அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் பற்றி

நடுத்தரம் ~180 நிமிடப் படிப்பு

"2 பேனா, 3 நோட்டுப் புத்தகங்களின் விலை 70 ரூபாய்" போன்ற நேரிய சமன்பாடுகள் இயற்பியல், பொருளியல், அன்றாட வாழ்க்கைக் கணக்குகள் எனப் பல இடங்களில் வருகின்றன. மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தெரியாதவைகள் இருந்தால், பிரதியிடல் முறையில் தீர்ப்பது குழப்பமாகிவிடும். தொகுப்பை $AX = B$ என்ற ஒரே அணிச் சமன்பாடாக எழுதினால் வேலை ஒழுங்காக இருக்கும். இங்கு $A$ கெழுக்களையும், $X$ தெரியாதவைகளையும், $B$ மாறிலிகளையும் கொண்டுள்ளன.

அணிப் பெருக்கல், அணிக்கோவை பற்றி ஏற்கனவே தெரிந்தவற்றிலிருந்து இந்தப் பாடம் தொடங்குகிறது. முதலில் சேர்ப்பு அணி (Adjoint) $\text{adj}\,A$ வருகிறது. பிறகு நேர்மாறு (Inverse) $A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,\text{adj}\,A$ வருகிறது. இது $|A| \neq 0$ ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே இருக்கும். அடுத்து அணியின் தரம் (Rank). தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றங்கள் மூலம் அணியை நிரை ஏறுபடி வடிவத்திற்குக் கொண்டு வந்து தரம் காண்கிறோம். ஒரு தொகுப்புக்கு ஒரே ஒரு தீர்வா, எண்ணற்ற தீர்வுகளா, தீர்வே இல்லையா என்பதைத் தரம்தான் சொல்கிறது. வடிவியல் முறையில் பார்த்தால், மூன்று தளங்கள் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கின்றனவா, ஒரு கோட்டில் சந்திக்கின்றனவா, சந்திக்கவே இல்லையா என்ற வேறுபாடுதான் இது.

இந்தப் பாடத்தில் பெரும்பாலான மதிப்பெண்கள் கவனமான படிமுறையால் கிடைக்கின்றன. ஒரு இணைக்காரணியில் ஒரு குறி தவறினாலோ, ஒரு நிரை உருமாற்றத்தில் சிறு பிழை வந்தாலோ முழு விடையும் தவறாகிவிடும். எனவே முதலில் $|A|$ ஐச் சரிபார்க்கவும். நேர்மாறைக் கண்டபின் திரும்பப் பெருக்கி $I$ கிடைக்கிறதா என்று பார்க்கவும். ரூசே-கேபெல்லி தேற்றம் (Rouché-Capelli theorem) மூலம் ஒருங்கமைவைச் சோதிக்கும் வினாக்களும், காஸ் நீக்கல் முறையில் தீர்க்கும் சொற்கணக்குகளும் எதிர்பார்க்கலாம்.

நீங்கள் கற்பவை

• பூச்சியமற்றக் கோவை சதுர அணியின் சேர்ப்பு அணி, நேர்மாறு ஆகியவற்றைக் கண்டு, $AA^{-1} = I$ மூலம் விடையைச் சரிபார்த்தல்.
• தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றங்கள் மூலம் அணியை நிரை ஏறுபடி வடிவத்திற்குச் சுருக்குதல்.
• ஏறுபடி வடிவிலிருந்தோ சிற்றணிக்கோவைகளிலிருந்தோ அணியின் தரம் காணுதல்.
• சமபடித்தானமற்ற தொகுப்புகளை நேர்மாறு அணி முறை, கிராமரின் விதி, காஸ் நீக்கல் முறை மூலம் தீர்த்தல்.
• ரூசே-கேபெல்லி தேற்றம் மூலம் தொகுப்பின் ஒருங்கமைவைச் சோதித்து, தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையை முடிவு செய்தல்.
• செய்திகளைக் குறியீடாக்கவும் மீட்கவும், வேதிச் சமன்பாடுகளைச் சமன் செய்யவும் அணிகளைப் பயன்படுத்துதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• அணிகளின் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல்.
• 2x2, 3x3 அணிக்கோவைகளின் மதிப்பு காணுதல், இணைக்காரணிகள் காணுதல்.
• அலகு அணி, நிரை-நிரல் மாற்று அணி, திசையிலிப் பெருக்கல்.

அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் — விரிவான விளக்கம்

அணிகள் மூலம் நேரிய தொகுப்புகளைத் தீர்த்தல்

பூச்சியமற்றக் கோவை சதுர அணியின் நேர்மாறு

$|A| \neq 0$ எனில் சதுர அணி $A$ பூச்சியமற்றக் கோவை அணி (Non-singular matrix) எனப்படும். அப்போது மட்டுமே அதற்கு நேர்மாறு உண்டு. நேர்மாறு காண, இணைக்காரணிகளின் அணியை எழுதி, அதன் நிரை-நிரல் மாற்று அணியை எடுத்து $\text{adj}\,A$ பெறவும். பிறகு $|A|$ ஆல் வகுக்கவும். நேர்மாறு $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ ஐ நிறைவு செய்யும். வழக்கமான பண்புகளை மனப்பாடம் செய்யுங்கள்: வரிசை மாற்று விதிகள் $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$, மேலும் $n$ வரிசை அணிக்கு $|\text{adj}\,A| = |A|^{n-1}$ போன்ற முடிவுகள். இவை பல ஒரு மதிப்பெண் வினாக்களை விரைவாக்கும். $A^{-1}$ கிடைத்தவுடன், அணிச் சமன்பாடு $AX = B$ இலிருந்து $X = A^{-1}B$ கிடைக்கும்.

தொடக்கநிலை உருமாற்றங்களும் அணியின் தரமும்

தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றங்கள் மூன்று: இரண்டு நிரைகளை இடமாற்றுதல், ஒரு நிரையைப் பூச்சியமற்ற எண்ணால் பெருக்குதல், ஒரு நிரையின் மடங்கை இன்னொரு நிரையுடன் கூட்டுதல். நிரல்களுக்கும் இதே மூன்று உண்டு. இவற்றில் எதுவும் தரத்தை மாற்றாது. இவற்றைப் பயன்படுத்தி அணியை நிரை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு (Row-echelon form) கொண்டு வாருங்கள். அந்த வடிவில் பூச்சிய நிரைகள் எல்லாம் கீழே இருக்கும். ஒவ்வொரு நிரையின் முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பும் மேலே உள்ள நிரையின் முதல் பூச்சியமற்ற உறுப்பின் வலப்புறம் இருக்கும். அப்போது பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கையே தரம். பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவைகளில் மிக உயர்ந்த வரிசை என்றும் பாடநூல் தரத்தை வரையறுக்கிறது. இரண்டு வரையறைகளும் ஒரே எண்ணைத் தரும்.

நேர்மாறு அணி முறையும் கிராமரின் விதியும்

இரண்டு முறைகளுக்கும் $|A| \neq 0$ தேவை. நேர்மாறு அணி முறையில் $X = A^{-1}B$ ஐக் கணக்கிடுகிறோம். கிராமரின் விதியில் (Cramer's rule) $A$ இன் ஒவ்வொரு நிரலையும் ஒவ்வொன்றாக மாறிலிகளால் மாற்றி $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ பெறுகிறோம். பிறகு $x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$, $y = \frac{\Delta_2}{\Delta}$, $z = \frac{\Delta_3}{\Delta}$. இரண்டு அல்லது மூன்று தெரியாதவைகளுக்குக் கிராமரின் விதி விரைவானது. ஆனால் பெரிய தொகுப்புகளுக்குத் தேவையான அணிக்கோவைகளின் எண்ணிக்கை வேகமாக அதிகரிக்கும்.

காஸ் நீக்கல் முறையும் காஸ்-ஜோர்டன் முறையும்

காஸ் நீக்கல் முறையில் (Gaussian elimination) விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி $[A \mid B]$ ஐ எழுதி, அதை நிரை ஏறுபடி வடிவத்திற்குச் சுருக்குகிறோம். பிறகு கடைசிச் சமன்பாட்டிலிருந்து தொடங்கி பின்னோக்கிப் பிரதியிட்டுத் தீர்க்கிறோம். காஸ்-ஜோர்டன் முறையில் கெழுப் பகுதி அலகு அணியாக மாறும் வரை சுருக்குவதைத் தொடர்கிறோம். $[A \mid I]$ ஐ $[I \mid A^{-1}]$ ஆகச் சுருக்கி ஒரு அணியின் நேர்மாறு காணப் பாடநூல் இம்முறையைப் பயன்படுத்துகிறது. கிராமரின் விதியை விட நீக்கல் முறைக்கு ஒரு பெரிய நன்மை உண்டு: தொகுப்புக்குத் தீர்வு இல்லாவிட்டாலும், எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருந்தாலும் இது வேலை செய்யும். எந்த வகை என்பதையும் காட்டும்.

ஒருங்கமைவும் ரூசே-கேபெல்லி தேற்றமும்

$n$ தெரியாதவைகள் கொண்ட தொகுப்பு $AX = B$ க்கு, $\rho(A)$ ஐ $\rho([A \mid B])$ உடன் ஒப்பிடுங்கள். இவை வேறுபட்டால் தொகுப்பு ஒருங்கமைவு அற்றது; தீர்வு இல்லை. இவை சமம் எனில் தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது. பொதுவான தரம் $n$ க்குச் சமம் எனில் ஒரே ஒரு தீர்வு. பொதுவான தரம் $n$ ஐ விடக் குறைவு எனில் எண்ணற்ற தீர்வுகள். அவற்றை $n - \rho(A)$ கட்டற்ற துணையலகுகள் கொண்டு எழுதுகிறோம். சமபடித்தான தொகுப்பு $AX = O$ எப்போதும் ஒருங்கமைவு உடையது, ஏனெனில் $X = O$ ஒரு தீர்வு. $\rho(A) < n$ ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே அதற்கு வெளிப்படையற்ற (non-trivial) தீர்வுகள் உண்டு. சதுர அணிக்கு இதன் பொருள் $|A| = 0$.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• $|A|$ ஐச் சரிபார்க்காமல் $A^{-1}$ காணத் தொடங்குவது. $|A| = 0$ எனில் நேர்மாறு இல்லை; செய்த வேலை முழுவதும் வீணாகும்.
• இணைக்காரணி அணியின் நிரை-நிரல் மாற்றை எடுக்க மறப்பது. அப்போது கிடைப்பது இணைக்காரணி அணிதான், சேர்ப்பு அணி அல்ல.
• நிரை உருமாற்றத்தில் கணக்குப் பிழை செய்வது. இதனால் ஏறுபடி வடிவமும் தரமும் தவறாகும். $R_2 \to R_2 - 2R_1$ போல ஒவ்வொரு உருமாற்றத்தையும் எழுதுங்கள்.
• ரூசே-கேபெல்லி சோதனையைத் தலைகீழாகப் புரிந்துகொள்வது. தரங்கள் சமமில்லை எனில் தீர்வு இல்லை. தரங்கள் சமமாகவும் $n$ ஐ விடக் குறைவாகவும் இருந்தால் எண்ணற்ற தீர்வுகள்; தீர்வு இல்லை என்பது அல்ல.
• $\Delta = 0$ ஆக இருக்கும்போது கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்துவது. அப்போது அந்த விதி பொருந்தாது; தர முறை அல்லது நீக்கல் முறையைப் பயன்படுத்துங்கள்.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்றால் என்ன?

அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியம் அல்லாத சதுர அணி. இத்தகைய அணிக்கு ஒரே ஒரு நேர்மாறு உண்டு. அணிக்கோவை பூச்சியம் எனில் அது பூச்சியக் கோவை அணி (Singular matrix); அதற்கு நேர்மாறு இல்லை. $A$ பூச்சியக் கோவை அணியாக உள்ள $AX = B$ தொகுப்பு ஒருங்கமைவு அற்றதாக இருக்கும், அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகள் கொண்டிருக்கும். அதற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு ஒருபோதும் இருக்காது.

அணியின் தரத்தை எப்படிக் காண்பது?

தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றங்கள் மூலம் அணியை நிரை ஏறுபடி வடிவத்திற்குச் சுருக்கி, பூச்சியமற்ற நிரைகளை எண்ணுங்கள். சிறிய அணிக்கு, அணிக்கோவை பூச்சியமற்ற மிகப்பெரிய சதுர உள்ளணியையும் தேடலாம்; அதன் வரிசையே தரம். எடுத்துக்காட்டாக, $|A| \neq 0$ ஆக உள்ள 3x3 அணியின் தரம் 3.

கிராமரின் விதியை எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்?

இரண்டு அல்லது மூன்று தெரியாதவைகள் இருக்கும்போது, கெழு அணியின் அணிக்கோவை $\Delta$ பூச்சியம் இல்லையெனில் பயன்படுத்தலாம். ஒவ்வொரு தெரியாததையும் அணிக்கோவைகளின் விகிதமாக நேரடியாகத் தரும். பெரிய தொகுப்புகளுக்கு அதிக அணிக்கோவைகள் தேவைப்படும்; அங்கு காஸ் நீக்கல் முறை விரைவானது.

தொகுப்பு ஒருங்கமைவு அற்றது என்றால் என்ன பொருள்?

எல்லாச் சமன்பாடுகளையும் ஒரே நேரத்தில் நிறைவு செய்யும் மதிப்புகள் எதுவும் இல்லை. இரண்டு தெரியாதவைகள் கொண்ட இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கு இது இரண்டு இணைகோடுகளைக் குறிக்கும். தர மொழியில், $[A \mid B]$ இன் தரம் $A$ இன் தரத்தை விட அதிகம். விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியைச் சுருக்கும்போது $[0\ 0\ 0 \mid 5]$ போன்ற ஒரு நிரை வரும்; அது $0 = 5$ என்று சொல்கிறது.

காஸ் நீக்கல் முறைக்கும் காஸ்-ஜோர்டன் முறைக்கும் என்ன வேறுபாடு?

காஸ் நீக்கல் முறை நிரை ஏறுபடி வடிவத்தில் நின்றுவிடும். பிறகு பின்னோக்கிப் பிரதியிட்டுத் தெரியாதவைகளைக் காண்கிறோம். காஸ்-ஜோர்டன் முறை கெழுப் பகுதி அலகு அணியாக (சுருக்கப்பட்ட நிரை ஏறுபடி வடிவம்) மாறும் வரை தொடர்கிறது. எனவே மதிப்புகளை நேரடியாகப் படிக்கலாம். பாடநூலில் காஸ்-ஜோர்டன் முறை பெரும்பாலும் அணியின் நேர்மாறு காணப் பயன்படுகிறது.

செய்திகளைக் குறியீடாக்க அணிகள் எப்படிப் பயன்படுகின்றன?

எழுத்துகள் எண்களாக மாற்றப்படுகின்றன (A = 1, B = 2 என்று தொடர்ந்து, இடைவெளிக்கு 0). அவை சிறிய நிரை அணிகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொன்றையும் பூச்சியமற்றக் கோவை குறியீட்டு அணியால் பெருக்கினால் குறியீட்டுச் செய்தி கிடைக்கும். பெறுபவர் ஒவ்வொரு குறியீட்டு அணியையும் குறியீட்டு அணியின் நேர்மாறால் பெருக்கி, மூல எண்களைத் திரும்பப் பெறுகிறார். அவற்றிலிருந்து மூலச் செய்தி கிடைக்கும்.