மார்ச் 2023 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் பொதுத் தேர்வின் 20 ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், வினாத்தாள் வரிசையில், சரியான விடை குறிக்கப்பட்டு சுருக்கமான விளக்கத்துடன்.
Q1
n வரிசையுடைய ஒரு சதுர அணிக்கு நேர்மாறு காணத் தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை :
- A. \(\rho(A) > n\)
- B. \(\rho(A) = n\)சரி
- C. \(\rho(A) \neq n\)
- D. \(\rho(A) < n\)
விளக்கம். n வரிசை சதுர அணி பூச்சியமற்ற அணிக்கோவை கொண்டிருந்தால் மட்டுமே நேர்மாறு உண்டு; அதாவது அதன் தரம் n ஆக இருக்க வேண்டும்.
Q2
ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து \(3x-6y+2z+7=0\) என்ற தளத்திற்கு உள்ள தொலைவு :
விளக்கம். தொலைவு = \(\frac{|7|}{\sqrt{9+36+4}} = \frac{7}{7} = 1\).
Q3
\(3\cos^{-1}x = \cos^{-1}(4x^3-3x)\) எனில் :
- A. \(x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)\)
- B. \(x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]\)சரி
- C. \(x \in (-\infty, 1]\)
- D. \(x \in \left[\frac{1}{2}, \infty\right)\)
விளக்கம். \(x=\cos\theta\) எனில் \(\cos^{-1}(\cos 3\theta)=3\theta\) ஆக \(0 \le 3\theta \le \pi\) அதாவது \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}\) வேண்டும்; எனவே \(\frac{1}{2} \le x \le 1\).
Q4
\(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\) எனும் வகைக்கெழு சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வு :
- A. \(y = kx\)சரி
- B. \(xy = k\)
- C. \(\log y = kx\)
- D. \(y = k\log x\)
விளக்கம். மாறிகளைப் பிரிக்க \(\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}\); தொகையிட \(\log y = \log x + \log k\), எனவே \(y = kx\).
Q5
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து \(y^2 = 4ax\) என்ற பரவளையத்திற்கு வரையப்படும் செங்கோடுகளின் எண்ணிக்கை :
விளக்கம். செங்கோடு \(y = mx - 2am - am^3\) என்பது m -ல் முப்படிச் சமன்பாடு; எனவே ஒரு புள்ளியிலிருந்து மூன்று செங்கோடுகள் வரையலாம்.
Q6
\(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்பன இணை வெக்டர்கள் எனில் \([\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]\) -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். \(\vec{b} = \lambda\vec{a}\) என்பதால் திசையிலி முப்பெருக்கத்தில் இரு இணை வெக்டர்கள் உள்ளன; எனவே மதிப்பு 0.
Q7
\([0, 2\pi]\) -ல் \(\sin^4 x - 2\sin^2 x + 1\) -யை நிறைவு செய்யும் மெய்யெண்களின் எண்ணிக்கை :
- A. 1
- B. 2சரி
- C. \(\infty\)
- D. 4
விளக்கம். வினாத்தாளில் "= 0" விடுபட்டுள்ளது; \(\sin^4 x - 2\sin^2 x + 1 = 0\) அதாவது \((\sin^2 x - 1)^2 = 0\), எனவே \(\sin^2 x = 1\); \(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\) என 2 மதிப்புகள்.
Q8
0, 1 மற்றும் 2 ஆகிய மதிப்புகளில் ஒன்றை X கொள்கிறது என்க. ஏதோ ஒரு மாறிலி k -விற்கு, \(P(X=i) = kP(X=i-1)\), \(i = 1, 2\) மற்றும் \(P(X=0) = \frac{1}{7}\) எனில் k -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். \(P(X=1)=\frac{k}{7}, P(X=2)=\frac{k^2}{7}\); நிகழ்தகவுகளின் கூடுதல் \(\frac{1+k+k^2}{7}=1\) எனவே \(k^2+k-6=0\); k மிகை எண் என்பதால் \(k=2\).
Q9
\(x^2 e^{-2x}, x > 0\) என்ற சார்பின் பெரும மதிப்பு :
- A. \(\frac{1}{e^2}\)சரி
- B. \(\frac{1}{e}\)
- C. \(\frac{4}{e^4}\)
- D. \(\frac{1}{2e}\)
விளக்கம். \(f'(x) = 2xe^{-2x}(1-x) = 0\) எனில் \(x=1\) (பெருமம்); பெரும மதிப்பு \(f(1) = e^{-2}\).
Q10
* என்ற ஈருறுப்புச் செயலி \(a * b = \frac{ab}{7}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. * எதன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி ஆகாது ?
- A. R
- B. \(Q^+\)
- C. C
- D. Zசரி
விளக்கம். முழுக்களுக்கு \(\frac{ab}{7}\) முழுவாக இருக்க வேண்டியதில்லை (எ.கா. \(1 * 1 = \frac{1}{7}\)); எனவே Z -ல் * அடைவுப் பண்பு பெறவில்லை.
Q11
\(y^2 = 4x\) என்ற பரவளையத்திற்கும் அதன் செவ்வகலத்திற்கும் இடையே பரப்பானது :
- A. \(\frac{8}{3}\)சரி
- B. \(\frac{2}{3}\)
- C. \(\frac{5}{3}\)
- D. \(\frac{4}{3}\)
விளக்கம். செவ்வகலம் \(x=1\). பரப்பு \(= 2\int_0^1 2\sqrt{x}\,dx = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\).
Q12
ஆதியில் \(y^2 = x\) மற்றும் \(x^2 = y\) என்ற வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் :
- A. \(\frac{\pi}{2}\)சரி
- B. \(\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\)
- C. \(\frac{\pi}{4}\)
- D. \(\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)
விளக்கம். ஆதியில் \(y^2 = x\) -ன் தொடுகோடு y-அச்சு, \(x^2 = y\) -ன் தொடுகோடு x-அச்சு; எனவே கோணம் \(\frac{\pi}{2}\).
Q13
\(|\text{adj}(\text{adj}A)| = |A|^{16}\) எனில், சதுர அணி A -ன் வரிசையானது :
விளக்கம். \(|\text{adj}(\text{adj}A)| = |A|^{(n-1)^2}\); எனவே \((n-1)^2 = 16\), \(n = 5\).
Q14
\(\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^8 + \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^8\) -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். \(\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2 = i\), \(\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^2 = -i\); எனவே கூடுதல் \(i^4 + (-i)^4 = 1 + 1 = 2\).
Q15
\(|z| = 1\) எனில் \(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(\frac{1}{z}\)
- B. \(z\)சரி
- C. 1
- D. \(\bar{z}\)
விளக்கம். \(\bar{z} = \frac{1}{z}\) என்பதால் \(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}} = \frac{z(1+z)}{z+1} = z\).
Q16
\(f(x) = \sqrt{8-2x}\) என்ற வளைவரையின் எந்த x -ஆயத்தொலைவில் வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் சாய்வு \(-0.25\) ஆக இருக்கும் ?
- A. -2
- B. -8
- C. 0
- D. -4சரி
விளக்கம். \(f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{8-2x}} = -\frac{1}{4}\) எனில் \(8-2x = 16\); எனவே \(x = -4\).
Q17
\(\int_0^{\pi/3} \tan x\,dx\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(-\log 2\)
- B. \(\log 2\)சரி
- C. \(-\log 3\)
- D. \(\log 3\)
விளக்கம். \(\int_0^{\pi/3} \tan x\,dx = [\log \sec x]_0^{\pi/3} = \log 2 - \log 1 = \log 2\).
Q18
\(\sum_{r=0}^{n} {}^nC_r (-1)^r x^r\) எனும் பல்லுறுப்புக் கோவையின் மிகையெண் பூச்சியமாக்கிகளின் எண்ணிக்கை :
- A. \(< n\)
- B. 0
- C. r
- D. nசரி
விளக்கம். இப்பல்லுறுப்புக் கோவை \((1-x)^n\); இதன் பூச்சியமாக்கி \(x = 1\) மிகை எண், n முறை மீள்கிறது (கெழுக்களின் குறிமாற்றங்களும் n); எனவே n மிகையெண் பூச்சியமாக்கிகள்.
Q19
\(\sin^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)\) -ன் முதன்மை மதிப்பு :
- A. \(\frac{-\pi}{6}\)சரி
- B. 0
- C. \(\frac{-\pi}{2}\)
- D. \(\frac{\pi}{2}\)
விளக்கம். \(\sin^{-1}\) -ன் முதன்மை வீச்சு \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\); \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
Q20
\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) என்ற நீள்வட்டத்தினுள் வரையப்படும் மிகப் பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்பு :
- A. \(\sqrt{ab}\)
- B. 2abசரி
- C. \(\frac{a}{b}\)
- D. ab
விளக்கம். உச்சி \((a\cos\theta, b\sin\theta)\) எனில் பரப்பு \(= 4ab\sin\theta\cos\theta = 2ab\sin 2\theta\); \(\theta = \frac{\pi}{4}\) -ல் பெருமம் \(2ab\).
