தனிநிலைக் கணிதம்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

தனிநிலைக் கணிதம் பற்றி

நடுத்தரம் ~210 நிமிடப் படிப்பு

தனிநிலைக் கணக்கியல் (Discrete Mathematics) சீராக மாறும் மதிப்புகளை அல்ல, தனித்தனியான, எண்ணக்கூடிய மதிப்புகளை எடுக்கும் பொருள்களைப் பற்றியது. இந்த அலகில் பாடநூல் அத்தகைய இரண்டு தலைப்புகளைப் பார்க்கிறது. முதலாவது ஈருறுப்புச் செயலிகள் (Binary Operations): கூட்டல், பெருக்கல் போல, ஒரு கணத்தின் இரண்டு உறுப்புகளை எடுத்து ஓர் உறுப்பைத் திருப்பித் தரும் விதிகள். இரண்டாவது கணித ஏரணம் (Mathematical Logic); இதில் வாக்கியங்கள் மெய் அல்லது பொய் ஆகக்கூடிய இயற்கணிதக் குறியீடுகள் போலக் கையாளப்படுகின்றன.

முதல் பகுதியில், கொடுக்கப்பட்ட விதி ஒரு கணத்தின் மேல் ஈருறுப்புச் செயலியா, அதற்கு எந்தப் பண்புகள் உள்ளன என்று சரிபார்க்கிறீர்கள். எடுத்துக்காட்டாக, கழித்தல் \(\mathbb{Z}\) இன் மேல் ஈருறுப்புச் செயலி; ஆனால் \(\mathbb{N}\) இன் மேல் அல்ல, ஏனெனில் \(2 - 5\) ஓர் இயல் எண் அல்ல. மட்டு 5 கூட்டலின் கீழ் \(\mathbb{Z}_5\) போன்ற முடிவுறு அமைப்புகளையும், உறுப்புகள் 0, 1 மட்டுமே உள்ள அணிகளையும் கையாளுகிறீர்கள்.

இரண்டாம் பகுதியில் \(\neg\), \(\wedge\), \(\vee\), \(\rightarrow\), \(\leftrightarrow\) ஆகியவற்றைக் கொண்டு கூற்றுகளைக் குறியீடுகளில் எழுதி, அவற்றின் மெய் மதிப்புகளைக் காண மெய் அட்டவணைகளை அமைக்கிறீர்கள். இங்கு பாடநூல் ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள் பொதுவாக நேரடியானவை: மெய் அட்டவணையின் நிரைகளை எண்ணுதல், மெய்மத்தைக் கண்டறிதல், சமனி உறுப்பைக் காணுதல், ஒரு கூற்றின் எதிர்நேர்மாறைத் தேர்ந்தெடுத்தல். ஐந்து இணைப்பிகளின் மெய் அட்டவணைகளையும் மனப்பாடம் செய்யுங்கள்; இந்த வினாக்களில் பெரும்பாலானவை அவற்றில் ஒன்றைப் படிப்பதில் முடிந்துவிடும்.

நீங்கள் கற்பவை

• அடைவுப் பண்பைச் சோதித்து, கொடுக்கப்பட்ட விதி ஒரு கணத்தின் மேல் ஈருறுப்புச் செயலியா எனச் சரிபார்த்தல்.
• பரிமாற்று, சேர்ப்புப் பண்புகளைச் சோதித்து, சமனி உறுப்பையும் எதிர்மறைகளையும் (இருந்தால்) காணுதல்.
• மட்டு n கூடுதல்களையும் பெருக்கற்பலன்களையும் கணக்கிட்டு, இந்தச் செயலிகளுக்குக் கெய்லி அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துதல்.
• ஐந்து இணைப்பிகளும் வரும் கூட்டுக் கூற்றுகளுக்கு மெய் அட்டவணைகளை அமைத்தல்.
• ஒரு கூற்றை மெய்மம், முரண்பாடு அல்லது நிச்சயமின்மை என வகைப்படுத்துதல்.
• டி மார்கன் விதிகள் உள்ளிட்ட தர்க்கச் சமான விதிகளைக் கொண்டு கூற்றுகளைச் சுருக்குதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• கணங்களும் N, Z, Q, R எண் அமைப்புகளும்.
• சாதாரணக் கூட்டல், பெருக்கலின் பண்புகள்.
• அலகு 1 இன் அணிக் குறியீடும் அணிச் செயல்களும்.

தனிநிலைக் கணிதம் — விரிவான விளக்கம்

ஈருறுப்புச் செயலிகளும் கணித ஏரணமும்

ஈருறுப்புச் செயலிகள்

வெற்றற்ற கணம் \(S\) இன் மேல் ஈருறுப்புச் செயலி \(*\) என்பது, \(S\) இன் உறுப்புகளால் ஆன ஒவ்வொரு வரிசைச் சோடி \((a, b)\) க்கும், \(S\) இலேயே உள்ள ஒரே ஒரு உறுப்பு \(a * b\) ஐத் தரும் விதி. கடைசி நிபந்தனையே அடைவுப் பண்பு (Closure); முதலில் சரிபார்க்க வேண்டியது இதுதான். கூட்டல் \(\mathbb{N}\) இன் மேல் ஈருறுப்புச் செயலி; கழித்தல் அல்ல. வகுத்தல் \(\mathbb{R}\) இன் மேல் கூட ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல, ஏனெனில் பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படவில்லை. அடைவுப் பண்பு நிறைவேறிய பிறகு மற்ற பண்புகளைச் சோதியுங்கள். எல்லா உறுப்புகளுக்கும் \(a * b = b * a\) எனில் செயலி பரிமாற்றுப் பண்பு உடையது; \((a * b) * c = a * (b * c)\) எனில் சேர்ப்புப் பண்பு உடையது. சமனி உறுப்பு \(e\) ஆனது \(a * e = e * a = a\) ஐ நிறைவு செய்கிறது; அது இருந்தால் ஒருமைத்தன்மை உடையது. \(a\) இன் எதிர்மறை என்பது \(a * a' = a' * a = e\) ஆகும் உறுப்பு \(a'\). சமனியைக் கண்ட பிறகே எதிர்மறைகளைப் பற்றிப் பேச முடியும்.

மட்டு எண்கணிதமும் பூலியன் அணிகளும்

\(+_n\) எனக் குறிக்கப்படும் மட்டு \(n\) கூட்டல், இரண்டு முழு எண்களைக் கூட்டி, \(n\) ஆல் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதியை மட்டும் வைத்துக்கொள்கிறது. \(\times_n\) எனக் குறிக்கப்படும் மட்டு \(n\) பெருக்கல் இதையே பெருக்கற்பலனுக்குச் செய்கிறது. \(\mathbb{Z}_5\) இல் \(3 +_5 4 = 2\), \(3 \times_5 4 = 2\). \(+_n\) இன் சமனி 0; \(\times_n\) இன் சமனி 1. இந்தச் செயலிகளுக்கான கெய்லி அட்டவணைகள் சமனிகளையும் எதிர்மறைகளையும் எளிதாகப் படிக்க உதவுகின்றன. பூலியன் அணியில் 0, 1 மட்டுமே உறுப்புகள். இணைப்பு (Join) \(A \vee B\) ஒத்த உறுப்புகளில் பெரியதை எடுக்கிறது; சந்திப்பு (Meet) \(A \wedge B\) சிறியதை எடுக்கிறது. ஒரு நிலையான வரிசை உள்ள பூலியன் அணிகளின் கணத்தில் இரண்டு செயலிகளும் பரிமாற்று, சேர்ப்புப் பண்புகள் உடையவை.

கூற்றுகளும் மெய் அட்டவணைகளும்

கூற்று (Statement) என்பது மெய் அல்லது பொய் ஆக இருக்கும், ஆனால் இரண்டுமாக இல்லாத வாக்கியம். வினாக்கள், கட்டளைகள், வியப்பு வாக்கியங்கள் கூற்றுகள் அல்ல. தனிக் கூற்றைச் சிறிய கூற்றுகளாகப் பிரிக்க முடியாது; கூட்டுக் கூற்று தனிக் கூற்றுகளிலிருந்து இணைப்பிகள் மூலம் உருவாகிறது. மறுப்பு \(\neg p\) மெய் மதிப்பைத் தலைகீழாக்குகிறது. இணையல் \(p \wedge q\) இரண்டு பகுதிகளும் மெய்யாக இருக்கும்போது மட்டுமே மெய். பிரிப்பிணையல் \(p \vee q\) இரண்டு பகுதிகளும் பொய்யாக இருக்கும்போது மட்டுமே பொய். மெய் அட்டவணை (Truth Table) தனிக் கூற்றுகளின் மெய் மதிப்புகளின் எல்லாச் சேர்க்கைகளையும் பட்டியலிடுகிறது; ஆகவே \(n\) தனிக் கூற்றுகள் இருந்தால் அட்டவணையில் \(2^n\) நிரைகள் இருக்கும்.

நிபந்தனை, இருநிபந்தனைக் கூற்றுகள்

நிபந்தனைக் கூற்று \(p \rightarrow q\) என்பது “\(p\) எனில் \(q\)” எனப் படிக்கப்படுகிறது. \(p\) மெய்யாகவும் \(q\) பொய்யாகவும் இருக்கும்போது மட்டுமே இது பொய்; \(p\) பொய்யாக இருக்கும் நிரைகள் உட்பட மற்ற எல்லா நிரைகளிலும் மெய். இருநிபந்தனைக் கூற்று \(p \leftrightarrow q\) என்பது “\(p\) எனில், எனில் மட்டுமே \(q\)” எனப் படிக்கப்படுகிறது; \(p\), \(q\) இரண்டுக்கும் ஒரே மெய் மதிப்பு இருக்கும்போது சரியாக அப்போது மட்டும் மெய். \(p \rightarrow q\) இலிருந்து மறுதலை (Converse) \(q \rightarrow p\), நேர்மாறு (Inverse) \(\neg p \rightarrow \neg q\), எதிர்நேர்மாறு (Contrapositive) \(\neg q \rightarrow \neg p\) ஆகியவற்றை அமைக்கிறோம். கூற்றும் அதன் எதிர்நேர்மாறும் தர்க்கச் சமானமானவை. மறுதலையும் நேர்மாறும் ஒன்றுக்கொன்று சமானமானவை; ஆனால் மூலக் கூற்றுக்குச் சமானமானவை அல்ல.

மெய்மங்கள், இருமைத்தன்மை, தர்க்கச் சமானம்

ஒரு கூட்டுக் கூற்றின் மெய் அட்டவணையின் கடைசி நிரலில் எல்லாம் T எனில் அது மெய்மம் (Tautology); எல்லாம் F எனில் முரண்பாடு (Contradiction); இல்லையெனில் நிச்சயமின்மை (Contingency). எடுத்துக்காட்டாக, \(p \vee \neg p\) ஒரு மெய்மம்; \(p \wedge \neg p\) ஒரு முரண்பாடு. ஒரு கூற்றில் \(\wedge\) ஐயும் \(\vee\) ஐயும், T ஐயும் F ஐயும் இடம் மாற்றினால் அதன் இருமை (Dual) கிடைக்கும். இரண்டு கூற்றுகளுக்கு எல்லா நிரைகளிலும் ஒரே மெய் மதிப்புகள் இருந்தால் அவை தர்க்கச் சமானமானவை; \(p \equiv q\) என எழுதுகிறோம். திட்ட விதிகளில் தன்னடுக்கு, பரிமாற்று, சேர்ப்பு, பங்கீட்டு, சமனி, நிரப்பி, உட்கவர், டி மார்கன் விதிகள் அடங்கும்; எடுத்துக்காட்டாக \(\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q\). நினைவில் வைக்க வேண்டிய பயனுள்ள ஒன்று \(p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q\). இந்த விதிகளைக் கொண்டு, முழு மெய் அட்டவணை வரைவதற்குப் பதிலாக ஒரு கோவையைப் படிப்படியாகச் சுருக்கலாம்.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• அடைவுப் பண்பைச் சரிபார்க்காமல் ஒரு செயலியை ஈருறுப்புச் செயலி எனக் கூறுவது; எடுத்துக்காட்டாக N இன் மேல் கழித்தல், இங்கு 2 − 5 கணத்தை விட்டு வெளியே போகிறது.
• p பொய்யாக இருக்கும்போது p → q ஐப் பொய் எனக் கொள்வது. p மெய்யாகவும் q பொய்யாகவும் இருக்கும்போது மட்டுமே நிபந்தனைக் கூற்று பொய்.
• p → q இன் எதிர்நேர்மாறை ¬p → ¬q என எழுதுவது. அது நேர்மாறு; எதிர்நேர்மாறு ¬q → ¬p.
• இணைப்பியை மாற்றாமல் டி மார்கன் விதிகளைப் பயன்படுத்துவது: ¬(p ∧ q) என்பது ¬p ∨ ¬q; ¬p ∧ ¬q அல்ல.
• சமனி உறுப்பைக் காணும் முன்பே எதிர்மறைகளைத் தேடுவது, அல்லது a ∗ e = a ஐ ஒரு பக்கம் மட்டும் சரிபார்ப்பது.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

தனிக் கூற்றுக்கும் கூட்டுக் கூற்றுக்கும் என்ன வேறுபாடு?

தனிக் கூற்று ஒரே ஒரு உண்மையைக் கூறுகிறது; அதைச் சிறிய கூற்றுகளாகப் பிரிக்க முடியாது, '5 ஒரு பகா எண்' போல. கூட்டுக் கூற்று 'மற்றும்', 'அல்லது', 'எனில்' போன்ற இணைப்பிகளால் தனிக் கூற்றுகளை இணைக்கிறது, அல்லது 'இல்லை' ஐப் பயன்படுத்துகிறது. அதன் மெய் மதிப்பு அதன் பகுதிகளின் மெய் மதிப்புகளைச் சார்ந்தது.

ஒரு செயலி பரிமாற்றுப் பண்பு உடையது என எப்படி நிரூபிப்பது?

கணத்திலிருந்து ஏதேனும் இரண்டு உறுப்புகள் a, b ஐ எடுத்து a ∗ b = b ∗ a எனக் காட்டுங்கள். ஒன்றிரண்டு சோடிகளைச் சரிபார்த்தால் போதாது; எல்லாச் சோடிகளுக்கும் இந்தச் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்க வேண்டும். ஒரு செயலி பரிமாற்றுப் பண்பு உடையது அல்ல எனக் காட்ட, ஒரே ஓர் எதிர் எடுத்துக்காட்டு போதும்.

ஏரணத்தில் மெய்மம் என்பது என்ன?

மெய்மம் என்பது அதன் தனிக் கூற்றுகளின் மெய் மதிப்புகளின் எல்லாச் சேர்க்கைகளுக்கும் மெய்யாக இருக்கும் கூட்டுக் கூற்று. அதன் மெய் அட்டவணையின் கடைசி நிரலில் T மட்டுமே இருக்கும். மிக எளிய எடுத்துக்காட்டு p ∨ ¬p.

சமனி உறுப்பின் பங்கு என்ன?

சமனி உறுப்பு e, செயலியின் கீழ் ஒவ்வோர் உறுப்பையும் மாற்றாமல் விடுகிறது: a ∗ e = e ∗ a = a. Z இன் மேல் கூட்டலுக்குச் சமனி 0; பெருக்கலுக்கு 1. சமனி இருந்தால் அது ஒருமைத்தன்மை உடையது; எதிர்மறைகள் அதைப் பொறுத்தே வரையறுக்கப்படுகின்றன.

மட்டு எண்கணிதம் சாதாரண எண்கணிதத்திலிருந்து எப்படி வேறுபடுகிறது?

மட்டு n எண்கணிதத்தில் வழக்கம்போல் கூட்டல் அல்லது பெருக்கல் செய்து, பிறகு n ஆல் வகுத்த மீதியை மட்டும் வைத்துக்கொள்கிறீர்கள். ஆகவே விடைகள் எப்போதும் {0, 1, ..., n − 1} இல் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, 4 ×₆ 5 = 20 மீதி 2 ஐத் தருவதால் விடை 2.

கணிதத்தில் எதிர்நேர்மாறு ஏன் பயனுள்ளது?

p → q இன் எதிர்நேர்மாறு ¬q → ¬p; இரண்டும் தர்க்கச் சமானமானவை. ஆகவே எதிர்நேர்மாறை நிரூபித்தால் மூலக் கூற்று நிரூபிக்கப்படுகிறது. சில நேரங்களில் இது எளிது; எடுத்துக்காட்டாக, 'n² இரட்டை எண் எனில் n இரட்டை எண்' என்பதைக் காட்ட, 'n ஒற்றை எண் எனில் n² ஒற்றை எண்' என நிரூபிக்கலாம்.