12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் — சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்: Online Practice Test

Explanation. வரிசை என்பது மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவின் வரிசை; இங்கு அது \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\), எனவே வரிசை \(=2\). படி காண, சமன்பாட்டை வகைக்கெழுக்களில் பல்லுறுப்புக்கோவை வடிவில் எழுத பின்ன அடுக்குகளை நீக்க வேண்டும். \(\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{1/3}\) என்பதை விலக்கி \(\left(\dfrac{d^2y}{dx^2} + x^{1/4}\right)^3 = -\dfrac{dy}{dx}\) எனப் படுத்தினால் மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவான \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)-ன் அடுக்கு \(3\) ஆகும். (\(x^{1/4}\) என்பது சார்பற்ற மாறி மட்டுமே; அது படியைப் பாதிக்காது.) எனவே வரிசை \(=2\), படி \(=3\).

Explanation. \(y = A\cos(x+B)\) என்பதில் இரண்டு தன்னிச்சை மாறிலிகள் \(A, B\) உள்ளன, எனவே வகைக்கெழுச் சமன்பாடு இரண்டாம் வரிசை ஆகும். ஒருமுறை வகையிட \(\dfrac{dy}{dx} = -A\sin(x+B)\). மீண்டும் வகையிட \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = -A\cos(x+B) = -y\). எனவே \(\dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0\).

Explanation. சமன்பாட்டை மறுசீரமைக்க: \(\big(\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}\big)\,dy = \big(\sqrt{\cos x} - \sqrt{\sin x}\big)\,dx\), அதாவது \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{\cos x} - \sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}\). இங்கு மிக உயர் வகைக்கெழு \(\dfrac{dy}{dx}\) (வரிசை \(=1\)) மற்றும் அது முதல் அடுக்கில் உள்ளது (படி \(=1\)). எனவே வரிசை \(=1\), படி \(=1\).

Explanation. வகையிட \(\dfrac{dy}{dx} = c\) (ஒரே மாறிலியே, எனவே வரிசை \(=1\)). \(c = \dfrac{dy}{dx}\) எனப் பதிலிட \(y = x\,\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{dy}{dx} - \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^3\). இங்கு மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவான \(\dfrac{dy}{dx}\)-ன் மிக உயர் அடுக்கு \(3\); எனவே படி \(=3\).

Explanation. \(y = A e^{x} + B e^{-x}\) இரண்டு மாறிலிகள் கொண்டது, எனவே இரண்டாம் வரிசை. \(y' = A e^{x} - B e^{-x}\), \(y'' = A e^{x} + B e^{-x} = y\). எனவே \(y'' - y = 0\).

Explanation. இது மாறிகள் பிரிபடும் வடிவம்: \(\dfrac{dy}{y} = -\dfrac{dx}{x}\). தொகையிட \(\log|y| = -\log|x| + \log c\), அதாவது \(\log|xy| = \log c\). எனவே \(xy = c\).

Explanation. \(\dfrac{dy}{dx} = e^{-y}(e^{x} + x^2)\). மாறிகளைப் பிரிக்க \(e^{y}\,dy = (e^{x} + x^2)\,dx\). தொகையிட \(e^{y} = e^{x} + \dfrac{x^3}{3} + c\).

Explanation. நிலையான வடிவில் எழுத \(\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{2}{x}\,y = x\). இங்கு \(P = \dfrac{2}{x}\). தொகையீட்டுக் காரணி \(= e^{\int P\,dx} = e^{\int \frac{2}{x}\,dx} = e^{2\log x} = x^2\).

Explanation. \(\dfrac{dy}{dx} + Py = Q\) என்னும் முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாட்டை தொகையீட்டுக் காரணி \(e^{\int P\,dx}\) கொண்டு பெருக்கி தொகையிட்டால் பொதுத் தீர்வு \(y\,e^{\int P\,dx} = \int Q\,e^{\int P\,dx}\,dx + c\) ஆகும்.

Explanation. \(x\,\dfrac{dy}{dx} = y\) என்பது முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு. பொதுவாக ஒரு \(n\)-ஆம் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வில் \(n\) தன்னிச்சை மாறிலிகள் இருக்கும். இங்கு \(n = 1\), எனவே மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை \(=1\).

Explanation. \(\sin\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\) என்னும் உறுப்பு இருப்பதால் சமன்பாட்டை வகைக்கெழுக்களில் பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்ற இயலாது. படி வரையறுக்கப்பட வேண்டுமானால் சமன்பாடு வகைக்கெழுக்களில் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்க வேண்டும். எனவே இங்கு படி வரையறுக்க முடியாது.

Explanation. \(y = px + q\)-ஐ வகையிட \(\dfrac{dy}{dx} = p\) (மாறிலி). மீண்டும் வகையிட \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 0\). எனவே நேர்க்கோடுகளின் குடும்பத்தைக் குறிக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 0\).

Explanation. மாறிகளைப் பிரிக்க \(\dfrac{dy}{y} = 2x\,dx\). தொகையிட \(\log|y| = x^2 + \log c\), எனவே \(y = c\,e^{x^2}\).

Explanation. \(x^2\,\dfrac{dy}{dx} = -2y \Rightarrow \dfrac{dy}{y} = -\dfrac{2}{x^2}\,dx\). தொகையிட \(\log|y| = \dfrac{2}{x} + c\), அதாவது \(y = e^{\frac{2}{x} + c}\). \(y(1) = 1\) எனப் பதிலிட \(1 = e^{2 + c} \Rightarrow c = -2\). எனவே \(y = e^{\frac{2}{x} - 2}\).

Explanation. \(M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0\) என்பது சமபடித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு என்பது, \(M\) மற்றும் \(N\) என்பன ஒரே படி கொண்ட சமபடித்தான சார்புகள் (homogeneous functions of the same degree) எனில். அப்போது \(y = vx\) என்னும் பதிலீட்டால் மாறிகளைப் பிரிக்கலாம்.

Explanation. \(\dfrac{dy}{dx} + Py = Q\) வடிவ முதல் வரிசை நேரியல் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி \(= e^{\int P\,dx}\). இதைக் கொண்டு பெருக்கினால் இடப்பக்கம் \(\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{\int P\,dx}\right)\) ஆக மாறும்.

Explanation. இங்கு சார்ந்த மாறி \(x\), சாராமாறி \(y\). \(\dfrac{dx}{dy} + Px = Q\) வடிவ சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி \(= e^{\int P\,dy}\) (\(y\)-ஐப் பொருத்து தொகையிடப்படுகிறது). தீர்வு \(x\,e^{\int P\,dy} = \int Q\,e^{\int P\,dy}\,dy + c\).

Explanation. இரு பக்கங்களையும் \(x\) ஆல் வகுக்க \(\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{2}{x}\,y = x\). இதை நிலையான வடிவம் \(\dfrac{dy}{dx} + Py = Q\) உடன் ஒப்பிட \(P = \dfrac{2}{x}\), \(Q = x\). எனவே \(P = \dfrac{2}{x}\).

Explanation. \(y = c_1\cos nx + c_2\sin nx\)-ஐ வகையிட \(y' = -c_1 n\sin nx + c_2 n\cos nx\), மீண்டும் வகையிட \(y'' = -c_1 n^2\cos nx - c_2 n^2\sin nx = -n^2 y\). எனவே \(\dfrac{d^2y}{dx^2} + n^2 y = 0\).

Explanation. \(\dfrac{dy}{dx} = k\) என்பது முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு (வரிசை \(=1\)). தொகையிட \(y = kx + c\) — ஒரே தன்னிச்சை மாறிலி \(c\) (எண்ணிக்கை \(=1\)). எனவே மாறிலிகள் \(=1\), வரிசை \(=1\).

Explanation. தொகையிட \(y = \int \dfrac{dx}{x^2 + 1} = \tan^{-1} x + c\). \(y(0) = 0\) எனப் பதிலிட \(0 = \tan^{-1} 0 + c = c\), எனவே \(c = 0\). எனவே \(y = \tan^{-1} x\).

Explanation. வளர்ச்சி வீதம் \(\dfrac{dP}{dt}\) தற்போதைய அளவு \(P\)-க்கு நேர் விகிதத்தில் இருந்தால் \(\dfrac{dP}{dt} \propto P\), அதாவது \(\dfrac{dP}{dt} = kP\) (\(k > 0\)). (வளர்ச்சிக்கு \(k > 0\); குறைதலுக்கு \(k < 0\).)

Explanation. கதிரியக்கச் சிதைவில் அளவு குறைந்து கொண்டே செல்வதால் \(\dfrac{dP}{dt}\) எதிர்க்குறி கொண்டிருக்கும்: \(\dfrac{dP}{dt} = -kP\) (\(k > 0\)). எதிர்க்குறி சிதைவைக் (குறைதலைக்) குறிக்கிறது.

Explanation. \(y^2 = 4ax\)-ல் ஒரே தன்னிச்சை மாறிலி \(a\) உள்ளது. வகையிட \(2y\,\dfrac{dy}{dx} = 4a\), எனவே \(a = \dfrac{y}{2}\dfrac{dy}{dx}\). இதைப் பதிலிட \(y^2 = 4\left(\dfrac{y}{2}\dfrac{dy}{dx}\right)x = 2xy\,\dfrac{dy}{dx}\). இது முதல் வரிசை சமன்பாடு, எனவே வரிசை \(=1\).

Explanation. சாய்வு \(\dfrac{dy}{dx} = 3x^2\). தொகையிட \(y = x^3 + c\). வளைவரை \((-1, 1)\) வழியாகச் செல்வதால் \(1 = (-1)^3 + c = -1 + c \Rightarrow c = 2\). எனவே \(y = x^3 + 2\).