12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் — வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்: Online Practice Test

Explanation. ஒரு திசையிலி முப்பெருக்கல் \([\vec a,\ \vec c,\ \vec b\,]\) என்பது \(\vec a\cdot(\vec c\times\vec b)\). \(\vec a\) மற்றும் \(\vec b\) இணையாக இருப்பதால் இம்மூன்று வெக்டர்களும் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன (ஒரு தள வெக்டர்கள்). ஒரு தள வெக்டர்களின் திசையிலி முப்பெருக்கல் எப்போதும் \(0\) ஆகும். எனவே சரியான விடை \(0\).

Explanation. \(\vec\alpha\) என்பது \(\vec\beta,\vec\gamma\) அமைக்கும் தளத்தில் இருந்தால், மூன்று வெக்டர்களும் ஒரே தளத்தில் (ஒரு தள வெக்டர்கள்) இருக்கின்றன. ஒரு தள வெக்டர்களுக்கான தேவையான நிபந்தனை அவற்றின் திசையிலி முப்பெருக்கல் \([\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=0\) என்பதே. எனவே சரியான விடை \([\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma]=0\).

Explanation. கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகள் \(\vec a,\vec b,\vec c\) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து (மியூச்சுவல்லி ஆர்த்தோகனல்) என்பதைக் காட்டுகின்றன. செங்குத்து வெக்டர்களுக்கு \(|[\vec a,\vec b,\vec c\,]| = |\vec a|\,|\vec b|\,|\vec c|\) ஆகும்; இது அவை அமைக்கும் செவ்வகத் திண்மத்தின் கன அளவைக் குறிக்கும். எனவே சரியான விடை \(|\vec a|\,|\vec b|\,|\vec c|\).

Explanation. வெக்டர் முப்பெருக்கல் விரிவு: \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec c\). \(\vec a\perp\vec b\) ஆகையால் \(\vec a\cdot\vec b=0\). \(\vec a\) மற்றும் \(\vec c\) இணை ஒரலகு வெக்டர்கள் ஆகையால் \(\vec a\cdot\vec c=1\). எனவே \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(1)\vec b-(0)\vec c=\vec b\). சரியான விடை \(\vec b\).

Explanation. திசையிலி முப்பெருக்கலின் சுழற்சிப் பண்பால், \(\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=\vec b\cdot(\vec c\times\vec a)=\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)=(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=[\vec a,\vec b,\vec c\,]=1\). முதல் இரு உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் \(\dfrac{1}{1}=1\). மூன்றாம் உறுப்பின் பகுதி \((\vec c\times\vec b)\cdot\vec a=[\vec c,\vec b,\vec a]=-[\vec a,\vec b,\vec c\,]=-1\); எனவே அந்த உறுப்பு \(\dfrac{1}{-1}=-1\). கூட்டுத்தொகை \(1+1-1=1\). சரியான விடை \(1\).

Explanation. கன அளவு \(=\big|[\,\hat i+\hat j,\ \hat i+2\hat j,\ \hat i+\hat j+\pi\hat k\,]\big|\). இதை அணிக்கோவையாக எழுத: \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & \pi\end{vmatrix}\). மூன்றாம் நிரலின் வழியே விரித்தால் \(=\pi\,(1\cdot 2-1\cdot 1)=\pi(2-1)=\pi\). எனவே கன அளவு \(\pi\). சரியான விடை \(\pi\).

Explanation. \([\vec a,\vec b,\vec a\times\vec b\,]=(\vec a\times\vec b)\cdot(\vec a\times\vec b)=|\vec a\times\vec b|^2\). ஒரலகு வெக்டர்களுக்கு \(|\vec a\times\vec b|=\sin\theta\), எனவே \(\sin^2\theta=\dfrac14\), அதாவது \(\sin\theta=\dfrac12\) (கோணம் கூர்ங்கோணம்). எனவே \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\). சரியான விடை \(\dfrac{\pi}{6}\).

Explanation. முதலில் \(\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}\hat i & \hat j & \hat k\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{vmatrix}=-\hat i+\hat j\). பின் \((\vec a\times\vec b)\times\vec c=(-\hat i+\hat j)\times\hat i=-\hat k\) (ஏனெனில் \(\hat j\times\hat i=-\hat k,\ \hat i\times\hat i=\vec 0\)). \(\lambda\vec a+\mu\vec b=(\lambda+\mu)\hat i+(\lambda+\mu)\hat j+\lambda\hat k\). \(\hat k\) கெழுவைப் பொருத்த: \(\lambda=-1\); \(\hat i\) கெழு: \(\lambda+\mu=0\Rightarrow\mu=1\). எனவே \(\lambda+\mu=0\). சரியான விடை \(0\).

Explanation. நன்கறியப்பட்ட முற்றொருமை \([\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\,]=[\vec a,\vec b,\vec c\,]^2\). \([\vec a,\vec b,\vec c\,]=3\) ஆகையால் \([\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\,]=3^2=9\). கோரப்பட்ட மதிப்பு \(9^2=81\). சரியான விடை \(81\).

Explanation. விரிவாக்கம்: \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec c\). இது \(\dfrac{1}{\sqrt2}\vec b+\dfrac{1}{\sqrt2}\vec c\) -க்குச் சமம். ஒரு தளம் அமையா \(\vec b,\vec c\) கெழுக்களை ஒப்பிட்டால் \(\vec a\cdot\vec c=\dfrac{1}{\sqrt2}\) மற்றும் \(-(\vec a\cdot\vec b)=\dfrac{1}{\sqrt2}\Rightarrow \vec a\cdot\vec b=-\dfrac{1}{\sqrt2}\). ஒரலகு வெக்டர்களுக்கு \(\cos\theta=\vec a\cdot\vec b=-\dfrac{1}{\sqrt2}\), எனவே \(\theta=\dfrac{3\pi}{4}\). சரியான விடை \(\dfrac{3\pi}{4}\).

Explanation. \([\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\,]=[\vec a,\vec b,\vec c\,]^2=8\). புதிய வெக்டர்களின் முப்பெருக்கல் \([(\vec a\times\vec b)\times(\vec b\times\vec c),\ \dots\,]=\big([\vec a\times\vec b,\ \vec b\times\vec c,\ \vec c\times\vec a\,]\big)^2=8^2=64\). எனவே கன அளவு \(64\) கன அலகுகள். சரியான விடை \(64\) கன அலகுகள்.

Explanation. \(\vec a\times\vec b\) என்பது \(P_1\) -ன் செங்குத்து; \(\vec c\times\vec d\) என்பது \(P_2\) -ன் செங்குத்து. \((\vec a\times\vec b)\times(\vec c\times\vec d)=\vec 0\) என்பது இவ்விரு செங்குத்துகள் இணை (கேராலல்) என்பதைக் காட்டுகிறது. செங்குத்துகள் இணையாக இருந்தால் தளங்கள் இணை; எனவே அவற்றுக்கிடைப்பட்ட கோணம் \(0^\circ\). சரியான விடை \(0^\circ\).

Explanation. இடப்பக்கம் \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec c\); வலப்பக்கம் \((\vec a\times\vec b)\times\vec c=-\vec c\times(\vec a\times\vec b)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\vec a\). இவ்விரண்டையும் சமப்படுத்த: \(-(\vec a\cdot\vec b)\vec c=-(\vec b\cdot\vec c)\vec a\). \(\vec a\cdot\vec b\neq0,\ \vec b\cdot\vec c\neq0\) ஆகையால் \(\vec a\) மற்றும் \(\vec c\) ஒன்றுக்கொன்று மடங்காக இருக்கின்றன, அதாவது இணையானவை. சரியான விடை இணையானவை.

Explanation. \(\vec a\) -க்குச் செங்குத்தாகவும் \(\vec b,\vec c\) தளத்தில் அமைவதுமான வெக்டர் \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)\) ஆகும். முதலில் \(\vec b\times\vec c=\begin{vmatrix}\hat i & \hat j & \hat k\\ 1 & 2 & -5\\ 3 & 5 & -1\end{vmatrix}=23\hat i-14\hat j-\hat k\). பின் \(\vec a\times(\vec b\times\vec c)=\begin{vmatrix}\hat i & \hat j & \hat k\\ 2 & 3 & -1\\ 23 & -14 & -1\end{vmatrix}=-17\hat i+21\hat j-97\hat k\). சரியான விடை \(-17\hat i+21\hat j-97\hat k\).

Explanation. முதல் கோட்டின் திசை விகிதங்கள் \(\vec b_1=(3,-2,0)\). இரண்டாம் கோட்டை இயல்வடிவில் எழுத: \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+\tfrac32}{3/2}=\dfrac{z+5}{2}\), திசை விகிதங்கள் \(\vec b_2=(1,\tfrac32,2)\) அல்லது \((2,3,4)\). புள்ளிப்பெருக்கம் \(\vec b_1\cdot\vec b_2=3(2)+(-2)(3)+0(4)=6-6+0=0\). புள்ளிப்பெருக்கம் பூச்சியம் ஆகையால் கோடுகள் செங்குத்து; கோணம் \(\dfrac{\pi}{2}\). சரியான விடை \(\dfrac{\pi}{2}\).

Explanation. கோடு தளத்தில் அமைய இரு நிபந்தனைகள்: (i) கோட்டின் திசை \((3,-5,2)\) தளத்தின் செங்குத்து \((1,3,-\alpha)\) -க்குச் செங்குத்து: \(3(1)+(-5)(3)+2(-\alpha)=0\Rightarrow 3-15-2\alpha=0\Rightarrow\alpha=-6\). (ii) கோட்டின் புள்ளி \((2,1,-2)\) தளத்தைச் சந்திக்கும்: \(2+3(1)-\alpha(-2)+\beta=0\Rightarrow 5+2\alpha+\beta=0\); \(\alpha=-6\) வைக்க \(5-12+\beta=0\Rightarrow\beta=7\). எனவே \((\alpha,\beta)=(-6,7)\). சரியான விடை \((-6,7)\).

Explanation. கோட்டின் திசை \(\vec b=(2,1,-2),\ |\vec b|=3\). தளத்தின் செங்குத்து \(\vec n=(1,1,0),\ |\vec n|=\sqrt2\). கோடு–தள கோணம் \(\theta\) -க்கு \(\sin\theta=\dfrac{|\vec b\cdot\vec n|}{|\vec b|\,|\vec n|}=\dfrac{|2+1+0|}{3\sqrt2}=\dfrac{3}{3\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\). எனவே \(\theta=45^\circ\). சரியான விடை \(45^\circ\).

Explanation. கோட்டின் பொது புள்ளி \((6-t,\ -1,\ -3+4t)\). தளச் சமன்பாட்டில் வைக்க: \((6-t)+(-1)-(-3+4t)=3\Rightarrow 6-t-1+3-4t=3\Rightarrow 8-5t=3\Rightarrow t=1\). \(t=1\) -ஐ வைக்க புள்ளி \((6-1,\ -1,\ -3+4)= (5,-1,1)\). சரியான விடை \((5,-1,1)\).

Explanation. புள்ளி \((x_0,y_0,z_0)\) -லிருந்து தளம் \(ax+by+cz+d=0\) -க்கு உள்ள தொலைவு \(\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). ஆதிப்புள்ளி \((0,0,0)\) -க்கு: \(\dfrac{|7|}{\sqrt{9+36+4}}=\dfrac{7}{\sqrt{49}}=\dfrac{7}{7}=1\). சரியான விடை \(1\).

Explanation. இரு தளங்களும் இணை (செங்குத்துகள் \((1,2,3)\) மற்றும் \((2,4,6)=2(1,2,3)\)). இரண்டாம் தளத்தை \(2\) -ஆல் வகுக்க: \(x+2y+3z+\tfrac72=0\). இணைத் தளங்களுக்கிடைப்பட்ட தொலைவு \(\dfrac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{\left|7-\tfrac72\right|}{\sqrt{1+4+9}}=\dfrac{7/2}{\sqrt{14}}=\dfrac{7}{2\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt7}{2\sqrt2}\). சரியான விடை \(\dfrac{\sqrt7}{2\sqrt2}\).

Explanation. திசைக்கொசைன்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை \(1\) ஆகும்: \(\left(\dfrac1c\right)^2+\left(\dfrac1c\right)^2+\left(\dfrac1c\right)^2=1\Rightarrow \dfrac{3}{c^2}=1\Rightarrow c^2=3\Rightarrow c=\pm\sqrt3\). சரியான விடை \(c=\pm\sqrt3\).

Explanation. \(t=0\) வைக்க புள்ளி \((1,-2,-1)\). \(t=1\) வைக்க புள்ளி \((1,\ -2+6,\ -1-1)=(1,4,-2)\). இவ்விரு புள்ளிகளும் கோட்டின் மீது அமைகின்றன. சரியான விடை \((1,-2,-1)\) மற்றும் \((1,4,-2)\).

Explanation. ஆதியிலிருந்து \((1,1,1)\) -க்கு உள்ள தொலைவு \(=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\). தளத்திலிருந்து \((1,1,1)\) -க்கு உள்ள தொலைவு \(=\dfrac{|1+1+1+k|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{|3+k|}{\sqrt3}\). கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை: \(\sqrt3=\dfrac12\cdot\dfrac{|3+k|}{\sqrt3}\Rightarrow |3+k|=2\cdot 3=6\). எனவே \(3+k=6\) அல்லது \(3+k=-6\), அதாவது \(k=3\) அல்லது \(k=-9\). சரியான விடை \(3,-9\).

Explanation. இணைத் தளங்களுக்கு செங்குத்துகள் விகிதசமமாக இருக்கும்: \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{-\lambda}{1}=\dfrac{1}{-\mu}\). \(\dfrac24=\dfrac12\). எனவே \(-\lambda=\dfrac12\Rightarrow\lambda=-\dfrac12\) மற்றும் \(\dfrac{1}{-\mu}=\dfrac12\Rightarrow-\mu=2\Rightarrow\mu=-2\). எனவே \(\lambda=-\dfrac12,\ \mu=-2\). சரியான விடை \(-\dfrac{1}{2},\,-2\).

Explanation. ஆதியிலிருந்து தளம் \(2x+3y+\lambda z-1=0\) -க்கு உள்ள செங்குத்துத் தொலைவு \(=\dfrac{|-1|}{\sqrt{4+9+\lambda^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{13+\lambda^2}}\). இது \(\dfrac15\) -க்குச் சமம்: \(\sqrt{13+\lambda^2}=5\Rightarrow 13+\lambda^2=25\Rightarrow\lambda^2=12\Rightarrow\lambda=2\sqrt3\) (ஏனெனில் \(\lambda>0\)). சரியான விடை \(2\sqrt3\).