12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் — தனிநிலைக் கணிதம்: Online Practice Test

Explanation. ஒரு கணம் \( S \) இன் மீதான ஈருறுப்புச் செயலி, \( S \) இலிருந்து எடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு வரிசைச் சோடி \( (a, b) \) க்கும் \( S \) இல் ஒரே ஒரு உறுப்பை ஒதுக்கும் ஒரு சார்பாகும். எனவே அதன் கோப்புக்களம் (domain) \( S \times S \) ஆகவும், மதிப்புகள் \( S \) இல் அமைவதால் இணைக்களம் \( S \) ஆகவும் இருக்கும்; அதாவது \( * : (S \times S) \to S \). எடுத்துக்காட்டாக கூட்டல் \( (a, b) \mapsto a + b \) என இரு எண்களை ஒரே எண்ணாக மாற்றுகிறது. ஆகவே சரியான விடை \( (S \times S) \to S \).

Explanation. ஒரு செயலி ஈருறுப்புச் செயலி ஆக, அக் கணம் அச் செயலியின் கீழ் அடைவுப் பண்பை (closure) நிறைவு செய்ய வேண்டும்; அதாவது கணத்தின் எந்த இரு உறுப்புகளின் முடிவும் அதே கணத்தில் அமைய வேண்டும். இயல் எண்கள் \( \mathbb{N} \) இல் \( 1, 2 \in \mathbb{N} \) ஆனால் \( 1 - 2 = -1 \notin \mathbb{N} \). எனவே \( \mathbb{N} \) கழித்தலின் கீழ் அடைவு பெறவில்லை. \( \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) ஆகியவை கழித்தலின் கீழ் மூடியவை. ஆகவே விடை \( \mathbb{N} \).

Explanation. \( \mathbb{N} \) இன் மீதான செயலி ஈருறுப்புச் செயலி ஆக, அதன் முடிவு எப்போதும் \( \mathbb{N} \) இல் இருக்க வேண்டும். கழித்தல்: \( 2 - 5 = -3 \notin \mathbb{N} \) — அல்ல. வகுத்தல்: \( 2 \div 3 = \dfrac{2}{3} \notin \mathbb{N} \) — அல்ல. பெருக்கல்: எந்த இரு இயல் எண்களின் பெருக்குத்தொகையும் ஒரு இயல் எண்ணே (எ.கா. \( 3 \times 4 = 12 \)) — ஆம். ஆகவே \( \mathbb{N} \) இன் மீது பெருக்கல் மட்டுமே ஈருறுப்புச் செயலி.

Explanation. \( \min(a, b),\ \max(a, b),\ a \) ஆகியவை எந்த இரு மெய்யெண்களுக்கும் மெய்யெண்ணையே தருகின்றன; எனவே அவை அடைவுப் பண்புடையவை. ஆனால் \( a^{b} \) எல்லா மெய்யெண் சோடிகளுக்கும் மெய்யெண்ணைத் தராது — எடுத்துக்காட்டாக \( a = -2,\ b = \dfrac{1}{2} \) எனில் \( (-2)^{1/2} = \sqrt{-2} \) ஒரு மெய்யெண் அல்ல. ஆகவே \( a * b = a^{b} \) என்பது \( \mathbb{R} \) இன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல.

Explanation. அடைவுப் பண்பு நிறைவேற \( \dfrac{ab}{7} \) எப்போதும் அதே கணத்தில் இருக்க வேண்டும். முழுஎண்கள் \( \mathbb{Z} \) இல் \( 3, 5 \in \mathbb{Z} \) ஆனால் \( 3 * 5 = \dfrac{15}{7} \notin \mathbb{Z} \) — எனவே \( \mathbb{Z} \) அடைவு பெறவில்லை. மாறாக \( \mathbb{Q}^{+},\ \mathbb{R},\ \mathbb{C} \) ஆகியவை வகுத்தலின் கீழும் மூடியவை என்பதால் \( \dfrac{ab}{7} \) அவற்றில் எப்போதும் அமையும். ஆகவே விடை \( \mathbb{Z} \).

Explanation. முதலில் உள்ளடங்கிய செயலியைக் கணக்கிடுவோம்: \( y \odot 5 = y + 5 + 5y = 6y + 5 \). பிறகு \( 3 \odot (6y + 5) = 3 + (6y + 5) + 3(6y + 5) = 3 + 6y + 5 + 18y + 15 = 24y + 23 \). இது \( 7 \) க்குச் சமம் எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் \( 24y + 23 = 7 \Rightarrow 24y = -16 \Rightarrow y = \dfrac{-16}{24} = \dfrac{-2}{3} \). ஆகவே \( y = \dfrac{-2}{3} \).

Explanation. பரிமாற்றுப் பண்பு: \( a * b = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = b * a \) — எனவே பரிமாற்றுப் பண்பு உண்டு. சேர்ப்புப் பண்பு: \( (a * b) * c = \sqrt{(a^{2} + b^{2}) + c^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \) மற்றும் \( a * (b * c) = \sqrt{a^{2} + (b^{2} + c^{2})} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \). இரண்டும் சமம், எனவே சேர்ப்புப் பண்பும் உண்டு. ஆகவே \( * \) பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் இரண்டையும் கொண்டது.

Explanation. (a) \( \sin(-x) = -\sin x \) என்பதால் \( \sin x \) ஒற்றைச் சார்பு; இரட்டைச் சார்பு அல்ல — பொய். (b) அணிக்கோவை \( 0 \) ஆக உள்ள சதுர அணிகள் ஒருமை (singular) அணிகள்; எனவே எல்லா அணியும் ஒருமையிலா அல்ல — பொய். (c) \( z = a + ib \) எனில் \( z \cdot \bar{z} = a^{2} + b^{2} \), இது ஒரு மெய்யெண் (கற்பனை எண் அல்ல) — பொய். (d) \( \sqrt{5} \) ஐ இரு முழுஎண்களின் விகிதமாக எழுத இயலாது, எனவே அது விகிதமுறா எண் — உண்மை. ஆகவே \( T \) மதிப்புடைய கூற்று (d).

Explanation. "அல்லது" (\( \vee \)) இணைப்பால் ஆன கூற்று, அதன் இரு பகுதிகளும் பொய்யாக இருக்கும்போது மட்டுமே பொய் ஆகும். "சென்னை சீனாவில் உள்ளது" — பொய்; "\( \sqrt{2} \) ஒரு முழுஎண்" — பொய். எனவே (c) என்பது (பொய்) \( \vee \) (பொய்) \( = \) பொய். மற்ற மூன்றிலும் குறைந்தது ஒரு பகுதியேனும் உண்மை என்பதால் அவை உண்மை. ஆகவே \( F \) மதிப்புடைய கூற்று (c).

Explanation. \( n \) எளிய கூற்றுகள் இருப்பின் ஒவ்வொன்றும் \( T \) அல்லது \( F \) என இரு மதிப்புகளை எடுக்கும். எனவே சாத்தியமான மெய்ம்மதிப்புச் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கை, அதாவது மொத்த வரிசைகள் \( 2^{n} \). இங்கு \( n = 3 \) என்பதால் வரிசைகள் \( 2^{3} = 8 \). ஆகவே விடை \( 8 \).

Explanation. \( P \rightarrow Q \) என்ற கூற்றின் எதிர்மறை \( \neg P \rightarrow \neg Q \) ஆகும். இங்கு \( P = p \vee q \) மற்றும் \( Q = p \wedge q \). டி மார்கன் விதிகளின்படி \( \neg P = \neg(p \vee q) = \neg p \wedge \neg q \) மற்றும் \( \neg Q = \neg(p \wedge q) = \neg p \vee \neg q \). ஆகவே எதிர்மறை \( (\neg p \wedge \neg q) \rightarrow (\neg p \vee \neg q) \).

Explanation. \( P \rightarrow Q \) என்ற கூற்றின் நேர்மாறு \( \neg Q \rightarrow \neg P \) ஆகும். இங்கு \( P = p \vee q \) மற்றும் \( Q = r \). எனவே \( \neg Q = \neg r \) மற்றும் \( \neg P = \neg(p \vee q) = \neg p \wedge \neg q \) (டி மார்கன் விதி). ஆகவே நேர்மாறு \( \neg r \rightarrow (\neg p \wedge \neg q) \).

Explanation. ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் \( (p \wedge q) \vee \neg q \) ஐக் கணக்கிடுவோம். \( (T, T):\ (T \wedge T) \vee \neg T = T \vee F = T \). \( (T, F):\ (T \wedge F) \vee \neg F = F \vee T = T \). \( (F, T):\ (F \wedge T) \vee \neg T = F \vee F = F \). \( (F, F):\ (F \wedge F) \vee \neg F = F \vee T = T \). ஆகவே இறுதி நிரல் \( T, T, F, T \) — இது விருப்பம் (c).

Explanation. \( \neg(p \vee \neg q) \) ஐ ஒவ்வொரு வரிசைக்கும் காண்போம். \( (T, T):\ \neg(T \vee F) = \neg T = F \). \( (T, F):\ \neg(T \vee T) = \neg T = F \). \( (F, T):\ \neg(F \vee F) = \neg F = T \). \( (F, F):\ \neg(F \vee T) = \neg T = F \). இறுதி நிரல் \( F, F, T, F \) — இதில் மூன்று \( F \) கள் உள்ளன. ஆகவே விடை \( 3 \).

Explanation. டி மார்கன் விதிகளின்படி \( \neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q \) (பிரிப்பின் மறுப்பு, மறுப்புகளின் இணைப்புக்குச் சமம்) மற்றும் \( \neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q \). மேலும் இரட்டை மறுப்பு விதிப்படி \( \neg(\neg p) \equiv p \). எனவே (a), (b), (d) சரியானவை. ஆனால் (c) இல் \( \neg(p \vee q) \) ஐ \( \neg p \vee \neg q \) எனத் தந்திருப்பது தவறு (சரியானது \( \neg p \wedge \neg q \)). ஆகவே தவறான கூற்று (c).

Explanation. நிபந்தனைக் கூற்று \( A \rightarrow B \) ஆனது \( A \) உண்மையாகவும் \( B \) பொய்யாகவும் இருக்கும்போது மட்டுமே பொய். ஒவ்வொரு வரிசைக்கும்: \( (T, T):\ (T \wedge T) \rightarrow \neg T = T \rightarrow F = F \). \( (T, F):\ F \rightarrow \neg T = F \rightarrow F = T \). \( (F, T):\ F \rightarrow \neg F = F \rightarrow T = T \). \( (F, F):\ F \rightarrow \neg F = F \rightarrow T = T \). ஆகவே இறுதி நிரல் \( F, T, T, T \) — இது விருப்பம் (b).

Explanation. ஒரு கூற்றின் இரட்டையை (dual) பெற, அதிலுள்ள \( \vee \) ஐ \( \wedge \) ஆகவும் \( \wedge \) ஐ \( \vee \) ஆகவும் மாற்ற வேண்டும் (மேலும் \( T \leftrightarrow F \)); மறுப்பு (\( \neg \)) அப்படியே இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட \( \neg(p \vee q) \vee [p \vee (p \wedge \neg r)] \) இல் இணைப்பிகளை மாற்றினால் \( \neg(p \wedge q) \wedge [p \wedge (p \vee \neg r)] \) கிடைக்கும். ஆகவே இரட்டை (d).

Explanation. பங்கீட்டு விதியைப் பயன்படுத்த: \( p \wedge (\neg p \vee q) = (p \wedge \neg p) \vee (p \wedge q) \). இங்கு \( p \wedge \neg p = F \) (முரண்பாடு). எனவே \( F \vee (p \wedge q) = p \wedge q \). ஆகவே கொடுக்கப்பட்ட கூற்று \( p \wedge q \) க்குத் தர்க்க சமானமானது.

Explanation. "மற்றும்" (\( \wedge \)) கூற்று, இரு பகுதிகளும் உண்மையாக இருக்கும்போது மட்டுமே உண்மை. (i) \( 4 + 2 = 5 \) பொய், \( 6 + 3 = 9 \) உண்மை → (பொய்) \( \wedge \) (உண்மை) \( = F \). (ii) \( 3 + 2 = 5 \) உண்மை, \( 6 + 1 = 7 \) உண்மை → \( T \). (iii) \( 4 + 5 = 9 \) உண்மை, \( 1 + 2 = 4 \) பொய் → \( F \). (iv) \( 3 + 2 = 5 \) உண்மை, \( 4 + 7 = 11 \) உண்மை → \( T \). ஆகவே மதிப்புகள் \( F, T, F, T \) — விருப்பம் (a).

Explanation. (a) இரட்டை மறுப்பு விதிப்படி \( \neg(\neg p) \equiv p \) — உண்மை. (b) மெய்ம்மத்தின் வரையறை — உண்மை. (c) முரண்பாட்டின் வரையறை — உண்மை. (d) \( p \leftrightarrow q \) இன் இறுதி நிரலில் \( T \) மற்றும் \( F \) இரண்டும் தோன்றும் (\( p, q \) ஒரே மதிப்பாக இருக்கும்போது \( T \), வேறுபடும்போது \( F \)); எனவே அது ஒரு மெய்ம்மம் அல்ல, மாறாக ஒரு நிச்சயமின்மை (contingency). ஆகவே உண்மை அல்லாத கூற்று (d).