வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்
அலகு 6 இல், ஏற்கனவே தெரிந்த புள்ளிப் பெருக்கல், குறுக்குப் பெருக்கல் ஆகியவற்றைக் கொண்டு வடிவியல், முக்கோணவியல், இயக்கவியல் கணக்குகளைத் தீர்க்கிறோம். திசையிலி முப்பெருக்கம், வெக்டர் முப்பெருக்கம் இரண்டையும் படிக்கிறோம். நேர்கோடுகள், தளங்கள் ஆகியவற்றின் வெக்டர் சமன்பாடுகளையும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளையும் எழுதுகிறோம். முப்பரிமாண வெளியில் கோணங்கள், தொலைவுகள், கன அளவுகள் காணும் சூத்திரங்களும் இந்த அலகில் உள்ளன.
இந்தப் பாடத்தைப் படியுங்கள்
முந்தைய பொதுத் தேர்வுகளில் கேட்கப்பட்டவை
இந்தப் பாடத்திலிருந்து 14 வினாக்கள் 7 முந்தைய பொதுத் தேர்வுகளில் கேட்கப்பட்டன. விடையையும் விளக்கத்தையும் காண எந்த வினாவையும் திறக்கவும்.
-
மார்ச் 2026
\(\vec{\beta}\) மற்றும் \(\vec{\gamma}\) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் \(\vec{\alpha}\) அமைந்துள்ளது எனில்,விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2026
\(\vec{r}\cdot(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})=38\) என்ற தளத்தைப் பொறுத்து A(1, 2, 3) என்ற புள்ளியின் பிம்பப்புள்ளி, A'(3, 6, 11) எனில், A என்ற புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2025
\(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}, z=2\) மற்றும் \(\frac{x-1}{1}=\frac{2y+3}{3}=\frac{z+5}{2}\) என்ற கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2025
\(\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}, \hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}\) என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கனஅளவு :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2024
\(\vec{\beta}\) மற்றும் \(\vec{\gamma}\) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் \(\vec{\alpha}\) அமைந்துள்ளது எனில்,விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2024
\(\vec{r}=(\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k})+t(2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k})\) என்ற கோட்டிற்கும் \(\vec{r}\cdot(\vec{i}+\vec{j})+4=0\) என்ற தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2023
ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து \(3x-6y+2z+7=0\) என்ற தளத்திற்கு உள்ள தொலைவு :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மார்ச் 2023
\(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்பன இணை வெக்டர்கள் எனில் \([\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]\) -ன் மதிப்பு :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மே 2022
\(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k},\ 3\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k},\ \hat{i}+m\hat{j}+4\hat{k}\) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்கள் எனில், m -ன் மதிப்பு :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
மே 2022
\(\frac{x-4}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-2}\) மற்றும் \(\frac{x-1}{4}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z-2}{2}\) என்ற இரு நேர்க் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
துணைத் தேர்வு 2021
\(\hat{i}+\hat{j},\ \hat{i}+2\hat{j},\ \hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}\) என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
-
துணைத் தேர்வு 2021
\(\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \lambda\hat{j} + \hat{k}) = 3\) மற்றும் \(\vec{r} \cdot (4\hat{i} + \hat{j} - \mu\hat{k}) = 5\) ஆகிய தளங்கள் இணை எனில், \(\lambda\) மற்றும் \(\mu\) -ன் மதிப்புகள் முறையே :விடையுடன் வினாத்தாளில் பார் →
வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் பற்றி
கடினம் ~180 நிமிடப் படிப்பு
ஒரு வெக்டர் இரண்டு தகவல்களைக் கொண்டுள்ளது: எண்ணளவு, திசை. வெளியில் ஒரு கோட்டையோ தளத்தையோ விவரிக்க இவைதான் தேவை. 11ஆம் வகுப்பில் புள்ளிப் பெருக்கல், குறுக்குப் பெருக்கல் ஆகியவற்றைக் கற்றீர்கள். இந்த அலகு அந்த இரண்டு பெருக்கல்களையும் வேலைக்குப் பயன்படுத்துகிறது.
பாடம் முப்பெருக்கங்களுடன் தொடங்குகிறது. திசையிலி முப்பெருக்கம் (Scalar triple product) இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவைத் தருகிறது. மூன்று வெக்டர்கள் ஒரே தளத்தில் உள்ளனவா என்பதையும் சொல்கிறது. வெக்டர் முப்பெருக்கத்திற்குத் தனி விரிவுச் சூத்திரம் உண்டு; அதைச் சரியாக நினைவில் வைக்க வேண்டும். பிறகு இதே கருத்துகளைக் கொண்டு, ஒரு புள்ளி வழியே கொடுக்கப்பட்ட திசையில் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டையும், கொடுக்கப்பட்ட செங்குத்து வெக்டர் கொண்ட தளத்தின் சமன்பாட்டையும் எழுதுகிறோம். இந்தச் சமன்பாடுகள் கிடைத்தவுடன், இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம், இரண்டு ஒருதளம் அமையாக் கோடுகளுக்கு இடையிலான தொலைவு, செங்குத்தின் அடி ஆகியவற்றைக் காண்பது ஒரு சூத்திரத்தைக் கவனமாகப் பயன்படுத்தும் வேலையாகிவிடுகிறது.
திருப்புதல் செய்யும்போது, ஒரு வடிவிலிருந்து இன்னொரு வடிவிற்கு மாற்றிப் பயிற்சி செய்யுங்கள். வினா ஒரு கோட்டைக் கார்டீசியன் வடிவில் தந்து விடையை வெக்டர் வடிவில் கேட்கலாம். அல்லது ஒரு தளத்தைச் செங்குத்து வடிவில் தந்து அதன் வெட்டுத்துண்டுகளைக் கேட்கலாம். கொசைன், சைன் சூத்திரங்களின் வெக்டர் நிரூபணங்கள், செய்த வேலை மற்றும் திருப்புத்திறன் கணக்குகளும் இந்த அலகிலிருந்து வருகின்றன.
நீங்கள் கற்பவை
- திசையிலி முப்பெருக்கம் மூலம் கன அளவுகளைக் காணுதல், வெக்டர்கள் ஒரே தளத்தில் உள்ளனவா எனச் சோதித்தல்.
- கொசைன், சைன் சூத்திரங்களையும் பிற முக்கோணவியல் முடிவுகளையும் வெக்டர்கள் மூலம் நிரூபித்தல்.
- விசை செய்த வேலையையும் ஒரு புள்ளியைப் பொறுத்து விசையின் திருப்புத்திறனையும் காணுதல்.
- கோட்டின் சமன்பாட்டைத் துணையலகு, துணையலகு அல்லாத, கார்டீசியன் வடிவங்களில் எழுதி, ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு மாற்றுதல்.
- தளத்தின் சமன்பாட்டைச் செங்குத்து, வெட்டுத்துண்டு, புள்ளி-செங்குத்து வடிவங்களில் எழுதுதல்.
- வெளியில் கோடுகள், தளங்களுக்கு இடையிலான கோணங்களையும் தொலைவுகளையும் கணக்கிடுதல்.
தொடங்குவதற்கு முன்
- வெக்டர்களின் கூட்டல், வெக்டரைத் திசையிலியால் பெருக்குதல்.
- புள்ளிப் பெருக்கல், குறுக்குப் பெருக்கல், அவற்றின் அடிப்படைப் பண்புகள்.
- இருபரிமாண ஆயத்தொலை வடிவியல், அடிப்படை முக்கோணவியல்.
இந்த அத்தியாயத்தில் உள்ள தலைப்புகள்
வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் — விரிவான விளக்கம்
இந்த அலகில் என்ன உள்ளது
முப்பெருக்கங்களும் அவை அளப்பவையும்
திசையிலி முப்பெருக்கம் $[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ ஒரு எண். அதன் தனி மதிப்பு, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ ஐ ஒருமுனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவு. பெருக்கம் பூச்சியம் எனில் கன அளவு பூச்சியம்; எனவே மூன்று வெக்டர்களும் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன. நடைமுறையில் இதைக் கூறுகளின் 3 x 3 அணிக்கோவையாகக் கணக்கிடுகிறோம்.
வெக்டர் முப்பெருக்கம் $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ ஒரு வெக்டர். அது $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ என விரிகிறது. விடை $\vec{b}$, $\vec{c}$ அமைந்த தளத்தில் இருக்கும். குறுக்குப் பெருக்கல் சேர்ப்பு விதியை நிறைவு செய்யாது. எனவே $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ பொதுவாக வேறொரு வெக்டர். மாணவர்கள் அடிக்கடி இரண்டு அமைப்புகளுக்கும் ஒரே விரிவைப் பயன்படுத்தித் தவறான விடை பெறுகிறார்கள். லெக்ராஞ்சியின் முற்றொருமை, ஜகோபியின் முற்றொருமை ஆகியவற்றையும் பாடநூல் பயன்படுத்துகிறது; இரண்டும் இந்த விரிவிலிருந்தே வருகின்றன.
முக்கோணவியலும் இயக்கவியலும்
முக்கோணத்தின் பக்கங்களை வெக்டர்களாக எடுத்து, புள்ளிப் பெருக்கல் மூலம் வர்க்கப்படுத்துங்கள்: இரண்டு வரிகளில் கொசைன் சூத்திரம் கிடைக்கும். இரண்டு பக்கங்களின் குறுக்குப் பெருக்கலின் எண்ணளவு முக்கோணத்தின் பரப்பின் இரு மடங்கு. இதைப் பயன்படுத்தினால் சைன் சூத்திரம் கிடைக்கும். $\cos(\alpha - \beta)$ போன்ற கூட்டுக் கோணச் சூத்திரங்களும் இதே முறையில், x அச்சுடன் $\alpha$, $\beta$ கோணங்களில் உள்ள அலகு வெக்டர்களைக் கொண்டு நிரூபிக்கப்படுகின்றன.
இயக்கவியலில், ஒரு துகளை $\vec{d}$ இடப்பெயர்ச்சி நகர்த்தும் விசை $\vec{F}$ செய்த வேலை $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$; இது ஒரு திசையிலி. ஒரு புள்ளியைப் பொறுத்து விசையின் திருப்புத்திறன் (Torque) $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$. இங்கு $\vec{r}$ என்பது அந்தப் புள்ளியைப் பொறுத்து, விசை செயல்படும் புள்ளியின் நிலை வெக்டர். திருப்புத்திறன் ஒரு வெக்டர்; $\vec{r} \times \vec{F}$ என்ற வரிசை முக்கியம்.
வெளியில் நேர்கோடுகள்
ஒரு கோடு அதன் மேல் உள்ள ஒரு புள்ளியாலும் ஒரு திசையாலும் நிர்ணயிக்கப்படுகிறது. $\vec{a}$ அந்தப் புள்ளியின் நிலை வெக்டர், $\vec{b}$ கோட்டுக்கு இணையான வெக்டர் எனில், துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு $\vec{r} = \vec{a} + t\vec{b}$. $\vec{b}$ ஐக் கூறுகளாக எழுதினால் கார்டீசியன் வடிவம் கிடைக்கும்; அதில் பகுதிகள் திசை விகிதங்கள். துணையலகை நீக்கினால் துணையலகு அல்லாத வடிவம் $(\vec{r} - \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{0}$ கிடைக்கும். இரண்டு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் கோட்டையும் இதே முறையில் கையாளலாம்; அங்கு $\vec{b}$ என்பது அவற்றின் நிலை வெக்டர்களின் வித்தியாசம்.
இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் அவற்றின் திசை வெக்டர்களுக்கு இடையிலான கோணம். இணையாகவும் இல்லாமல் சந்திக்கவும் செய்யாத இரண்டு கோடுகள் ஒருதளம் அமையாக் கோடுகள் (Skew lines) எனப்படும். அவற்றுக்கு இடையிலான மிகக்குறைந்த தொலைவு பொதுச் செங்குத்தின் நீளம்; இது திசையிலி முப்பெருக்கம் மூலம் காணப்படுகிறது. அந்தத் தொலைவு பூச்சியம் எனில் கோடுகள் வெட்டிக்கொள்கின்றன.
தளங்கள்
ஒரு தளம் ஒரு செங்குத்து வெக்டராலும், தளத்தின் மேல் உள்ள ஒரு புள்ளி அல்லது ஆதியிலிருந்து அதன் தொலைவாலும் நிர்ணயிக்கப்படுகிறது. செங்குத்து வடிவம் $\vec{r} \cdot \hat{d} = p$; இங்கு $\hat{d}$ அலகுச் செங்குத்து வெக்டர், $p$ ஆதியிலிருந்து செங்குத்துத் தொலைவு. வெட்டுத்துண்டு வடிவம் $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, தளம் அச்சுகளை $a$, $b$, $c$ இல் வெட்டுகிறது என்பதை நேரடியாகக் காட்டுகிறது. மூன்று புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் தளம், இரண்டு கோடுகளைக் கொண்ட தளம், இரண்டு கோடுகள் ஒரே தளத்தில் அமைவதற்கான நிபந்தனை ஆகியவற்றையும் பாடம் காண்கிறது.
கடைசிப் பகுதி இந்தச் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துகிறது: இரண்டு தளங்களுக்கு இடையிலான கோணம், ஒரு கோட்டுக்கும் தளத்திற்கும் இடையிலான கோணம், ஒரு கோடு தளத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி, ஒரு புள்ளியிலிருந்து தளத்தின் தொலைவு, இரண்டு இணைத் தளங்களுக்கு இடையிலான தொலைவு, செங்குத்தின் அடி, தளத்தில் ஒரு புள்ளியின் பிம்பம்.
தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்
- இரண்டு முப்பெருக்கங்களையும் குழப்புவது. திசையிலி முப்பெருக்கம் ஒரு எண்ணைத் தரும்; வெக்டர் முப்பெருக்கம் ஒரு வெக்டரைத் தரும்.
- திட்ட வடிவில் இல்லாத கார்டீசியன் சமன்பாட்டிலிருந்து திசை விகிதங்களை நேரடியாகப் படிப்பது; எடுத்துக்காட்டாக, தொகுதியில் x க்கு 2x போன்ற கெழு இருக்கும்போது.
- r · n = q இல் உள்ள மாறிலி q ஐ, முதலில் n இன் எண்ணளவால் வகுக்காமல், ஆதியிலிருந்து உள்ள தொலைவாக எடுப்பது.
- கோட்டுக்கும் தளத்திற்கும் இடையிலான கோணத்திற்குக் கொசைனைப் பயன்படுத்துவது. கோட்டுக்கும் செங்குத்துக்கும் இடையிலான கோணம் அதன் நிரப்புக் கோணம்; எனவே சூத்திரம் சைனைப் பயன்படுத்துகிறது.
- இணைக் கோடுகளுக்கு ஒருதளம் அமையாக் கோடுகளின் தொலைவுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது. அங்கு திசை வெக்டர்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் பூச்சியம்; வேறு சூத்திரம் தேவை.
இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.
அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்
திசையிலி முப்பெருக்கம் எதற்குப் பயன்படுகிறது?
மூன்று வெக்டர்களை அடுத்தடுத்த விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவை அதன் தனி மதிப்பு தருகிறது. பெருக்கம் பூச்சியம் எனில் மூன்று வெக்டர்களும் ஒரே தளத்தில் உள்ளன. நான்கு புள்ளிகள் ஒரே தளத்தில் உள்ளனவா என்பதையும் இதே சோதனை சொல்கிறது.
ஒருதளம் அமையாக் கோடுகள் இணைக் கோடுகளிலிருந்து எப்படி வேறுபடுகின்றன?
இரண்டும் ஒருபோதும் சந்திப்பதில்லை. இணைக் கோடுகள் ஒரே திசை கொண்டவை; ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன. ஒருதளம் அமையாக் கோடுகள் வெவ்வேறு திசைகள் கொண்டவை; எந்தப் பொதுத் தளத்திலும் அமைவதில்லை. இது முப்பரிமாணத்தில் மட்டுமே நிகழும்.
கோட்டுக்கும் தளத்திற்கும் இடையிலான கோணத்தை எப்படிக் காண்பது?
கோட்டின் திசை வெக்டருக்கும் தளத்தின் செங்குத்து வெக்டருக்கும் இடையிலான கோணத்தைக் காணுங்கள். தேவையான கோணம் அதன் நிரப்புக் கோணம். எனவே sin θ என்பது இரண்டு வெக்டர்களின் புள்ளிப் பெருக்கலின் தனி மதிப்பை அவற்றின் எண்ணளவுகளின் பெருக்கற்பலனால் வகுத்தால் கிடைப்பது.
தளத்தின் வெட்டுத்துண்டு வடிவம் எதைச் சொல்கிறது?
x/a + y/b + z/c = 1 இல், தளம் x, y, z அச்சுகளை a, b, c இல் சந்திக்கிறது. இதைப் பயன்படுத்த, முதலில் வலப்பக்கம் 1 ஆகுமாறு சமன்பாட்டை மாற்றி எழுதுங்கள்.
ஒரு கோட்டுக்கு ஏன் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சமன்பாட்டு வடிவங்கள் உள்ளன?
ஒவ்வொரு வடிவமும் ஒவ்வொரு வேலைக்கு ஏற்றது. துணையலகு வடிவில் t க்கு ஒரு மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுத்தால் கோட்டின் எந்தப் புள்ளியும் கிடைக்கும்; வெட்டும் புள்ளிகள், செங்குத்தின் அடிகள் காண இது உதவுகிறது. கார்டீசியன் வடிவம் திசை விகிதங்களை ஒரே பார்வையில் காட்டுகிறது.
இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையிலான மிகக்குறைந்த தொலைவு எதைச் சொல்கிறது?
மிகக்குறைந்த தொலைவு பூச்சியம் எனில் கோடுகள் வெட்டிக்கொள்கின்றன. அது பூச்சியம் இல்லாமல் கோடுகள் இணையாகவும் இல்லையெனில், அவை ஒருதளம் அமையாக் கோடுகள். அந்த மதிப்பு அவை எவ்வளவு நெருங்கி வருகின்றன என்பதைச் சொல்கிறது.
கடைசியாகப் புதுப்பிக்கப்பட்டது 17 செப்டெம்பர் 2026