தனிநிலைக் கணிதம் — படிப்புக் குறிப்புகள்

1. ஈருறுப்புச் செயலி (Binary Operation)

ஒரு வெற்றில்லாக் கணம் \( S \) இன் மீது வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்புச் செயலி \( * \) என்பது \( * : S \times S \to S \) என்ற சார்பு ஆகும். அதாவது \( a, b \in S \) எனில் \( a * b \) என்பதும் \( S \) இல் ஒரே ஒரு உறுப்பாக அமைய வேண்டும். இந்தப் பண்பே அடைவுப் பண்பு (closure). அடைவு தவறினால் அது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

• கூட்டல், பெருக்கல் ஆகியவை \( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \) அனைத்திலும் ஈருறுப்புச் செயலிகள்.
• கழித்தல் \( \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \) இல் ஈருறுப்புச் செயலி; ஆனால் \( \mathbb{N} \) இல் அல்ல (\( 1 - 2 \notin \mathbb{N} \)).
• வகுத்தல் \( \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \) இல் கூட பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படாததால், \( \mathbb{Q} \setminus \{0\} \) போன்ற கணங்களில் மட்டுமே செயலியாகும்.

2. ஈருறுப்புச் செயலியின் பண்புகள்

\( S \) இன் மீது செயலி \( * \) கொடுக்கப்பட்டால்:

• பரிமாற்றுப் பண்பு (Commutative): எல்லா \( a, b \in S \) க்கும் \( a * b = b * a \).
• சேர்ப்புப் பண்பு (Associative): எல்லா \( a, b, c \in S \) க்கும் \( (a * b) * c = a * (b * c) \).
• முற்றொருமை உறுப்பு (Identity): \( a * e = e * a = a \) என எல்லா \( a \) க்கும் அமையும் \( e \in S \) இருந்தால், \( e \) முற்றொருமை உறுப்பு. இது இருந்தால் ஒன்றே ஒன்றுதான் (தனித்தன்மை).
• நேர்மாறு உறுப்பு (Inverse): முற்றொருமை \( e \) உள்ள நிலையில், \( a * b = b * a = e \) ஆகுமாறு \( b \in S \) இருந்தால், \( b \) என்பது \( a \) இன் நேர்மாறு (\( a^{-1} \)). சேர்ப்புப் பண்பு இருந்தால் நேர்மாறும் தனித்ததே.

நினைவில் கொள்க: முற்றொருமை, நேர்மாறு பற்றிப் பேசுமுன் அடைவுப் பண்பு உறுதிப்படுத்தப்பட வேண்டும்.

3. மட்டு எண் கணிதம் (Modular Arithmetic)

\( n > 1 \) ஒரு முழுஎண். \( a - b \) ஆனது \( n \) ஆல் வகுபடுமானால் \( a \equiv b \ (\mathrm{mod}\ n) \) என எழுதுவோம். \( a \) ஐ \( n \) ஆல் வகுக்கையில் கிடைக்கும் மீதியே \( a \) இன் வகுப்பு. \( \mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, \ldots, n-1\} \) என்ற கணத்தின் மீது கூட்டல் மட்டு \( n \) (\( +_n \)) மற்றும் பெருக்கல் மட்டு \( n \) (\( \times_n \)) ஆகியவை ஈருறுப்புச் செயலிகள்.

4. பூலியன் அணிகள் (Boolean Matrices)

உறுப்புகள் அனைத்தும் \( 0 \) அல்லது \( 1 \) ஆக உள்ள அணிகள் பூலியன் அணிகள். ஒரே வகை அணிகள் \( A, B \) க்கு உறுப்புவாரியாக \( \vee \) (join, பெருமம்) மற்றும் \( \wedge \) (meet, சிறுமம்) வரையறுக்கப்படுகின்றன: \( 0 \vee 0 = 0 \), மற்ற \( \vee \) எல்லாம் \( 1 \); \( 1 \wedge 1 = 1 \), மற்ற \( \wedge \) எல்லாம் \( 0 \).

5. கூற்றும் அதன் மெய்ம்மதிப்பும்

உறுதியாக உண்மை அல்லது தவறு என ஒரே ஒரு மெய்ம்மதிப்பைப் பெறும் சாதாரண வாக்கியமே கூற்று (statement / proposition). கட்டளை, வினா, வியப்பு வாக்கியங்கள் கூற்றுகள் அல்ல. உண்மையை \( T \) (அல்லது \( 1 \)) எனவும் தவறை \( F \) (அல்லது \( 0 \)) எனவும் குறிப்போம்.

6. தர்க்க இணைப்பிகளும் மெய்மை அட்டவணைகளும்

• மறுப்பு \( \neg p \) (NOT): \( p \) இன் எதிர் மதிப்பு.
• இணைப்பு \( p \wedge q \) (AND): இரண்டும் \( T \) ஆனால் மட்டுமே \( T \).
• பிரிப்பு \( p \vee q \) (OR): இரண்டும் \( F \) ஆனால் மட்டுமே \( F \).
• நிபந்தனை \( p \rightarrow q \): \( p \) உண்மையாகி \( q \) பொய்யாகும்போது மட்டுமே \( F \); மற்ற எல்லா நிலையிலும் \( T \).
• இரு நிபந்தனை \( p \leftrightarrow q \): \( p, q \) ஒரே மதிப்பாக இருக்கும்போது மட்டுமே \( T \).
• விலக்கல் பிரிப்பு \( p \veebar q \) (Exclusive OR): மதிப்புகள் வேறுபடும்போது மட்டுமே \( T \).

\( n \) எளிய கூற்றுகளைக் கொண்ட கூட்டுக் கூற்றின் மெய்மை அட்டவணைக்கு \( 2^{n} \) வரிசைகள் தேவை.

7. மெய்ம்மம், முரண்பாடு, நிச்சயமின்மை

• மெய்ம்மம் (Tautology, \( \mathbb{T} \)): இறுதி நிரல் முழுவதும் \( T \).
• முரண்பாடு (Contradiction, \( \mathbb{F} \)): இறுதி நிரல் முழுவதும் \( F \).
• நிச்சயமின்மை (Contingency): இறுதி நிரலில் \( T \) மற்றும் \( F \) இரண்டும் தோன்றும். எடுத்துக்காட்டாக \( p \leftrightarrow q \) ஒரு நிச்சயமின்மை.

8. இரட்டை (Duality)

ஒரு கூற்றில் \( \vee \) ஐ \( \wedge \) ஆகவும், \( \wedge \) ஐ \( \vee \) ஆகவும், \( \mathbb{T} \) ஐ \( \mathbb{F} \) ஆகவும், \( \mathbb{F} \) ஐ \( \mathbb{T} \) ஆகவும் மாற்றினால் கிடைப்பது அதன் இரட்டை. மறுப்பு \( \neg \) மாறாது.

9. மறுதலை, எதிர்மறை, நேர்மாறு

\( p \rightarrow q \) என்ற நிபந்தனைக் கூற்றுக்கு:

• மறுதலை (Converse): \( q \rightarrow p \)
• எதிர்மறை (Inverse): \( \neg p \rightarrow \neg q \)
• நேர்மாறு (Contrapositive): \( \neg q \rightarrow \neg p \) — இது மூலக் கூற்றுக்குத் தர்க்க சமானமானது.

10. தேர்வுக் குறிப்புகளும் பொதுவான தவறுகளும்

• ஒரு கணம் ஈருறுப்புச் செயலியின் கீழ் மூடப்படவில்லை என்பதைக் காட்ட ஒரே ஒரு எதிர் எடுத்துக்காட்டு போதும்.
• டி மார்கன் விதியில் இணைப்பி மாறுவதை மறக்காதீர்: \( \neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q \), \( \neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q \). \( \neg(p \vee q) = \neg p \vee \neg q \) என எழுதுவது தவறு.
• நேர்மாறு (\( \neg q \rightarrow \neg p \)) மட்டுமே மூலக் கூற்றுக்குச் சமம்; மறுதலையும் எதிர்மறையும் சமம் அல்ல.
• \( p \rightarrow q \) பொய்யாவது \( p = T,\ q = F \) எனும் ஒரே நிலையில் மட்டுமே.
• ஒரு கலப்பெண்ணும் அதன் இணையும் பெருக்கினால் கிடைப்பது \( a^{2} + b^{2} \) — இது மெய்யெண், கற்பனை எண் அல்ல.
• முற்றொருமை / நேர்மாறு உள்ளதா எனப் பார்ப்பதற்கு முன் அடைவுப் பண்பை உறுதி செய்க.