Every multiple-choice question from தனிநிலைக் கணிதம் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல், Samacheer Kalvi) with the correct option highlighted and a clear, worked explanation. 20 questions in all — free to read in English and Tamil.
Q1
\( S \) என்ற கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படும் ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி (binary operation) என்பது பின்வரும் எவ்வகைச் சார்பு ஆகும்?
- A. \( S \to S \)
- B. \( (S \times S) \to S \)Correct
- C. \( S \to (S \times S) \)
- D. \( (S \times S) \to (S \times S) \)
Explanation. ஒரு கணம் \( S \) இன் மீதான ஈருறுப்புச் செயலி, \( S \) இலிருந்து எடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு வரிசைச் சோடி \( (a, b) \) க்கும் \( S \) இல் ஒரே ஒரு உறுப்பை ஒதுக்கும் ஒரு சார்பாகும். எனவே அதன் கோப்புக்களம் (domain) \( S \times S \) ஆகவும், மதிப்புகள் \( S \) இல் அமைவதால் இணைக்களம் \( S \) ஆகவும் இருக்கும்; அதாவது \( * : (S \times S) \to S \). எடுத்துக்காட்டாக கூட்டல் \( (a, b) \mapsto a + b \) என இரு எண்களை ஒரே எண்ணாக மாற்றுகிறது. ஆகவே சரியான விடை \( (S \times S) \to S \).
Q2
பின்வரும் கணங்களுள் எதன் மீது கழித்தல் (subtraction) ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல?
- A. \( \mathbb{R} \)
- B. \( \mathbb{Z} \)
- C. \( \mathbb{N} \)Correct
- D. \( \mathbb{Q} \)
Explanation. ஒரு செயலி ஈருறுப்புச் செயலி ஆக, அக் கணம் அச் செயலியின் கீழ் அடைவுப் பண்பை (closure) நிறைவு செய்ய வேண்டும்; அதாவது கணத்தின் எந்த இரு உறுப்புகளின் முடிவும் அதே கணத்தில் அமைய வேண்டும். இயல் எண்கள் \( \mathbb{N} \) இல் \( 1, 2 \in \mathbb{N} \) ஆனால் \( 1 - 2 = -1 \notin \mathbb{N} \). எனவே \( \mathbb{N} \) கழித்தலின் கீழ் அடைவு பெறவில்லை. \( \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) ஆகியவை கழித்தலின் கீழ் மூடியவை. ஆகவே விடை \( \mathbb{N} \).
Q3
பின்வருவனவற்றுள் எது இயல் எண்கள் \( \mathbb{N} \) இன் மீது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்?
- A. கழித்தல்
- B. பெருக்கல்Correct
- C. வகுத்தல்
- D. மேற்கூறிய அனைத்தும்
Explanation. \( \mathbb{N} \) இன் மீதான செயலி ஈருறுப்புச் செயலி ஆக, அதன் முடிவு எப்போதும் \( \mathbb{N} \) இல் இருக்க வேண்டும். கழித்தல்: \( 2 - 5 = -3 \notin \mathbb{N} \) — அல்ல. வகுத்தல்: \( 2 \div 3 = \dfrac{2}{3} \notin \mathbb{N} \) — அல்ல. பெருக்கல்: எந்த இரு இயல் எண்களின் பெருக்குத்தொகையும் ஒரு இயல் எண்ணே (எ.கா. \( 3 \times 4 = 12 \)) — ஆம். ஆகவே \( \mathbb{N} \) இன் மீது பெருக்கல் மட்டுமே ஈருறுப்புச் செயலி.
Q4
மெய்யெண்கள் கணம் \( \mathbb{R} \) இன் மீது \( * \) கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. பின்வருவனவற்றுள் எது \( \mathbb{R} \) இன் மீது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல?
- A. \( a * b = \min(a, b) \)
- B. \( a * b = \max(a, b) \)
- C. \( a * b = a \)
- D. \( a * b = a^{b} \)Correct
Explanation. \( \min(a, b),\ \max(a, b),\ a \) ஆகியவை எந்த இரு மெய்யெண்களுக்கும் மெய்யெண்ணையே தருகின்றன; எனவே அவை அடைவுப் பண்புடையவை. ஆனால் \( a^{b} \) எல்லா மெய்யெண் சோடிகளுக்கும் மெய்யெண்ணைத் தராது — எடுத்துக்காட்டாக \( a = -2,\ b = \dfrac{1}{2} \) எனில் \( (-2)^{1/2} = \sqrt{-2} \) ஒரு மெய்யெண் அல்ல. ஆகவே \( a * b = a^{b} \) என்பது \( \mathbb{R} \) இன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.
Q5
\( a * b = \dfrac{ab}{7} \) என வரையறுக்கப்படும் செயலி \( * \) பின்வரும் எக் கணத்தின் மீது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல?
- A. \( \mathbb{Q}^{+} \)
- B. \( \mathbb{Z} \)Correct
- C. \( \mathbb{R} \)
- D. \( \mathbb{C} \)
Explanation. அடைவுப் பண்பு நிறைவேற \( \dfrac{ab}{7} \) எப்போதும் அதே கணத்தில் இருக்க வேண்டும். முழுஎண்கள் \( \mathbb{Z} \) இல் \( 3, 5 \in \mathbb{Z} \) ஆனால் \( 3 * 5 = \dfrac{15}{7} \notin \mathbb{Z} \) — எனவே \( \mathbb{Z} \) அடைவு பெறவில்லை. மாறாக \( \mathbb{Q}^{+},\ \mathbb{R},\ \mathbb{C} \) ஆகியவை வகுத்தலின் கீழும் மூடியவை என்பதால் \( \dfrac{ab}{7} \) அவற்றில் எப்போதும் அமையும். ஆகவே விடை \( \mathbb{Z} \).
Q6
விகிதமுறு எண்கள் \( \mathbb{Q} \) இன் மீது \( a \odot b = a + b + ab \) என வரையறுக்கப்படுகிறது. \( 3 \odot (y \odot 5) = 7 \) ஆகுமாறு \( y \) இன் மதிப்பு யாது?
- A. \( y = \dfrac{2}{3} \)
- B. \( y = \dfrac{-2}{3} \)Correct
- C. \( y = \dfrac{-3}{2} \)
- D. \( y = 4 \)
Explanation. முதலில் உள்ளடங்கிய செயலியைக் கணக்கிடுவோம்: \( y \odot 5 = y + 5 + 5y = 6y + 5 \). பிறகு \( 3 \odot (6y + 5) = 3 + (6y + 5) + 3(6y + 5) = 3 + 6y + 5 + 18y + 15 = 24y + 23 \). இது \( 7 \) க்குச் சமம் எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் \( 24y + 23 = 7 \Rightarrow 24y = -16 \Rightarrow y = \dfrac{-16}{24} = \dfrac{-2}{3} \). ஆகவே \( y = \dfrac{-2}{3} \).
Q7
மெய்யெண்களின் மீது \( a * b = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \) எனில், செயலி \( * \) ஆனது
- A. பரிமாற்றுப் பண்புடையது ஆனால் சேர்ப்புப் பண்பற்றது
- B. சேர்ப்புப் பண்புடையது ஆனால் பரிமாற்றுப் பண்பற்றது
- C. பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் உடையதுCorrect
- D. பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் அற்றது
Explanation. பரிமாற்றுப் பண்பு: \( a * b = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = b * a \) — எனவே பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு. சேர்ப்புப் பண்பு: \( (a * b) * c = \sqrt{(a^{2} + b^{2}) + c^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \) மற்றும் \( a * (b * c) = \sqrt{a^{2} + (b^{2} + c^{2})} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \). இரண்டும் சமம், எனவே சேர்ப்புப் பண்பும் உண்டு. ஆகவே \( * \) பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் இரண்டையும் கொண்டது.
Q8
பின்வரும் கூற்றுகளுள் எதன் மெய்ம்மதிப்பு \( T \) (உண்மை) ஆகும்?
- A. \( \sin x \) ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
- B. ஒவ்வொரு சதுர அணியும் ஒருமையிலா (non-singular) அணி.
- C. ஒரு கலப்பெண்ணுக்கும் அதன் இணைக் கலப்பெண்ணுக்கும் இடையேயான பெருக்குத்தொகை முற்றிலும் கற்பனை எண் ஆகும்.
- D. \( \sqrt{5} \) ஒரு விகிதமுறா எண்.Correct
Explanation. (a) \( \sin(-x) = -\sin x \) என்பதால் \( \sin x \) ஒற்றைச் சார்பு; இரட்டைச் சார்பு அல்ல — பொய். (b) அணிக்கோவை \( 0 \) ஆக உள்ள சதுர அணிகள் ஒருமை (singular) அணிகள்; எனவே எல்லா அணியும் ஒருமையிலா அல்ல — பொய். (c) \( z = a + ib \) எனில் \( z \cdot \bar{z} = a^{2} + b^{2} \), இது ஒரு மெய்யெண் (கற்பனை எண் அல்ல) — பொய். (d) \( \sqrt{5} \) ஐ இரு முழுஎண்களின் விகிதமாக எழுத இயலாது, எனவே அது விகிதமுறா எண் — உண்மை. ஆகவே \( T \) மதிப்புடைய கூற்று (d).
Q9
பின்வரும் கூற்றுகளுள் எதன் மெய்ம்மதிப்பு \( F \) (பொய்) ஆகும்?
- A. சென்னை இந்தியாவில் உள்ளது அல்லது \( \sqrt{2} \) ஒரு முழுஎண்.
- B. சென்னை இந்தியாவில் உள்ளது அல்லது \( \sqrt{2} \) ஒரு விகிதமுறா எண்.
- C. சென்னை சீனாவில் உள்ளது அல்லது \( \sqrt{2} \) ஒரு முழுஎண்.Correct
- D. சென்னை சீனாவில் உள்ளது அல்லது \( \sqrt{2} \) ஒரு விகிதமுறா எண்.
Explanation. "அல்லது" (\( \vee \)) இணைப்பால் ஆன கூற்று, அதன் இரு பகுதிகளும் பொய்யாக இருக்கும்போது மட்டுமே பொய் ஆகும். "சென்னை சீனாவில் உள்ளது" — பொய்; "\( \sqrt{2} \) ஒரு முழுஎண்" — பொய். எனவே (c) என்பது (பொய்) \( \vee \) (பொய்) \( = \) பொய். மற்ற மூன்றிலும் குறைந்தது ஒரு பகுதியேனும் உண்மை என்பதால் அவை உண்மை. ஆகவே \( F \) மதிப்புடைய கூற்று (c).
Q10
ஒரு கூட்டுக் கூற்று \( 3 \) எளிய கூற்றுகளைக் கொண்டிருந்தால், அதன் மெய்மை அட்டவணையில் உள்ள வரிசைகளின் எண்ணிக்கை
- A. \( 9 \)
- B. \( 8 \)Correct
- C. \( 6 \)
- D. \( 3 \)
Explanation. \( n \) எளிய கூற்றுகள் இருப்பின் ஒவ்வொன்றும் \( T \) அல்லது \( F \) என இரு மதிப்புகளை எடுக்கும். எனவே சாத்தியமான மெய்ம்மதிப்புச் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கை, அதாவது மொத்த வரிசைகள் \( 2^{n} \). இங்கு \( n = 3 \) என்பதால் வரிசைகள் \( 2^{3} = 8 \). ஆகவே விடை \( 8 \).
Q11
\( (p \vee q) \rightarrow (p \wedge q) \) என்ற கூற்றின் எதிர்மறை (inverse) எது?
- A. \( (p \wedge q) \rightarrow (p \vee q) \)
- B. \( \neg(p \vee q) \rightarrow (p \wedge q) \)
- C. \( (\neg p \vee \neg q) \rightarrow (\neg p \wedge \neg q) \)
- D. \( (\neg p \wedge \neg q) \rightarrow (\neg p \vee \neg q) \)Correct
Explanation. \( P \rightarrow Q \) என்ற கூற்றின் எதிர்மறை \( \neg P \rightarrow \neg Q \) ஆகும். இங்கு \( P = p \vee q \) மற்றும் \( Q = p \wedge q \). டி மார்கன் விதிகளின்படி \( \neg P = \neg(p \vee q) = \neg p \wedge \neg q \) மற்றும் \( \neg Q = \neg(p \wedge q) = \neg p \vee \neg q \). ஆகவே எதிர்மறை \( (\neg p \wedge \neg q) \rightarrow (\neg p \vee \neg q) \).
Q12
\( (p \vee q) \rightarrow r \) என்ற கூற்றின் நேர்மாறு (contrapositive) எது?
- A. \( \neg r \rightarrow (\neg p \wedge \neg q) \)Correct
- B. \( \neg r \rightarrow (p \vee q) \)
- C. \( r \rightarrow (p \wedge q) \)
- D. \( p \rightarrow (q \vee r) \)
Explanation. \( P \rightarrow Q \) என்ற கூற்றின் நேர்மாறு \( \neg Q \rightarrow \neg P \) ஆகும். இங்கு \( P = p \vee q \) மற்றும் \( Q = r \). எனவே \( \neg Q = \neg r \) மற்றும் \( \neg P = \neg(p \vee q) = \neg p \wedge \neg q \) (டி மார்கன் விதி). ஆகவே நேர்மாறு \( \neg r \rightarrow (\neg p \wedge \neg q) \).
Q13
\( (p, q) \) இன் வரிசைகள் முறையே \( (T, T),\ (T, F),\ (F, T),\ (F, F) \) எனக் கொண்டால், \( (p \wedge q) \vee \neg q \) என்பதன் மெய்மை அட்டவணையின் இறுதி நிரலில் வரும் மதிப்புகள் \( (1), (2), (3), (4) \) முறையே
- A. \( (1)\,T,\ (2)\,T,\ (3)\,T,\ (4)\,T \)
- B. \( (1)\,T,\ (2)\,F,\ (3)\,T,\ (4)\,T \)
- C. \( (1)\,T,\ (2)\,T,\ (3)\,F,\ (4)\,T \)Correct
- D. \( (1)\,T,\ (2)\,F,\ (3)\,F,\ (4)\,F \)
Explanation. ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் \( (p \wedge q) \vee \neg q \) ஐக் கணக்கிடுவோம். \( (T, T):\ (T \wedge T) \vee \neg T = T \vee F = T \). \( (T, F):\ (T \wedge F) \vee \neg F = F \vee T = T \). \( (F, T):\ (F \wedge T) \vee \neg T = F \vee F = F \). \( (F, F):\ (F \wedge F) \vee \neg F = F \vee T = T \). ஆகவே இறுதி நிரல் \( T, T, F, T \) — இது விருப்பம் (c).
Q14
\( \neg(p \vee \neg q) \) என்பதன் மெய்மை அட்டவணையின் இறுதி நிரலில் \( F \) (பொய்) என வரும் முடிவுகளின் எண்ணிக்கை
- A. \( 1 \)
- B. \( 2 \)
- C. \( 3 \)Correct
- D. \( 4 \)
Explanation. \( \neg(p \vee \neg q) \) ஐ ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் காண்போம். \( (T, T):\ \neg(T \vee F) = \neg T = F \). \( (T, F):\ \neg(T \vee T) = \neg T = F \). \( (F, T):\ \neg(F \vee F) = \neg F = T \). \( (F, F):\ \neg(F \vee T) = \neg T = F \). இறுதி நிரல் \( F, F, T, F \) — இதில் மூன்று \( F \) கள் உள்ளன. ஆகவே விடை \( 3 \).
Q15
ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் \( p, q \) க்கு, பின்வருவனவற்றுள் எது தவறானது?
- A. \( \neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q \)
- B. \( \neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q \)
- C. \( \neg(p \vee q) \equiv \neg p \vee \neg q \)Correct
- D. \( \neg(\neg p) \equiv p \)
Explanation. டி மார்கன் விதிகளின்படி \( \neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q \) (பிரிப்பின் மறுப்பு, மறுப்புகளின் இணைப்புக்குச் சமம்) மற்றும் \( \neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q \). மேலும் இரட்டை மறுப்பு விதிப்படி \( \neg(\neg p) \equiv p \). எனவே (a), (b), (d) சரியானவை. ஆனால் (c) இல் \( \neg(p \vee q) \) ஐ \( \neg p \vee \neg q \) எனத் தந்திருப்பது தவறு (சரியானது \( \neg p \wedge \neg q \)). ஆகவே தவறான கூற்று (c).
Q16
\( (p, q) \) இன் வரிசைகள் முறையே \( (T, T),\ (T, F),\ (F, T),\ (F, F) \) எனில், \( (p \wedge q) \rightarrow \neg p \) என்பதன் மெய்மை அட்டவணையின் இறுதி நிரல் மதிப்புகள் \( (1), (2), (3), (4) \) முறையே
- A. \( (1)\,T,\ (2)\,T,\ (3)\,T,\ (4)\,T \)
- B. \( (1)\,F,\ (2)\,T,\ (3)\,T,\ (4)\,T \)Correct
- C. \( (1)\,F,\ (2)\,F,\ (3)\,T,\ (4)\,T \)
- D. \( (1)\,T,\ (2)\,T,\ (3)\,T,\ (4)\,F \)
Explanation. நிபந்தனைக் கூற்று \( A \rightarrow B \) ஆனது \( A \) உண்மையாகவும் \( B \) பொய்யாகவும் இருக்கும்போது மட்டுமே பொய். ஒவ்வொரு வரிசைக்கும்: \( (T, T):\ (T \wedge T) \rightarrow \neg T = T \rightarrow F = F \). \( (T, F):\ F \rightarrow \neg T = F \rightarrow F = T \). \( (F, T):\ F \rightarrow \neg F = F \rightarrow T = T \). \( (F, F):\ F \rightarrow \neg F = F \rightarrow T = T \). ஆகவே இறுதி நிரல் \( F, T, T, T \) — இது விருப்பம் (b).
Q17
\( \neg(p \vee q) \vee [\,p \vee (p \wedge \neg r)\,] \) என்பதன் இரட்டை (dual) எது?
- A. \( \neg(p \wedge q) \wedge [\,p \vee (p \wedge \neg r)\,] \)
- B. \( (p \wedge q) \wedge [\,p \vee (p \vee \neg r)\,] \)
- C. \( \neg(p \wedge q) \wedge [\,p \wedge (p \wedge r)\,] \)
- D. \( \neg(p \wedge q) \wedge [\,p \wedge (p \vee \neg r)\,] \)Correct
Explanation. ஒரு கூற்றின் இரட்டையை (dual) பெற, அதிலுள்ள \( \vee \) ஐ \( \wedge \) ஆகவும் \( \wedge \) ஐ \( \vee \) ஆகவும் மாற்ற வேண்டும் (மேலும் \( T \leftrightarrow F \)); மறுப்பு (\( \neg \)) அப்படியே இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட \( \neg(p \vee q) \vee [p \vee (p \wedge \neg r)] \) இல் இணைப்பிகளை மாற்றினால் \( \neg(p \wedge q) \wedge [p \wedge (p \vee \neg r)] \) கிடைக்கும். ஆகவே இரட்டை (d).
Q18
\( p \wedge (\neg p \vee q) \) என்ற கூற்று
- A. ஒரு மெய்ம்மம் (tautology)
- B. ஒரு முரண்பாடு (contradiction)
- C. \( p \wedge q \) க்குத் தர்க்க சமானமானதுCorrect
- D. \( p \vee q \) க்குத் தர்க்க சமானமானது
Explanation. பங்கீட்டு விதியைப் பயன்படுத்த: \( p \wedge (\neg p \vee q) = (p \wedge \neg p) \vee (p \wedge q) \). இங்கு \( p \wedge \neg p = F \) (முரண்பாடு). எனவே \( F \vee (p \wedge q) = p \wedge q \). ஆகவே கொடுக்கப்பட்ட கூற்று \( p \wedge q \) க்குத் தர்க்க சமானமானது.
Q19
பின்வரும் இணைப்புக் (மற்றும் / \( \wedge \)) கூற்றுகளின் மெய்ம்மதிப்புகளைக் காண்க: (i) \( 4 + 2 = 5 \) மற்றும் \( 6 + 3 = 9 \); (ii) \( 3 + 2 = 5 \) மற்றும் \( 6 + 1 = 7 \); (iii) \( 4 + 5 = 9 \) மற்றும் \( 1 + 2 = 4 \); (iv) \( 3 + 2 = 5 \) மற்றும் \( 4 + 7 = 11 \). (i), (ii), (iii), (iv) இன் மெய்ம்மதிப்புகள் முறையே
- A. \( F,\ T,\ F,\ T \)Correct
- B. \( T,\ F,\ T,\ F \)
- C. \( T,\ T,\ F,\ F \)
- D. \( F,\ F,\ T,\ T \)
Explanation. "மற்றும்" (\( \wedge \)) கூற்று, இரு பகுதிகளும் உண்மையாக இருக்கும்போது மட்டுமே உண்மை. (i) \( 4 + 2 = 5 \) பொய், \( 6 + 3 = 9 \) உண்மை → (பொய்) \( \wedge \) (உண்மை) \( = F \). (ii) \( 3 + 2 = 5 \) உண்மை, \( 6 + 1 = 7 \) உண்மை → \( T \). (iii) \( 4 + 5 = 9 \) உண்மை, \( 1 + 2 = 4 \) பொய் → \( F \). (iv) \( 3 + 2 = 5 \) உண்மை, \( 4 + 7 = 11 \) உண்மை → \( T \). ஆகவே மதிப்புகள் \( F, T, F, T \) — விருப்பம் (a).
Q20
பின்வருவனவற்றுள் எது உண்மை அல்ல?
- A. ஒரு கூற்றின் மறுப்பின் மறுப்பு (double negation) அக் கூற்றேயாகும்.
- B. ஒரு மெய்மை அட்டவணையின் இறுதி நிரல் முழுவதும் \( T \) மட்டுமே இருந்தால் அது ஒரு மெய்ம்மம் (tautology) ஆகும்.
- C. ஒரு மெய்மை அட்டவணையின் இறுதி நிரல் முழுவதும் \( F \) மட்டுமே இருந்தால் அது ஒரு முரண்பாடு (contradiction) ஆகும்.
- D. \( p, q \) ஏதேனும் இரு கூற்றுகள் எனில் \( p \leftrightarrow q \) எப்போதும் ஒரு மெய்ம்மம் (tautology) ஆகும்.Correct
Explanation. (a) இரட்டை மறுப்பு விதிப்படி \( \neg(\neg p) \equiv p \) — உண்மை. (b) மெய்ம்மத்தின் வரையறை — உண்மை. (c) முரண்பாட்டின் வரையறை — உண்மை. (d) \( p \leftrightarrow q \) இன் இறுதி நிரலில் \( T \) மற்றும் \( F \) இரண்டும் தோன்றும் (\( p, q \) ஒரே மதிப்பாக இருக்கும்போது \( T \), வேறுபடும்போது \( F \)); எனவே அது ஒரு மெய்ம்மம் அல்ல, மாறாக ஒரு நிச்சயமின்மை (contingency). ஆகவே உண்மை அல்லாத கூற்று (d).
