வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் — படிப்புக் குறிப்புகள்

வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் — படிப்புக் குறிப்புகள்

1. திசையிலி முப்பெருக்கல் (Scalar Triple Product)

மூன்று வெக்டர்கள் \(\vec a,\vec b,\vec c\) -ன் திசையிலி முப்பெருக்கல் என்பது \([\vec a,\vec b,\vec c\,]=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவு ஒரு எண் (திசையிலி) ஆகும்.

• வடிவியல் பொருள்: \(\big|[\vec a,\vec b,\vec c\,]\big|\) என்பது \(\vec a,\vec b,\vec c\) ஆகியவற்றை அடுத்தடுத்த விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் (பாரலலபைப்பெட்) கன அளவைக் குறிக்கும்.
• அணிக்கோவை வடிவம்: \(\vec a=(a_1,a_2,a_3)\) போன்றவற்றுக்கு \([\vec a,\vec b,\vec c\,]=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}\).
• சுழற்சிப் பண்பு: \([\vec a,\vec b,\vec c\,]=[\vec b,\vec c,\vec a]=[\vec c,\vec a,\vec b]\). எந்த இரண்டை இடம் மாற்றினாலும் குறி மாறும்: \([\vec a,\vec b,\vec c\,]=-[\vec b,\vec a,\vec c]\).
• ஒரு தள நிபந்தனை: \([\vec a,\vec b,\vec c\,]=0\) எனில் (மற்றும் எனில் மட்டுமே) மூன்று வெக்டர்களும் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன (கோபிளனார்). இரண்டு வெக்டர்கள் இணையாக இருந்தாலோ, ஏதேனும் ஒன்று பூச்சியமாக இருந்தாலோ முப்பெருக்கல் பூச்சியம்.

2. வெக்டர் முப்பெருக்கல் (Vector Triple Product)

\(\vec a\times(\vec b\times\vec c)\) என்பது ஒரு வெக்டர். இதன் விரிவாக்க சூத்திரம் (இதை "BAC–CAB விதி" எனவும் அழைப்பர்):

\[\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\,\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\,\vec c\]

இது \(\vec b\) மற்றும் \(\vec c\) அமைக்கும் தளத்தில் அமையும். அதேபோல்

\[(\vec a\times\vec b)\times\vec c=(\vec a\cdot\vec c)\,\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\,\vec a\]

எச்சரிக்கை: பொதுவாக \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)\neq(\vec a\times\vec b)\times\vec c\) — வெக்டர் முப்பெருக்கல் சேர்ப்புப் பண்பை (அசோசியேட்டிவ்) பின்பற்றாது. அடைப்புக்குறியின் இடம் முக்கியம்.

3. பயனுள்ள முற்றொருமைகள்

• லாக்ராஞ்சி முற்றொருமை: \((\vec a\times\vec b)\cdot(\vec c\times\vec d)=(\vec a\cdot\vec c)(\vec b\cdot\vec d)-(\vec a\cdot\vec d)(\vec b\cdot\vec c)\).
• \([\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\,]=[\vec a,\vec b,\vec c\,]^2\) — தேர்வுகளில் அடிக்கடி கேட்கப்படும்.

4. வெளியில் கோடு (Line in Space)

• வெக்டர் வடிவம்: \(\vec r=\vec a+t\,\vec b\), இங்கு \(\vec a\) கோட்டின் மீது ஒரு புள்ளி, \(\vec b\) திசை வெக்டர், \(t\in\mathbb{R}\).
• கார்ட்டீசியன் (இயல்) வடிவம்: \(\dfrac{x-x_1}{b_1}=\dfrac{y-y_1}{b_2}=\dfrac{z-z_1}{b_3}\). வகுத்திகள் திசை விகிதங்கள்.
• இரு கோடுகளுக்கிடைப்பட்ட கோணம்: \(\cos\theta=\dfrac{|\vec b_1\cdot\vec b_2|}{|\vec b_1||\vec b_2|}\). \(\vec b_1\cdot\vec b_2=0\) எனில் கோடுகள் செங்குத்து; \(\vec b_1\parallel\vec b_2\) எனில் இணை.

5. வெளியில் தளம் (Plane in Space)

• செங்குத்து வடிவம்: \(\vec r\cdot\vec n=p\) அல்லது \(ax+by+cz=d\), இங்கு \(\vec n=(a,b,c)\) தளத்தின் செங்குத்து.
• புள்ளி–தளத் தொலைவு: \(\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
• இரு தளங்களுக்கிடைப்பட்ட கோணம்: \(\cos\theta=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}\). செங்குத்துகள் விகிதசமம் எனில் தளங்கள் இணை.
• கோடு–தள கோணம்: \(\sin\theta=\dfrac{|\vec b\cdot\vec n|}{|\vec b||\vec n|}\) (சைன் பயன்படுத்துவதைக் கவனிக்க, கொசைன் அல்ல).
• இணைத் தளங்களுக்கிடைப்பட்ட தொலைவு: \(ax+by+cz=d_1\) மற்றும் \(ax+by+cz=d_2\) -க்கு \(\dfrac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) (செங்குத்துகள் ஒன்றுபோல் இருக்க வேண்டும்).

6. திசைக்கொசைன்கள் (Direction Cosines)

ஒரு கோட்டின் திசைக்கொசைன்கள் \(l,m,n\) எப்போதும் \(l^2+m^2+n^2=1\) என்ற நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும். திசை விகிதங்கள் \((a,b,c)\) எனில் \(l=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) போன்றவை.

7. பொதுவான தேர்வுப் பொறிகள்

• கோடு–தள கோணத்திற்கு கொசைனுக்குப் பதிலாக சைன் பயன்படுத்த வேண்டும் — இது அடிக்கடி தவறாகச் செய்யப்படும்.
• வெக்டர் முப்பெருக்கலில் அடைப்புக்குறியின் இடத்தை மாற்றினால் விடை மாறும்.
• இரு தளங்களுக்கிடைப்பட்ட தொலைவு கணக்கிடுவதற்கு முன் இரண்டிலும் \(a,b,c\) கெழுக்கள் ஒரே மாதிரி இருக்குமாறு ஒரு சமன்பாட்டை அளவிட வேண்டும்.
• \([\vec a,\vec b,\vec c\,]=0\) என்பது ஒரு தள நிபந்தனை — செங்குத்து நிபந்தனை அல்ல.