சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்
அலகு 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்துகிறது. அவற்றின் வரிசை, படியைக் காணுதல், தன்னிச்சை மாறிலிகளை நீக்கிச் சமன்பாடுகளை அமைத்தல், முதல் வரிசை முதல் படிச் சமன்பாடுகளை மாறிகளைப் பிரித்தல், சமபடித்தான பிரதியிடல், தொகையீட்டுக் காரணி மூலம் தீர்த்தல் ஆகியவை இதில் உள்ளன. கடைசிப் பகுதி மக்கள்தொகை வளர்ச்சி, கதிரியக்கச் சிதைவு, நியூட்டனின் குளிர்வு விதி, கலவைக் கணக்குகளில் இவற்றைப் பயன்படுத்துகிறது.
இந்தப் பாடத்தைப் படியுங்கள்
முந்தைய பொதுத் தேர்வுகளில் கேட்கப்பட்டவை
இந்தப் பாடத்திலிருந்து 12 வினாக்கள் 7 முந்தைய பொதுத் தேர்வுகளில் கேட்கப்பட்டன. விடையையும் விளக்கத்தையும் காண எந்த வினாவையும் திறக்கவும்.
-
மார்ச் 2026
\(2x\frac{dy}{dx}-y=3\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு குறிப்பிடுவது :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2026
t எனும் நேரத்திற்குப் பிறகு மீதமுள்ள ஒரு பொருளின் அளவு P ஆகும். பொருள் ஆவியாகும் வீதமானது அந்நேரத்தில் மீதமிருக்கும் பொருளின் அளவிற்கு விகிதமாக அமைந்துள்ளது எனில், பின்னர் :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2025
\(\sqrt{\frac{dy}{dx}}-4\frac{dy}{dx}-7x=0\) என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி முறையே :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2025
\(y=f(x)\) எனும் வளைவரையின் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியிடத்து சாய்வு \(\frac{dy}{dx}=3x^2\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் வளைவரையானது \((-1, 1)\) புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது எனில், வளைவரையின் சமன்பாடு :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2024
\(y=Ae^x+Be^{-x}\), இங்கு A, B என்பன ஏதேனும் இரு மாறிலிகள், எனும் வளைவரைத் தொகுதியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2023
\(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\) எனும் வகைக்கெழு சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வு :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மே 2022
\(\frac{dy}{dx}+p(x)y=0\) -இன் தீர்வு :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மே 2022
\(\frac{dy}{dx}+Py=Q\) எனும் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி \(\sin x\) எனில், P என்பது :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
துணைத் தேர்வு 2021
\(\frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}} = 0\) என்ற வகைக்கெழு சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
துணைத் தேர்வு 2021
\(\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0\) -ன் தீர்வு :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2020
மையம் (h, k) மற்றும் ஆரம் 'a' கொண்ட எல்லா வட்டங்களின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை (இங்கு h, k, a ஆகியவை மாறத்தக்க மாறிலிகள் அல்லது ஏதேச்சையான மாறிலிகள்).விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2020
\(\frac{dx}{dy}+\frac{dy}{dx}=0\) என்ற வகைக்கெழு சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி முறையே :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் பற்றி
நடுத்தரம் ~150 நிமிடப் படிப்பு
சாதாரண இயற்கணிதச் சமன்பாடு எண்களை இணைக்கிறது. வகைக்கெழுச் சமன்பாடு (Differential Equation) ஒரு சார்பையும் அதன் வகைக்கெழுக்களையும் இணைக்கிறது. ஆகவே ஓர் அளவு எப்படி மாறுகிறது என்பதை அது விவரிக்கிறது. மக்கள்தொகை வளரும் வீதம் மக்கள்தொகைக்கு நேர்விகிதத்தில் இருந்தால், அதை $\frac{dP}{dt} = kP$ என எழுதலாம். இதைத் தீர்த்து எந்த நேரத்திலும் மக்கள்தொகையை முன்கூட்டியே கணிக்கலாம். கதிரியக்கப் பொருளின் சிதைவையும், ஒரு கோப்பைத் தேநீர் ஆறுவதையும் இதே வகைச் சமன்பாடுதான் விவரிக்கிறது.
அலகு வகைப்படுத்தலுடன் தொடங்குகிறது. வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டில் உள்ள மிக உயர்ந்த வகைக்கெழுவின் வரிசையே அதன் வரிசை (Order). வகைக்கெழுக்களில் உள்ள மூலக்குறிகளும் பின்ன அடுக்குகளும் நீக்கப்பட்ட பிறகு, அந்த வகைக்கெழுவின் அடுக்கே படி (Degree). அடுத்து, ஒரு வளைவரைக் குடும்பத்திலிருந்து வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை அமைக்கக் கற்கிறீர்கள். எடுத்துக்காட்டாக, ஆதிப்புள்ளி வழியே செல்லும், x-அச்சின் மேல் மையம் கொண்ட எல்லா வட்டங்களும். இதற்கு வகையிட்டுத் தன்னிச்சை மாறிலிகளை நீக்க வேண்டும்.
தேர்வில் பெரும்பாலான வினாக்கள் முதல் வரிசைச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கச் சொல்கின்றன. முதலில் வகையை முடிவு செய்யுங்கள்: மாறிகளைப் பிரிக்கக்கூடியது, சமபடித்தானது ($y = vx$ எனப் பிரதியிடுக), அல்லது நேரியது (தொகையீட்டுக் காரணியைப் பயன்படுத்துக). பிறகு தீர்த்து, தொடக்க நிபந்தனை இருந்தால் அதைப் பயன்படுத்துங்கள். வளர்ச்சி, சிதைவு, குளிர்தல், கலவை பற்றிய பயன்பாட்டுக் கணக்குகள் அனைத்தும் இந்த வகைகளில் ஒன்றுக்கே வந்து சேரும்.
நீங்கள் கற்பவை
- ஒரு வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசையையும் படியையும் காணுதல்.
- கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைக் குடும்பத்தின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை அமைத்தல்.
- மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையில் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து, பொதுத் தீர்வையும் சிறப்புத் தீர்வையும் காணுதல்.
- y = vx பிரதியிடல் மூலம் சமபடித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்.
- தொகையீட்டுக் காரணியைப் பயன்படுத்தி முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்.
- வளர்ச்சி, சிதைவு, குளிர்தல், கலவைக் கணக்குகளுக்குச் சமன்பாடு அமைத்துத் தீர்த்தல்.
தொடங்குவதற்கு முன்
- திட்டத் தொகையிடல் சூத்திரங்களும் தொகையிடல் முறைகளும்.
- பெருக்கல், வகுத்தல், சங்கிலி விதிகள் உள்ளிட்ட வகையிடல் விதிகள்.
- சார்புகளும் அவற்றின் வரைபடங்களும், குறிப்பாக அடுக்குக்குறி, மடக்கைச் சார்புகள்.
இந்த அத்தியாயத்தில் உள்ள தலைப்புகள்
சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் — விரிவான விளக்கம்
முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்: தெரிந்துகொள்ள வேண்டியவை
வரிசையும் படியும்
சமன்பாட்டில் உள்ள மிக உயர்ந்த வகைக்கெழுவின் வரிசையே சமன்பாட்டின் வரிசை. வகைக்கெழுக்களைப் பொறுத்துச் சமன்பாட்டைப் பல்லுறுப்புக் கோவை வடிவத்துக்கு மாற்றிய பிறகு, அந்த உயர் வகைக்கெழுவின் அடுக்கே படி. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + \frac{dy}{dx} = x$ இன் வரிசை 2, படி 3. ஒரு வகைக்கெழு $\sin$ அல்லது $e^x$ போன்ற சார்பின் உள்ளே வந்தால், படி வரையறுக்கப்படாது.
வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை அமைத்தல்
தன்னிச்சை மாறிலிகளைக் கொண்ட ஒரு வளைவரைக் குடும்பத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து தொடங்குங்கள். எத்தனை மாறிலிகள் உள்ளனவோ அத்தனை முறை வகையிட்டு, பிறகு மாறிலிகளை நீக்குங்கள். $n$ சார்பற்ற தன்னிச்சை மாறிலிகள் உள்ள குடும்பம் வரிசை $n$ உள்ள வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைத் தரும். எடுத்துக்காட்டாக, $y = mx$ இல் ஒரு மாறிலி உள்ளது; $m$ ஐ நீக்கினால் $x\frac{dy}{dx} = y$ கிடைக்கிறது.
மாறிகளைப் பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்
சமன்பாட்டை $f(x)\,dx = g(y)\,dy$ என எழுத முடிந்தால், இருபுறமும் தொகையிட்டு ஒரு தன்னிச்சை மாறிலியைச் சேர்க்கவும். அதுவே பொதுத் தீர்வு. $x = 0$ எனும்போது $y = 1$ போன்ற ஒரு தொடக்க நிபந்தனை மாறிலியின் மதிப்பைத் தீர்மானித்து, சிறப்புத் தீர்வைத் தருகிறது.
சமபடித்தான சமன்பாடுகள்
$f$, $g$ இரண்டும் ஒரே படி உள்ள சமபடித்தான சார்புகள் எனில், $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$ என்பது சமபடித்தான சமன்பாடு. அப்போது வலப்பக்கம் $\frac{y}{x}$ ஐ மட்டுமே சார்ந்திருக்கும். $y = vx$ எனப் பிரதியிட்டால் $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ ஆகிறது; சமன்பாடு $v$, $x$ இல் மாறிகளைப் பிரிக்கக்கூடியதாக மாறுகிறது. தீர்த்த பிறகு $v$ க்குப் பதில் $\frac{y}{x}$ ஐ இடுங்கள்.
முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாடுகள்
திட்ட வடிவம் $\frac{dy}{dx} + Py = Q$. இங்கு $P$, $Q$ ஆகியவை $x$ இன் சார்புகள் மட்டுமே. தொகையீட்டுக் காரணி (Integrating Factor) $e^{\int P\,dx}$. இதனால் பெருக்கினால் இடப்பக்கம் $y \times \text{I.F.}$ இன் வகைக்கெழு ஆகிறது. தீர்வு $y \times \text{I.F.} = \int Q \times \text{I.F.}\,dx + C$. முதலில் சமன்பாட்டைத் திட்ட வடிவத்தில் எழுதுங்கள்; $\frac{dy}{dx}$ இன் கெழு 1 ஆக இருக்க வேண்டும்.
வளர்ச்சி, சிதைவு, குளிர்தல்
ஓர் அளவு தனக்குத்தானே நேர்விகிதமான வீதத்தில் மாறினால் $\frac{dA}{dt} = kA$; அதன் தீர்வு $A = A_0 e^{kt}$. மக்கள்தொகை வளர்ச்சிக்கு $k > 0$; கதிரியக்கச் சிதைவுக்கு $k < 0$. நியூட்டனின் குளிர்வு விதி: ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை மாறும் வீதம், அதன் வெப்பநிலைக்கும் சுற்றுப்புற வெப்பநிலைக்கும் உள்ள வேறுபாட்டுக்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும்: $\frac{dT}{dt} = k(T - S)$. இது குளிர்வதற்கு மட்டுமல்ல, சூடாவதற்கும் பொருந்தும்.
கலவைக் கணக்குகள்
கலவைக் கணக்கில், ஒரு கரைசல் தொட்டிக்குள் பாய்கிறது; அதே நேரம் கலவை வெளியே பாய்கிறது. தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு $x$ எனில், $\frac{dx}{dt}$ = உப்பு உள்ளே வரும் வீதம் கழித்தல் வெளியே செல்லும் வீதம். வெளியேறும் வீதம் = தொட்டியில் உள்ள செறிவு × நிமிடத்துக்கு வெளியேறும் கன அளவு. இது மாறிகளைப் பிரிக்கக்கூடிய அல்லது நேரியல் சமன்பாட்டைத் தரும்.
தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்
- மிக உயர்ந்த அடுக்கை வரிசை எனக் கூறுவது. வரிசை மிக உயர்ந்த வகைக்கெழுவிலிருந்து வருகிறது; படி அதன் அடுக்கு.
- வகைக்கெழுக்களின் மூலக்குறிகளையும் பின்ன அடுக்குகளையும் நீக்கும் முன்பே படியைக் காண்பது.
- தன்னிச்சை மாறிலியை விட்டுவிடுவது, அல்லது கடைசியில் ஒட்டிவிடுவது. தொகையிடும்போதே C ஐச் சேருங்கள்: log y = x + C இலிருந்து y = Ae^x கிடைக்கும்; e^x + C அல்ல.
- y², y × dy/dx, sin y போன்ற உறுப்புகள் உள்ள சமன்பாட்டை நேரியல் சமன்பாடு எனக் கூறுவது.
- dy/dx இன் கெழுவை 1 ஆக்கிச் சமன்பாட்டை எழுதும் முன்பே தொகையீட்டுக் காரணியைக் காண்பது.
இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.
அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்
மூலக்குறி இருக்கும்போது படியை எப்படிக் காண்பது?
முதலில் இருபுறமும் வர்க்கம் அல்லது கனம் செய்து மூலக்குறியை நீக்குங்கள்; வகைக்கெழுக்களுக்கு முழு எண் அடுக்குகள் மட்டுமே இருக்க வேண்டும். பிறகு மிக உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழுவின் அடுக்கைப் பாருங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, வகைக்கெழு வர்க்கமூலத்தின் உள்ளே இருந்தால், படியை முடிவு செய்யும் முன் இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்துங்கள்.
ஒரு வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் படி பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியுமா?
முடியாது. மிக உயர்ந்த வகைக்கெழு எப்போதும் சமன்பாட்டில் இருக்கும்; ஆகவே அதன் அடுக்கு ஒரு மிகை முழு எண். மிக உயர்ந்த வகைக்கெழு sin அல்லது log போன்ற சார்பின் உள்ளே வந்து, பல்லுறுப்புக் கோவையாக மாற்ற முடியாவிட்டால், படி வரையறுக்கப்படாது.
பொதுத் தீர்வுக்கும் சிறப்புத் தீர்வுக்கும் என்ன வேறுபாடு?
பொதுத் தீர்வில் வரிசையின் எண்ணிக்கை அளவுக்குத் தன்னிச்சை மாறிலிகள் இருக்கும்; அது ஒரு வளைவரைக் குடும்பத்தைக் குறிக்கிறது. கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளைக் கொண்டு அந்த மாறிலிகளைக் கண்டால் சிறப்புத் தீர்வு கிடைக்கும்; அது குடும்பத்தில் ஒரு வளைவரையைக் குறிக்கிறது.
y = vx பிரதியிடலை எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்?
சமபடித்தான சமன்பாடுகளுக்குப் பயன்படுத்துங்கள்; அதாவது dy/dx இன் தொகுதியும் பகுதியும் ஒரே படி உள்ள சமபடித்தான சார்புகளாக இருக்கும்போது. இந்தப் பிரதியிடல் சமன்பாட்டை v, x மாறிகளைப் பிரிக்கக்கூடிய வடிவத்துக்கு மாற்றுகிறது.
தொகையீட்டுக் காரணி ஏன் வேலை செய்கிறது?
dy/dx + Py = Q ஐத் தொகையீட்டுக் காரணியால் பெருக்கும்போது, பெருக்கல் விதிப்படி இடப்பக்கம் y × தொகையீட்டுக் காரணியின் வகைக்கெழுவாக மாறுகிறது. பிறகு இருபுறமும் நேரடியாகத் தொகையிடலாம்.
பயன்பாடுகளில் முதல் வரிசைச் சமன்பாடு எதை விவரிக்கிறது?
பொதுவாக ஓர் அளவு ஒரு மாறியைப் பொறுத்து, பெரும்பாலும் நேரத்தைப் பொறுத்து, மாறும் வீதத்தை அது தருகிறது. மக்கள்தொகையின் வளர்ச்சி, கதிரியக்கப் பொருளின் சிதைவு, குளிரும் பொருளின் வெப்பநிலை ஆகியவை எடுத்துக்காட்டுகள்.
கடைசியாகப் புதுப்பிக்கப்பட்டது 17 செப்டெம்பர் 2026