சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் — சூத்திரத் தாள்

வரிசை & படி

• வரிசை = மிக உயர் வகைக்கெழுவின் வரிசை.
• படி = (பல்லுறுப்புக்கோவை வடிவில் எழுதிய பின்) மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவின் அடுக்கு.
• \(n\)-ஆம் வரிசை \(\Rightarrow\) பொதுத் தீர்வில் \(n\) தன்னிச்சை மாறிலிகள்.

மாறிகள் பிரிபடும் முறை

\(\dfrac{dy}{dx} = f(x)\,g(y) \;\Rightarrow\; \displaystyle\int \dfrac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + c\)

சமபடித்தான சமன்பாடு

\(\dfrac{dy}{dx} = F\!\left(\dfrac{y}{x}\right)\), \(y = vx\), \(\dfrac{dy}{dx} = v + x\,\dfrac{dv}{dx}\)

\(\displaystyle\int \dfrac{dv}{F(v) - v} = \int \dfrac{dx}{x} + c\)

முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாடு

\(\dfrac{dy}{dx} + Py = Q\)  (\(P, Q\): \(x\)-ன் சார்புகள்)

• I.F. \(= e^{\int P\,dx}\)
• தீர்வு: \(y\,e^{\int P\,dx} = \displaystyle\int Q\,e^{\int P\,dx}\,dx + c\)

\(\dfrac{dx}{dy} + Px = Q\)  (\(P, Q\): \(y\)-ன் சார்புகள்)

• I.F. \(= e^{\int P\,dy}\)
• தீர்வு: \(x\,e^{\int P\,dy} = \displaystyle\int Q\,e^{\int P\,dy}\,dy + c\)

பயன்பாட்டு மாதிரிகள்

• மக்கள்தொகை வளர்ச்சி: \(\dfrac{dx}{dt} = kx \;\Rightarrow\; x = x_0\,e^{kt}\)
• கதிரியக்கச் சிதைவு: \(\dfrac{dA}{dt} = -kA \;\Rightarrow\; A = A_0\,e^{-kt}\)
• நியூட்டன் குளிர்ச்சி: \(\dfrac{dT}{dt} = k(T - T_m) \;\Rightarrow\; T = T_m + (T_0 - T_m)e^{kt}\)
• கலவை: \(\dfrac{dx}{dt} = \text{(உள்வரும் வீதம்)} - \text{(வெளியேறும் வீதம்)}\)

அடிக்கடி தேவைப்படும் தொகையீடுகள்

• \(\displaystyle\int \dfrac{dx}{x} = \log|x| + c\)
• \(\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2 + 1} = \tan^{-1} x + c\)
• \(\displaystyle\int e^{x}\,dx = e^{x} + c\)
• \(e^{\int \frac{2}{x}\,dx} = e^{2\log x} = x^2\)
• \(e^{\int \cot x\,dx} = e^{\log|\sin x|} = \sin x\)