சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் — படிப்புக் குறிப்புகள்

10.1 அறிமுகம்

ஒரு வகைக்கெழுச் சமன்பாடு (differential equation) என்பது, ஒரு சார்பையும் அதன் வகைக்கெழுக்களையும் இணைக்கும் சமன்பாடு ஆகும். அறிவியல், பொறியியல், உயிரியல், பொருளியல் ஆகியவற்றில் இயற்கை நிகழ்வுகளை மாதிரியாக்க இவை பயன்படுகின்றன. ஒரே ஒரு சாராமாறியைப் (independent variable) பொருத்த வகைக்கெழுக்கள் மட்டுமே இடம்பெறும்போது அது சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடு (ordinary differential equation) எனப்படும்.

10.2 வரிசை மற்றும் படி

வரிசை (Order): சமன்பாட்டில் இடம்பெறும் மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவின் வரிசையே சமன்பாட்டின் வரிசை. எடுத்துக்காட்டாக \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) இருந்தால் வரிசை \(2\).

படி (Degree): சமன்பாட்டை வகைக்கெழுக்களில் பல்லுறுப்புக்கோவை (polynomial) வடிவில் — பின்ன அடுக்குகள், மூலங்கள், மீச்சார்பு (transcendental) உறுப்புகள் இல்லாமல் — எழுதிய பிறகு, மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவின் அடுக்கே படி ஆகும்.

• படியைக் காண முதலில் பின்ன அடுக்குகளையும் மூலங்களையும் நீக்க வேண்டும்.
• \(\sin\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right),\ \log\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right),\ e^{\frac{dy}{dx}}\) போன்ற மீச்சார்பு உறுப்புகள் இருந்தால் படி வரையறுக்க முடியாது.

10.3 பொதுத் தீர்வும் சிறப்புத் தீர்வும்

பொதுத் தீர்வு (General solution): ஒரு \(n\)-ஆம் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வில் \(n\) தன்னிச்சை மாறிலிகள் (arbitrary constants) இருக்கும். சிறப்புத் தீர்வு (Particular solution): கொடுக்கப்பட்ட தொடக்க/எல்லை நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்தி அம்மாறிலிகளுக்கு மதிப்பு கண்டறிந்து பெறப்படுவது.

10.4 வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை உருவாக்குதல்

தன்னிச்சை மாறிலிகள் கொண்ட ஒரு வளைவரைக் குடும்பத்தை (family of curves) தந்தால், மாறிலிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமான முறை சமன்பாட்டை வகையிட்டு, பின் மாறிலிகளை நீக்கினால் அக்குடும்பத்தின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு கிடைக்கும். (எ.கா. \(n\) மாறிலிகள் \(\Rightarrow\) \(n\)-ஆம் வரிசை சமன்பாடு.)

10.5 மாறிகள் பிரிபடும் முறை

\(\dfrac{dy}{dx} = f(x)\,g(y)\) வடிவில் எழுத முடிந்தால், \(\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx\) எனப் பிரித்து இரு பக்கமும் தொகையிட்டுத் தீர்வு பெறலாம்.

10.6 பதிலீட்டு முறை & சமபடித்தான வடிவம்

\(\dfrac{dy}{dx} = F\!\left(\dfrac{y}{x}\right)\) எனும் சமபடித்தான (homogeneous) சமன்பாட்டில் \(y = vx\) எனப் பதிலிட்டால் (\(\dfrac{dy}{dx} = v + x\dfrac{dv}{dx}\)) மாறிகள் பிரிபடும் வடிவம் கிடைக்கும். \(M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0\)-ல் \(M, N\) ஒரே படி கொண்ட சமபடித்தான சார்புகளாக இருந்தால் அது சமபடித்தான சமன்பாடாகும்.

10.7 முதல் வரிசை நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு

\(\dfrac{dy}{dx} + P y = Q\) (இங்கு \(P, Q\) என்பன \(x\)-ன் சார்புகள்) வடிவ சமன்பாட்டிற்கு:

• தொகையீட்டுக் காரணி (Integrating Factor, I.F.) \(= e^{\int P\,dx}\).
• பொதுத் தீர்வு: \(y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q \cdot (\text{I.F.})\,dx + c\).
• \(\dfrac{dx}{dy} + Px = Q\) (\(P, Q\) என்பன \(y\)-ன் சார்புகள்) எனில் I.F. \(= e^{\int P\,dy}\), தீர்வு \(x\,e^{\int P\,dy} = \int Q\,e^{\int P\,dy}\,dy + c\).

10.8 பயன்பாடுகள்

• மக்கள்தொகை வளர்ச்சி: \(\dfrac{dx}{dt} = kx\ (k > 0)\).
• கதிரியக்கச் சிதைவு: \(\dfrac{dA}{dt} = -kA\ (k > 0)\).
• நியூட்டனின் குளிர்ச்சி விதி: \(\dfrac{dT}{dt} = k\,(T - T_m)\ (k < 0)\).
• கலவைக் கணக்குகள்: \(\dfrac{dx}{dt} = (\text{உள்வரும் வீதம்}) - (\text{வெளியேறும் வீதம்})\).

தேர்வில் கவனிக்க வேண்டிய பொதுத் தவறுகள் (Common traps)

• படியைக் காண்பதற்கு முன் மூலங்களையும் பின்ன அடுக்குகளையும் கட்டாயம் நீக்க வேண்டும்; இல்லையெனில் படி தவறாகக் கணிக்கப்படும்.
• \(\sin, \log, e^{(\cdot)}\) ஆகியவற்றுக்குள் வகைக்கெழு இருந்தால் படி வரையறுக்க முடியாது — \(0\) என எழுதக் கூடாது.
• தன்னிச்சை மாறிலிகளின் எண்ணிக்கையே சமன்பாட்டின் வரிசையைத் தீர்மானிக்கிறது.
• தொகையீட்டுக் காரணியில் சார்ந்த/சாராமாறியை மாற்றிக் குழம்பாதீர்கள் — \(\dfrac{dy}{dx}\) வடிவில் \(P\) என்பது \(y\)-ன் கெழு; \(\dfrac{dx}{dy}\) வடிவில் \(P\) என்பது \(x\)-ன் கெழு.
• குளிர்ச்சி/சிதைவில் \(k\)-ன் குறி (\(<0\) அல்லது எதிர்க்குறி) கவனத்தில் இருக்கட்டும்.