Every multiple-choice question from சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல், Samacheer Kalvi) with the correct option highlighted and a clear, worked explanation. 25 questions in all — free to read in English and Tamil.
Q1
வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \( \dfrac{d^2y}{dx^2} + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{1/3} + x^{1/4} = 0 \)-ன் வரிசை மற்றும் படி முறையே
- A. \(2,\ 3\)Correct
- B. \(3,\ 3\)
- C. \(2,\ 6\)
- D. \(2,\ 4\)
Explanation. வரிசை என்பது மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவின் வரிசை; இங்கு அது \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\), எனவே வரிசை \(=2\). படி காண, சமன்பாட்டை வகைக்கெழுக்களில் பல்லுறுப்புக்கோவை வடிவில் எழுத பின்ன அடுக்குகளை நீக்க வேண்டும். \(\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{1/3}\) என்பதை விலக்கி \(\left(\dfrac{d^2y}{dx^2} + x^{1/4}\right)^3 = -\dfrac{dy}{dx}\) எனப் படுத்தினால் மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவான \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)-ன் அடுக்கு \(3\) ஆகும். (\(x^{1/4}\) என்பது சார்பற்ற மாறி மட்டுமே; அது படியைப் பாதிக்காது.) எனவே வரிசை \(=2\), படி \(=3\).
Q2
\(y = A\cos(x + B)\) என்பதன் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு (இங்கு \(A, B\) என்பன ஏதேனும் மாறிலிகள்)
- A. \(\dfrac{d^2y}{dx^2} - y = 0\)
- B. \(\dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0\)Correct
- C. \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 0\)
- D. \(\dfrac{d^2x}{dy^2} = 0\)
Explanation. \(y = A\cos(x+B)\) என்பதில் இரண்டு தன்னிச்சை மாறிலிகள் \(A, B\) உள்ளன, எனவே வகைக்கெழுச் சமன்பாடு இரண்டாம் வரிசை ஆகும். ஒருமுறை வகையிட \(\dfrac{dy}{dx} = -A\sin(x+B)\). மீண்டும் வகையிட \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = -A\cos(x+B) = -y\). எனவே \(\dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0\).
Q3
\(\sqrt{\sin x}\,(dx + dy) = \sqrt{\cos x}\,(dx - dy)\) என்பதன் வரிசை மற்றும் படி முறையே
- A. \(1,\ 2\)
- B. \(2,\ 2\)
- C. \(1,\ 1\)Correct
- D. \(2,\ 1\)
Explanation. சமன்பாட்டை மறுசீரமைக்க: \(\big(\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}\big)\,dy = \big(\sqrt{\cos x} - \sqrt{\sin x}\big)\,dx\), அதாவது \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{\cos x} - \sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}\). இங்கு மிக உயர் வகைக்கெழு \(\dfrac{dy}{dx}\) (வரிசை \(=1\)) மற்றும் அது முதல் அடுக்கில் உள்ளது (படி \(=1\)). எனவே வரிசை \(=1\), படி \(=1\).
Q4
\(y = c x + c - c^3\) என்னும் சமன்பாட்டின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் படி (இங்கு \(c\) ஒரு தன்னிச்சை மாறிலி) என்பது
- A. \(2\)
- B. \(3\)Correct
- C. \(4\)
- D. \(1\)
Explanation. வகையிட \(\dfrac{dy}{dx} = c\) (ஒரே மாறிலியே, எனவே வரிசை \(=1\)). \(c = \dfrac{dy}{dx}\) எனப் பதிலிட \(y = x\,\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{dy}{dx} - \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^3\). இங்கு மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவான \(\dfrac{dy}{dx}\)-ன் மிக உயர் அடுக்கு \(3\); எனவே படி \(=3\).
Q5
\(A, B\) என்னும் இரு தன்னிச்சை மாறிலிகள் கொண்ட பொதுத் தீர்வு \(y = A e^{x} + B e^{-x}\) எந்த வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டிற்கு உரியது?
- A. \(y'' + y = 0\)
- B. \(y'' - y = 0\)Correct
- C. \(y' + y = 0\)
- D. \(y' - y = 0\)
Explanation. \(y = A e^{x} + B e^{-x}\) இரண்டு மாறிலிகள் கொண்டது, எனவே இரண்டாம் வரிசை. \(y' = A e^{x} - B e^{-x}\), \(y'' = A e^{x} + B e^{-x} = y\). எனவே \(y'' - y = 0\).
Q6
\(\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{y}{x} = 0\) என்னும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு
- A. \(y = c x\)
- B. \(x + y = c\)
- C. \(xy = c\)Correct
- D. \(y = c\,\log x\)
Explanation. இது மாறிகள் பிரிபடும் வடிவம்: \(\dfrac{dy}{y} = -\dfrac{dx}{x}\). தொகையிட \(\log|y| = -\log|x| + \log c\), அதாவது \(\log|xy| = \log c\). எனவே \(xy = c\).
Q7
\(\dfrac{dy}{dx} = e^{x - y} + x^2 e^{-y}\) என்னும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு
- A. \(e^{y} = e^{x} + \dfrac{x^3}{3} + c\)
- B. \(e^{y} = e^{x} - \dfrac{x^3}{3} + c\)
- C. \(e^{y} = e^{x} + \dfrac{x^3}{3} + c\)Correct
- D. \(e^{x} = e^{y} + \dfrac{x^3}{3} + c\)
Explanation. \(\dfrac{dy}{dx} = e^{-y}(e^{x} + x^2)\). மாறிகளைப் பிரிக்க \(e^{y}\,dy = (e^{x} + x^2)\,dx\). தொகையிட \(e^{y} = e^{x} + \dfrac{x^3}{3} + c\).
Q8
\(x\,\dfrac{dy}{dx} + 2y = x^2\) என்னும் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி (Integrating factor)
- A. \(x\)
- B. \(x^2\)Correct
- C. \(\dfrac{1}{x^2}\)
- D. \(\dfrac{1}{x}\)
Explanation. நிலையான வடிவில் எழுத \(\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{2}{x}\,y = x\). இங்கு \(P = \dfrac{2}{x}\). தொகையீட்டுக் காரணி \(= e^{\int P\,dx} = e^{\int \frac{2}{x}\,dx} = e^{2\log x} = x^2\).
Q9
\((D^2 + 1)y = 0\) வடிவ முதல்-வரிசை அல்லாமல், முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாடான \(\dfrac{dy}{dx} + P y = Q\)-வின் தீர்வு வடிவம்
- A. \(y = \int Q\,dx + c\)
- B. \(y\,e^{\int P\,dx} = \int Q\,e^{\int P\,dx}\,dx + c\)Correct
- C. \(y = \int Q\,e^{\int P\,dx}\,dx + c\)
- D. \(y\,e^{\int P\,dx} = \int Q\,dx + c\)
Explanation. \(\dfrac{dy}{dx} + Py = Q\) என்னும் முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாட்டை தொகையீட்டுக் காரணி \(e^{\int P\,dx}\) கொண்டு பெருக்கி தொகையிட்டால் பொதுத் தீர்வு \(y\,e^{\int P\,dx} = \int Q\,e^{\int P\,dx}\,dx + c\) ஆகும்.
Q10
\(x\,\dfrac{dy}{dx} = y\) என்னும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வில் வரும் தன்னிச்சை மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை
- A. \(x\)
- B. \(\dfrac{x^2}{2}\)
- C. \(1\)Correct
- D. \(\dfrac{1}{x}\)
Explanation. \(x\,\dfrac{dy}{dx} = y\) என்பது முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு. பொதுவாக ஒரு \(n\)-ஆம் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வில் \(n\) தன்னிச்சை மாறிலிகள் இருக்கும். இங்கு \(n = 1\), எனவே மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை \(=1\).
Q11
\(\left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 + \sin\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right) + 1 = 0\) என்னும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் படி
- A. \(2\)
- B. \(3\)
- C. படி வரையறுக்க முடியாதுCorrect
- D. \(4\)
Explanation. \(\sin\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\) என்னும் உறுப்பு இருப்பதால் சமன்பாட்டை வகைக்கெழுக்களில் பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்ற இயலாது. படி வரையறுக்கப்பட வேண்டுமானால் சமன்பாடு வகைக்கெழுக்களில் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்க வேண்டும். எனவே இங்கு படி வரையறுக்க முடியாது.
Q12
\(p, q\) என்பன தன்னிச்சை மாறிலிகள் எனில், \(y = px + q\) எந்த வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வாகும்? (வளைவரைக் குடும்பம் = நேர்க்கோடுகள்)
- A. \(\dfrac{dy}{dx} = 0\)
- B. \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = x\)
- C. \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 0\)Correct
- D. \(y = p\,\dfrac{dy}{dx} + q\)
Explanation. \(y = px + q\)-ஐ வகையிட \(\dfrac{dy}{dx} = p\) (மாறிலி). மீண்டும் வகையிட \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 0\). எனவே நேர்க்கோடுகளின் குடும்பத்தைக் குறிக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 0\).
Q13
\(\dfrac{dy}{dx} = 2xy\) என்னும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வு
- A. \(y = c\,e^{x^2}\)Correct
- B. \(y = c\,e^{-x^2}\)
- C. \(y = 2x^2 + c\)
- D. \(y = x^2 + c\)
Explanation. மாறிகளைப் பிரிக்க \(\dfrac{dy}{y} = 2x\,dx\). தொகையிட \(\log|y| = x^2 + \log c\), எனவே \(y = c\,e^{x^2}\).
Q14
\(x^2\,\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0\)-க்கு \(y(1) = 1\) எனில் சிறப்புத் தீர்வு
- A. \(y = e^{\frac{2}{x} - 2}\)Correct
- B. \(y = e^{2 - \frac{2}{x}}\)
- C. \(y = e^{\frac{2}{x}}\)
- D. \(y = e^{-\frac{2}{x}}\)
Explanation. \(x^2\,\dfrac{dy}{dx} = -2y \Rightarrow \dfrac{dy}{y} = -\dfrac{2}{x^2}\,dx\). தொகையிட \(\log|y| = \dfrac{2}{x} + c\), அதாவது \(y = e^{\frac{2}{x} + c}\). \(y(1) = 1\) எனப் பதிலிட \(1 = e^{2 + c} \Rightarrow c = -2\). எனவே \(y = e^{\frac{2}{x} - 2}\).
Q15
\(M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0\) என்னும் சமன்பாடு சமபடித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாக இருக்க நிபந்தனை: \(M\) மற்றும் \(N\) என்பன
- A. வெவ்வேறு படிகளைக் கொண்ட சார்புகள்
- B. ஒரே படி கொண்ட சமபடித்தான சார்புகள்Correct
- C. நேரியல் சார்புகள்
- D. மாறிலிகள்
Explanation. \(M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0\) என்பது சமபடித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு என்பது, \(M\) மற்றும் \(N\) என்பன ஒரே படி கொண்ட சமபடித்தான சார்புகள் (homogeneous functions of the same degree) எனில். அப்போது \(y = vx\) என்னும் பதிலீட்டால் மாறிகளைப் பிரிக்கலாம்.
Q16
\(\dfrac{dy}{dx} + P y = Q\) என்னும் முதல் வரிசை நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி (I.F.)
- A. \(e^{\int Q\,dx}\)
- B. \(\int P\,dx\)
- C. \(e^{\int P\,dx}\)Correct
- D. \(e^{-\int P\,dx}\)
Explanation. \(\dfrac{dy}{dx} + Py = Q\) வடிவ முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி \(= e^{\int P\,dx}\). இதைக் கொண்டு பெருக்கினால் இடப்பக்கம் \(\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{\int P\,dx}\right)\) ஆக மாறும்.
Q17
\(\dfrac{dx}{dy} + P x = Q\) என்னும் சமன்பாட்டில் \(P, Q\) என்பன \(y\)-ல் மட்டுமே உள்ள சார்புகள் எனில், தொகையீட்டுக் காரணி
- A. \(e^{\int P\,dx}\)
- B. \(e^{\int P\,dy}\)Correct
- C. \(e^{\int Q\,dy}\)
- D. \(e^{-\int P\,dy}\)
Explanation. இங்கு சார்ந்த மாறி \(x\), சாராமாறி \(y\). \(\dfrac{dx}{dy} + Px = Q\) வடிவ சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி \(= e^{\int P\,dy}\) (\(y\)-ஐப் பொருத்து தொகையிடப்படுகிறது). தீர்வு \(x\,e^{\int P\,dy} = \int Q\,e^{\int P\,dy}\,dy + c\).
Q18
\(x\,\dfrac{dy}{dx} + 2y = x^2\,(x \neq 0)\)-ல் \(P\) என்பது (நிலையான \(\dfrac{dy}{dx} + Py = Q\) வடிவில்)
- A. \(x\)
- B. \(x^2\)
- C. \(\dfrac{1}{x^2}\)
- D. \(\dfrac{2}{x}\)Correct
Explanation. இரு பக்கங்களையும் \(x\) ஆல் வகுக்க \(\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{2}{x}\,y = x\). இதை நிலையான வடிவம் \(\dfrac{dy}{dx} + Py = Q\) உடன் ஒப்பிட \(P = \dfrac{2}{x}\), \(Q = x\). எனவே \(P = \dfrac{2}{x}\).
Q19
\(y = c_1 \cos n x + c_2 \sin n x\) (\(n\) ஒரு மாறிலி) எந்த வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்?
- A. \(\dfrac{d^2y}{dx^2} - n^2 y = 0\)
- B. \(\dfrac{d^2y}{dx^2} + n^2 y = 0\)Correct
- C. \(\dfrac{d^2y}{dx^2} - n y = 0\)
- D. \(\dfrac{d^2y}{dx^2} + n y = 0\)
Explanation. \(y = c_1\cos nx + c_2\sin nx\)-ஐ வகையிட \(y' = -c_1 n\sin nx + c_2 n\cos nx\), மீண்டும் வகையிட \(y'' = -c_1 n^2\cos nx - c_2 n^2\sin nx = -n^2 y\). எனவே \(\dfrac{d^2y}{dx^2} + n^2 y = 0\).
Q20
\(\dfrac{dy}{dx} = k\), (\(k\) மாறிலி) என்னும் சமன்பாட்டின் தீர்வில் வரும் தன்னிச்சை மாறிலிகளின் எண்ணிக்கையும், அதன் வரிசையும் முறையே
- A. \(3,\ 3\)
- B. \(2,\ 2\)
- C. \(1,\ 0\)
- D. \(1,\ 1\)Correct
Explanation. \(\dfrac{dy}{dx} = k\) என்பது முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு (வரிசை \(=1\)). தொகையிட \(y = kx + c\) — ஒரே தன்னிச்சை மாறிலி \(c\) (எண்ணிக்கை \(=1\)). எனவே மாறிலிகள் \(=1\), வரிசை \(=1\).
Q21
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x^2 + 1}\) என்னும் சமன்பாட்டை, \(y(0) = 0\) நிபந்தனையுடன் தீர்த்தால் கிடைக்கும் தீர்வு
- A. \(y = \tan^{-1} x\)Correct
- B. \(y = x^2 + 1\)
- C. \(y = \dfrac{1}{x^2 + 1} + c\)
- D. \(y = x + 1\)
Explanation. தொகையிட \(y = \int \dfrac{dx}{x^2 + 1} = \tan^{-1} x + c\). \(y(0) = 0\) எனப் பதிலிட \(0 = \tan^{-1} 0 + c = c\), எனவே \(c = 0\). எனவே \(y = \tan^{-1} x\).
Q22
\(t\) நேரத்தில் ஒரு பொருளின் (மக்கள்தொகை) வளர்ச்சி வீதம் அந்நேரத்தில் உள்ள அளவுக்கு \(P\)-க்கு நேர் விகிதத்தில் இருந்தால், அதைக் குறிக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
- A. \(\dfrac{dP}{dt} = k P\)Correct
- B. \(\dfrac{dP}{dt} = -k P\)
- C. \(\dfrac{dP}{dt} = k\)
- D. \(\dfrac{dP}{dt} = k t\)
Explanation. வளர்ச்சி வீதம் \(\dfrac{dP}{dt}\) தற்போதைய அளவு \(P\)-க்கு நேர் விகிதத்தில் இருந்தால் \(\dfrac{dP}{dt} \propto P\), அதாவது \(\dfrac{dP}{dt} = kP\) (\(k > 0\)). (வளர்ச்சிக்கு \(k > 0\); குறைதலுக்கு \(k < 0\).)
Q23
\(t\) நேரத்தில் ஒரு கதிரியக்கப் பொருளின் (radioactive) சிதைவு வீதம் அந்நேரத்தில் மீதமுள்ள அளவு \(P\)-க்கு நேர் விகிதத்தில் இருந்தால், அதைக் குறிக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
- A. \(\dfrac{dP}{dt} = k P\)
- B. \(\dfrac{dP}{dt} = -k P\)Correct
- C. \(\dfrac{dP}{dt} = k\)
- D. \(\dfrac{dP}{dt} = k t\)
Explanation. கதிரியக்கச் சிதைவில் அளவு குறைந்து கொண்டே செல்வதால் \(\dfrac{dP}{dt}\) எதிர்க்குறி கொண்டிருக்கும்: \(\dfrac{dP}{dt} = -kP\) (\(k > 0\)). எதிர்க்குறி சிதைவைக் (குறைதலைக்) குறிக்கிறது.
Q24
\(y^2 = 4ax\) என்னும் பரவளையங்களின் குடும்பத்தைக் குறிக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை (\(a\) ஒரு மாறிலி)
- A. \(2\)
- B. \(1\)Correct
- C. \(3\)
- D. \(4\)
Explanation. \(y^2 = 4ax\)-ல் ஒரே தன்னிச்சை மாறிலி \(a\) உள்ளது. வகையிட \(2y\,\dfrac{dy}{dx} = 4a\), எனவே \(a = \dfrac{y}{2}\dfrac{dy}{dx}\). இதைப் பதிலிட \(y^2 = 4\left(\dfrac{y}{2}\dfrac{dy}{dx}\right)x = 2xy\,\dfrac{dy}{dx}\). இது முதல் வரிசை சமன்பாடு, எனவே வரிசை \(=1\).
Q25
ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் சாய்வு \(3x^2\) ஆக உள்ள வளைவரை \((-1, 1)\) வழியாகச் செல்கிறது எனில், அவ்வளைவரையின் சமன்பாடு
- A. \(y = x^3 + 2\)Correct
- B. \(y = 3x^2 + 4\)
- C. \(y = 3x^3 + 4\)
- D. \(y = x^3 + 5\)
Explanation. சாய்வு \(\dfrac{dy}{dx} = 3x^2\). தொகையிட \(y = x^3 + c\). வளைவரை \((-1, 1)\) வழியாகச் செல்வதால் \(1 = (-1)^3 + c = -1 + c \Rightarrow c = 2\). எனவே \(y = x^3 + 2\).
