மார்ச் 2025 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் பொதுத் தேர்வின் 20 ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், வினாத்தாள் வரிசையில், சரியான விடை குறிக்கப்பட்டு சுருக்கமான விளக்கத்துடன்.
Q1
கழித்தலின் கீழ் பின்வரும் கணம் அடைவு பெறவில்லை :
- A. \(\mathbb{N}\)சரி
- B. \(\mathbb{R}\)
- C. \(\mathbb{Q}\)
- D. \(\mathbb{Z}\)
விளக்கம். \(\mathbb{N}\) -ல் \(2-3=-1\notin\mathbb{N}\) எனவே கழித்தல் அடைவு பெறாது; \(\mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}\) -ல் அடைவு பெறும்.
Q2
0, 1 மற்றும் 2 ஆகிய மதிப்புகளில் ஒன்றை X கொள்கிறது என்க. ஏதோ ஒரு மாறிலி k -விற்கு, \(P(X=i)=k\,P(X=i-1)\), \(i=1, 2\) மற்றும் \(P(X=0)=\frac{1}{7}\) எனில் k -இன் மதிப்பு காண்க.
விளக்கம். \(P(0)=\frac{1}{7}, P(1)=\frac{k}{7}, P(2)=\frac{k^2}{7}\). நிகழ்தகவுகளின் கூடுதல் 1 என்பதால் \(1+k+k^2=7\), \((k+3)(k-2)=0\); k மிகை எண் என்பதால் k = 2.
Q3
A என்பது \(3\times 3\) வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி மேலும் \(|A|=5\) எனில் \(|A^{-1}|=\) :
- A. \(5^2\)
- B. 5
- C. \(\frac{1}{5^2}\)
- D. \(\frac{1}{5}\)சரி
விளக்கம். \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac{1}{5}\).
Q4
ஒரு கல்லானது செங்குத்தாக மேல்நோக்கி எறியப்படுகின்றது. t நேரத்தில் அது அடைந்த உயரம் \(x=80t-16t^2\). கல் அதிகபட்ச உயரத்தை t வினாடி நேரத்தில் அடைந்தால் t ஆனது :
- A. 3
- B. 2
- C. 3.5
- D. 2.5சரி
விளக்கம். அதிகபட்ச உயரத்தில் திசைவேகம் பூச்சியம்: \(\frac{dx}{dt}=80-32t=0\), எனவே \(t=2.5\) வினாடி.
Q5
\(\sqrt{\frac{dy}{dx}}-4\frac{dy}{dx}-7x=0\) என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி முறையே :
- A. 1, 2சரி
- B. 2, 1
- C. 2, 2
- D. 1, 1
விளக்கம். முதல் வகைக்கெழு மட்டுமே உள்ளதால் வரிசை 1. விகிதமுறா அடுக்கை நீக்க: \(\frac{dy}{dx}=\left(4\frac{dy}{dx}+7x\right)^2\); \(\frac{dy}{dx}\) -ன் அதிகபட்ச அடுக்கு 2 என்பதால் படி 2.
Q6
\(A=\begin{bmatrix}2 & 3\\ 5 & -2\end{bmatrix}\) மற்றும் \(\lambda A^{-1}=A\) எனில், \(\lambda\) -ன் மதிப்பு :
- A. 19சரி
- B. 17
- C. 21
- D. 14
விளக்கம். இருபுறமும் A -ஆல் பெருக்க: \(\lambda I=A^2\). \(A^2=\begin{bmatrix}19 & 0\\ 0 & 19\end{bmatrix}=19I\), எனவே \(\lambda=19\).
Q7
\(y=f(x)\) எனும் வளைவரையின் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியிடத்து சாய்வு \(\frac{dy}{dx}=3x^2\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் வளைவரையானது \((-1, 1)\) புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது எனில், வளைவரையின் சமன்பாடு :
- A. \(y=3x^3+4\)
- B. \(y=x^3+2\)சரி
- C. \(y=x^3+5\)
- D. \(y=3x^2+4\)
விளக்கம். தொகையிட, \(y=x^3+C\). \((-1,1)\) -ல் \(1=-1+C\), எனவே \(C=2\) மற்றும் \(y=x^3+2\).
Q8
\(f(x)=\sin^{-1}\sqrt{x-1}\) என வரையறுக்கப்படும் சார்பின் சார்பகம் :
- A. \([0, 1]\)
- B. \([1, 2]\)சரி
- C. \([-1, 0]\)
- D. \([-1, 1]\)
விளக்கம். \(0\le\sqrt{x-1}\le 1\) ஆக இருக்க வேண்டும், அதாவது \(0\le x-1\le 1\); எனவே \(x\in[1, 2]\).
Q9
\(u(x, y)=e^{x^2+y^2}\), எனில் \(\frac{\partial u}{\partial x}\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(x^2u\)
- B. \(e^{x^2+y^2}\)
- C. \(y^2u\)
- D. \(2xu\)சரி
விளக்கம். \(\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x^2+y^2}\cdot 2x=2xu\).
Q10
\([0, 2\pi]\) -ல் \(\sin^4x-2\sin^2x+1\) -ஐ நிறைவு செய்யும் மெய்யெண்களின் எண்ணிக்கை :
- A. 1
- B. 2சரி
- C. \(\infty\)
- D. 4
விளக்கம். வினாத்தாளில் "= 0" விடுபட்டுள்ளது; கருதப்பட்ட சமன்பாடு \(\sin^4x-2\sin^2x+1=0\). அப்போது \((\sin^2x-1)^2=0\), \(\sin x=\pm 1\), எனவே \(x=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\): 2 மதிப்புகள்.
Q11
i -ன் வர்க்க மூலங்கள் :
- A. \(\pm\frac{1}{2}(1+i)\)
- B. \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\)சரி
- C. \(\pm\frac{1}{2}(1-i)\)
- D. \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\)
விளக்கம். \(\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1+2i-1}{2}=i\), எனவே வர்க்க மூலங்கள் \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\).
Q12
\(\sum_{n=1}^{13}(i^n+i^{n-1})\) -ன் மதிப்பு :
- A. 1
- B. \(1+i\)சரி
- C. 0
- D. i
விளக்கம். i -ன் தொடர்ச்சியான நான்கு அடுக்குகளின் கூடுதல் 0. எனவே \(\sum_{n=1}^{13}i^n=i^{13}=i\), \(\sum_{n=1}^{13}i^{n-1}=i^{12}=1\); மொத்தம் \(1+i\).
Q13
ஈருறுப்பு மாறி X ஆறு முயற்சிகளில் \(9P(X=4)=P(X=2)\) எனும் தொடர்பினை அனுசரிக்கிறது எனில் வெற்றியின் நிகழ்தகவு :
- A. 0.375
- B. 0.125
- C. 0.75
- D. 0.25சரி
விளக்கம். \(9\binom{6}{4}p^4q^2=\binom{6}{2}p^2q^4\) என்பதிலிருந்து \(9p^2=q^2\), எனவே \(q=3p\). \(p+q=1\) என்பதால் \(p=0.25\).
Q14
\(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}, z=2\) மற்றும் \(\frac{x-1}{1}=\frac{2y+3}{3}=\frac{z+5}{2}\) என்ற கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் :
- A. \(\frac{\pi}{3}\)
- B. \(\frac{\pi}{6}\)
- C. \(\frac{\pi}{2}\)சரி
- D. \(\frac{\pi}{4}\)
விளக்கம். திசை விகிதங்கள் \((3, -2, 0)\) மற்றும் \(\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)\). புள்ளிப் பெருக்கம் \(=3-3+0=0\), எனவே கோடுகள் செங்குத்தானவை: \(\frac{\pi}{2}\).
Q15
\(y=(x-1)^3\) என்ற வளைவரையின் வளைவு மாற்றப் புள்ளி :
- A. \((1, 0)\)சரி
- B. \((0, 0)\)
- C. \((1, 1)\)
- D. \((0, 1)\)
விளக்கம். \(y''=6(x-1)\) ஆனது \(x=1\) -ல் பூச்சியமாகி குறி மாறுகிறது; \(y(1)=0\), எனவே புள்ளி \((1, 0)\).
Q16
\(\int_0^{\frac{2}{3}}\frac{dx}{\sqrt{4-9x^2}}\) இன் மதிப்பு :
- A. \(\frac{\pi}{4}\)
- B. \(\frac{\pi}{6}\)சரி
- C. \(\pi\)
- D. \(\frac{\pi}{2}\)
விளக்கம். \(\int\frac{dx}{\sqrt{4-9x^2}}=\frac{1}{3}\sin^{-1}\frac{3x}{2}\). 0 முதல் \(\frac{2}{3}\) வரை: \(\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}\).
Q17
\(y^2=x(a-x)\) என்ற வளைவரையில் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை x -அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப்பொருளின் கனஅளவு :
- A. \(\frac{\pi a^3}{5}\)
- B. \(\pi a^3\)
- C. \(\frac{\pi a^3}{6}\)சரி
- D. \(\frac{\pi a^3}{4}\)
விளக்கம். \(V=\pi\int_0^a(ax-x^2)\,dx=\pi\left(\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}\right)=\frac{\pi a^3}{6}\).
Q18
நீள்வட்டத்தின் அரைக்குற்றச்சு OB, F மற்றும் F' குவியங்கள் மற்றும் FBF' ஒரு செங்கோணம் எனில் அந்த நீள்வட்டத்தின் மையத்தொலைத் தகவு காண்க.
- A. \(\frac{1}{4}\)
- B. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)சரி
- C. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
- D. \(\frac{1}{2}\)
விளக்கம். கோணம் FBF' = 90° எனில் கோணம் FBO = 45°, எனவே OF = OB, அதாவது \(ae=b\). அப்போது \(a^2e^2=a^2(1-e^2)\), \(e^2=\frac{1}{2}\), எனவே \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}\).
Q19
\(\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}, \hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}\) என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கனஅளவு :
- A. \(\pi\)சரி
- B. \(\frac{\pi}{2}\)
- C. \(\frac{\pi}{4}\)
- D. \(\frac{\pi}{3}\)
விளக்கம். கனஅளவு \(=\left|\begin{vmatrix}1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & \pi\end{vmatrix}\right|=\pi(2-1)=\pi\).
Q20
x -ன் அனைத்து மதிப்பிற்கும் \(f(x)>0\) என்க, மேலும் \(g(x)=\log(f(x))\), எனில் dg = :
- A. \(\frac{1}{f(x)}\,dx\)
- B. \(\frac{1}{f(x)}f'(x)\,dx\)சரி
- C. \(\frac{1}{x}\,dx\)
- D. \(\frac{1}{x}f(x)\,dx\)
விளக்கம். சங்கிலி விதிப்படி \(dg=g'(x)\,dx=\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx\).
