் \(w^4+1=0\) -ன் மூலங்கள். அவற்றின் பெருக்கற்பலன் மாறிலி உறுப்பு 1 ஆகும்.
Q5
f மற்றும் g என்பன முறையே m மற்றும் n படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் \(h(x)=(f\circ g)(x)\) எனில், h -ன் படியானது :
- A. \(m^n\)
- B. mnசரி
- C. \(n^m\)
- D. m + n
விளக்கம். f -ன் முதன்மை உறுப்பு \(ax^m\); அதில் g -ஐ (முதன்மை உறுப்பு \(bx^n\)) பிரதியிட \(ab^m x^{mn}\) கிடைக்கிறது. எனவே படி mn.
Q6
\(x<0\) எனில், \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(-\pi+\cot^{-1}(x)\)சரி
- B. \(\tan^{-1}(x)\)
- C. \(-\pi+\tan^{-1}x\)
- D. \(\cot^{-1}(x)\)
விளக்கம். \(x<0\) எனில் \(\cot^{-1}x\in(\frac{\pi}{2},\pi)\), \(\tan^{-1}\frac{1}{x}\in(-\frac{\pi}{2},0)\); எனவே \(\tan^{-1}\frac{1}{x}=\cot^{-1}x-\pi\). சரிபார்ப்பு x = −1: \(-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}-\pi\).
Q7
வட்டத்தின் மையத்தொலைத்தகவு :
- A. \(\frac{1}{2}\)
- B. 0சரி
- C. 2
- D. 1
விளக்கம். வட்டம் என்பது a = b ஆகும் நீள்வட்டம்; எனவே \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=0\).
Q8
\(\vec{\beta}\) மற்றும் \(\vec{\gamma}\) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் \(\vec{\alpha}\) அமைந்துள்ளது எனில்,
- A. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=0\)சரி
- B. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=1\)
- C. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=2\)
- D. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=-1\)
விளக்கம். ஒரே தளத்தில் அமையும் மூன்று வெக்டர்களின் திசையிலி முப்பெருக்கம் பூச்சியம்; எனவே \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=0\).
Q9
\(\vec{r}\cdot(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})=38\) என்ற தளத்தைப் பொறுத்து A(1, 2, 3) என்ற புள்ளியின் பிம்பப்புள்ளி, A'(3, 6, 11) எனில், A என்ற புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி :
- A. (2, 5, 7)
- B. (2, 3, 7)
- C. (2, −4, 7)
- D. (2, 4, 7)சரி
விளக்கம். செங்குத்தின் அடி AA' -ன் நடுப்புள்ளி: \(\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2},\frac{3+11}{2}\right)=(2,4,7)\). சரிபார்ப்பு: 2 + 8 + 28 = 38.
Q10
(6, 0) என்ற புள்ளிக்கும் \(x^2-y^2=4\) என்ற வளைவரை மீதுள்ள புள்ளிக்கும் உள்ள தொலைவு குறைந்தபட்சம் எனில், அப்புள்ளி :
- A. \((3,\sqrt{5})\)சரி
- B. (2, 0)
- C. \((\sqrt{13},-\sqrt{3})\)
- D. \((\sqrt{5},1)\)
விளக்கம். \(D^2=(x-6)^2+y^2=(x-6)^2+x^2-4\). \(\frac{d}{dx}D^2=2(x-6)+2x=0\) எனில் x = 3, \(y^2=5\); எனவே புள்ளி \((3,\sqrt{5})\).
Q11
\(f(x)=x^3-3x^2,\ x\in[0,3]\) என்ற சார்பிற்கு ரோலின் தேற்றத்தை நிறைவு செய்யும் 'c' -யின் மதிப்பு :
- A. \(\frac{3}{2}\)
- B. 1
- C. 2சரி
- D. \(\sqrt{2}\)
விளக்கம். f(0) = f(3) = 0. \(f'(c)=3c^2-6c=0\) எனில் c = 0 அல்லது 2; (0, 3) -ல் உள்ள மதிப்பு c = 2.
Q12
31 -ன் 5 ஆம் படி மூல சதவீதப் பிழை தோராயமாக, 31 -ன் சதவீதப் பிழையைப் போல் எத்தனை மடங்காகும் ?
- A. 5
- B. \(\frac{1}{31}\)
- C. 31
- D. \(\frac{1}{5}\)சரி
விளக்கம். \(y=x^{1/5}\) எனில் \(\frac{dy}{y}=\frac{1}{5}\frac{dx}{x}\); எனவே ஐந்தாம் படி மூலத்தின் சதவீதப் பிழை x -ன் சதவீதப் பிழையின் \(\frac{1}{5}\) மடங்கு.
Q13
\(A=\{(x,y)\mid a<x<b,\ c<y<d\}\subset\mathbb{R}^2\) என்க. சார்பு \(u:A\to\mathbb{R}^2\) ஆனது A -ல் சீரானது எனில்,
- A. \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\;\forall (x,y)\in A\)சரி
- B. \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=1\;\forall (x,y)\in A\)
- C. \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\;\forall (x,y)\in A\)
- D. \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=1\;\forall (x,y)\in A\)
விளக்கம். சீரான சார்பு A -ன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் லாப்லாஸ் சமன்பாடு \(u_{xx}+u_{yy}=0\) -ஐ நிறைவு செய்யும். (வினாத்தாளில் \(u:A\to\mathbb{R}^2\) என உள்ளது; பாடநூலில் \(\mathbb{R}\); விடை மாறாது.)
Q14
\(f(x)=\int_0^x t\cos t\,dt\), எனில் \(\frac{df}{dx}=\)
- A. \(x\cos x\)சரி
- B. \(\cos x-x\sin x\)
- C. \(x\sin x\)
- D. \(\sin x+x\cos x\)
விளக்கம். நுண்கணித அடிப்படைத் தேற்றப்படி \(\frac{d}{dx}\int_0^x t\cos t\,dt=x\cos x\).
Q15
\(f(x)=\int_1^x\frac{e^{\sin u}}{u}\,du,\ x>1\) மற்றும் \(\int_1^3\frac{e^{\sin x^2}}{x}\,dx=\frac{1}{2}[f(a)-f(1)]\) எனில், a பெறக்கூடிய ஒரு மதிப்பு :
விளக்கம். \(u=x^2\) எனப் பிரதியிட \(du=2x\,dx\), \(\frac{dx}{x}=\frac{du}{2u}\); எல்லைகள் 1 முதல் 9. தொகை \(\frac{1}{2}\int_1^9\frac{e^{\sin u}}{u}du=\frac{1}{2}[f(9)-f(1)]\); எனவே a = 9.
Q16
\(2x\frac{dy}{dx}-y=3\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு குறிப்பிடுவது :
- A. பரவளையம்சரி
- B. நேர்க்கோடுகள்
- C. நீள்வட்டம்
- D. வட்டங்கள்
விளக்கம். மாறிகளைப் பிரிக்க: \(\frac{2\,dy}{y+3}=\frac{dx}{x}\); \(2\log(y+3)=\log x+\log C\), அதாவது \((y+3)^2=Cx\) — இது பரவளையங்களின் குடும்பம்.
Q17
t எனும் நேரத்திற்குப் பிறகு மீதமுள்ள ஒரு பொருளின் அளவு P ஆகும். பொருள் ஆவியாகும் வீதமானது அந்நேரத்தில் மீதமிருக்கும் பொருளின் அளவிற்கு விகிதமாக அமைந்துள்ளது எனில், பின்னர் :
- A. \(P=Ckt\)
- B. \(P=Ce^{kt}\)
- C. \(Pt=C\)
- D. \(P=Ce^{-kt}\)சரி
விளக்கம். அளவு குறைகிறது: \(\frac{dP}{dt}=-kP\) (k > 0); \(\frac{dP}{P}=-k\,dt\), எனவே \(P=Ce^{-kt}\).
Q18
\(f(x)=\frac{1}{12}\), \(a<x<b\) எனும் சார்பு ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பினைக் குறிக்கிறது எனில், பின்வருவனவற்றுள் எது a மற்றும் b -இன் மதிப்புகளாக இராது ?
- A. 7 மற்றும் 19
- B. 0 மற்றும் 12
- C. 16 மற்றும் 24சரி
- D. 5 மற்றும் 17
விளக்கம். மொத்த நிகழ்தகவு \(\frac{b-a}{12}=1\) எனில் b − a = 12. 16 மற்றும் 24 -க்கு b − a = 8; எனவே இது நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பாகாது.
Q19
\(2l\) நீளமுள்ள ஒரு கம்பி சமவாய்ப்பு முறையில் இரு துண்டாக உடைக்கப்படுகிறது. இரு துண்டுகளில் குட்டையானதற்கான நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு \(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{l}, & 0<x<l\\ 0, & l\le x<2l\end{cases}\) எனில், குட்டையானப் பகுதிக்கான சராசரி மற்றும் பரவற்படி முறையே :
- A. \(l,\ \frac{l^2}{12}\)
- B. \(\frac{l}{2},\ \frac{l^2}{3}\)
- C. \(\frac{l}{2},\ \frac{l^2}{12}\)சரி
- D. \(\frac{l}{2},\ \frac{l^2}{6}\)
விளக்கம். X ஆனது (0, l) -ல் சீரான பரவல்: \(E(X)=\frac{l}{2}\), \(E(X^2)=\frac{l^2}{3}\); எனவே \(Var(X)=\frac{l^2}{3}-\frac{l^2}{4}=\frac{l^2}{12}\).
Q20
\(\neg(p\vee q)\vee[p\vee(p\wedge\neg r)]\) -ன் இருமம் :
- A. \(\neg(p\wedge q)\wedge[p\wedge(p\wedge r)]\)
- B. \(\neg(p\wedge q)\wedge[p\vee(p\wedge\neg r)]\)
- C. \(\neg(p\wedge q)\wedge[p\wedge(p\vee\neg r)]\)சரி
- D. \((p\wedge q)\wedge[p\wedge(p\vee\neg r)]\)
விளக்கம். இருமத்தில் \(\vee\) மற்றும் \(\wedge\) இடமாற்றப்படும், \(\neg\) மாறாது: \(\neg(p\wedge q)\wedge[p\wedge(p\vee\neg r)]\).
