நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் பற்றி

நடுத்தரம் ~180 நிமிடப் படிப்பு

முக்கோணவியல் சார்பு ஒரு கோணத்தை எடுத்து ஒரு விகிதத்தைத் தருகிறது. நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்பு மறுதிசையில் செல்கிறது: விகிதம் கொடுத்தால் கோணத்தைத் தருகிறது. சிக்கல் என்னவென்றால், சைன் காலமுறைச் சார்பு என்பதால் $\sin x = \frac{1}{2}$ என்பது $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ எனவும் இன்னும் எண்ணற்ற மதிப்புகளுக்கும் உண்மை. சார்பு ஒரே ஒரு வெளியீட்டைத்தான் தர வேண்டும். எனவே ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பையும் அது ஒவ்வொரு மதிப்பையும் சரியாக ஒரு முறை எடுக்கும் இடைவெளிக்குள் கட்டுப்படுத்தி, அங்கே நேர்மாறு காண்கிறோம்.

இந்தப் பாடத்தில் வரைபடங்கள் பெரிதும் உதவுகின்றன. முதலில் சைன், கொசைன், டேன்ஜெண்ட் வரைபடங்களை வீச்சு, கால அளவுடன் பார்க்கிறோம். $a$, $b$ மாறும்போது $y = a \sin bx$ எப்படி மாறுகிறது என்றும் பார்க்கிறோம். பிறகு ஒவ்வொரு நேர்மாறின் வரைபடமும், கட்டுப்படுத்திய வரைபடத்தை $y = x$ என்ற கோட்டில் எதிரொளித்தால் கிடைக்கிறது. இந்த வரைபடங்களை வரையத் தெரிந்தால், ஒவ்வொரு நேர்மாறு சார்பின் சார்பகத்தையும் வீச்சகத்தையும் அவற்றிலிருந்தே நேரடியாகப் படிக்கலாம்.

தேர்வு வினாக்கள் முதன்மை மதிப்புகளையும் இச்சார்புகளின் பண்புகளையும் சோதிக்கின்றன. வழக்கமான பொறி $\sin^{-1}\left(\sin \frac{2\pi}{3}\right)$: விடை $\frac{\pi}{3}$; $\frac{2\pi}{3}$ அல்ல. ஏனெனில் $\frac{2\pi}{3}$, $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ க்கு வெளியே உள்ளது. ஆறு சார்புகளின் முதன்மை வீச்சகங்களையும் மனப்பாடம் செய்யுங்கள். இறுதியில் கிடைக்கும் கோணம் சரியான வீச்சகத்தில் உள்ளதா என்று எப்போதும் சரிபாருங்கள்.

நீங்கள் கற்பவை

• ஆறு நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் சார்பகத்தையும் முதன்மை மதிப்பு வீச்சகத்தையும் கூறுதல்.
• ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பையும் அதன் கட்டுப்படுத்திய சார்பகத்தில் வரைந்து, அதன் நேர்மாறின் வரைபடத்தையும் வரைதல்.
• காலமுறைச் சார்பின் நேர்மாறு காணும் முன் அதை ஏன் கட்டுப்படுத்த வேண்டும் என்று விளக்குதல்.
• நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்திக் கோவைகளைச் சுருக்குதல்.
• நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து, முதன்மை வீச்சகத்திற்கு வெளியே உள்ள விடைகளை நீக்குதல்.
• $y = a \sin bx$ போன்ற சைன் வடிவ வரைபடங்களின் வீச்சையும் கால அளவையும் காணுதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• முக்கோணவியல் சார்புகள், அவற்றின் வரைபடங்கள், கால அளவுகள்.
• சார்பகம், வீச்சகம், ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு, மேல்சார்பு, நேர்மாறு சார்புகள்.
• ரேடியன் அளவும் திட்டக் கோணங்களில் முக்கோணவியல் விகிதங்களின் மதிப்புகளும்.

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் — விரிவான விளக்கம்

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள், படிப்படியாக

காலமுறைத் தன்மையும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சார்பகங்களும்

சைன், கொசைன் மற்றும் பிற முக்கோணவியல் சார்புகள் தங்கள் மதிப்புகளைத் திரும்பத் திரும்ப எடுக்கின்றன. எனவே ஒரு கிடைக்கோடு அவற்றின் வரைபடங்களைப் பல இடங்களில் வெட்டுகிறது. இத்தகைய பலவற்றிற்கு ஒன்றான சார்புகளுக்கு நேர்மாறு இல்லை. தீர்வு: சார்பு இருபுறச் சார்பாக (Bijection) இருக்கும் ஒரு இடைவெளியைத் தேர்ந்தெடுப்பது. இதை முதன்மைச் சார்பகம் என்கிறோம். கட்டுப்படுத்திய சார்பின் வீச்சகத்தில் நேர்மாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. அதன் வெளியீடுகள் முதன்மை மதிப்புகள் (Principal values) எனப்படும்.

சைனும் நேர்மாறு சைனும்

$\sin x$ ஐ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ க்குள் கட்டுப்படுத்துங்கள். இந்த இடைவெளியில் அது $-1$ இலிருந்து $1$ வரை ஏறுகிறது; ஒவ்வொரு மதிப்பையும் ஒரு முறை எடுக்கிறது. எனவே $\sin^{-1} x$ இன் சார்பகம் $[-1, 1]$, வீச்சகம் $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. இதன் வரைபடம், சைன் வளைவரையின் இந்தப் பகுதியை $y = x$ இல் எதிரொளித்தால் கிடைக்கும். இது ஒற்றைச் சார்பு: $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x$.

கொசைனும் நேர்மாறு கொசைனும்

கொசைன் $[0, \pi]$ க்குள் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது; அங்கு அது $1$ இலிருந்து $-1$ வரை இறங்குகிறது. எனவே $\cos^{-1} x$ இன் சார்பகம் $[-1, 1]$, வீச்சகம் $[0, \pi]$. இதன் மதிப்புகள் முதல் அல்லது இரண்டாம் கால்பகுதிக் கோணங்கள். இது இரட்டைச் சார்பும் அல்ல, ஒற்றைச் சார்பும் அல்ல. மாறாக $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x$. எனவே $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$; $-\frac{\pi}{3}$ அல்ல.

டேன்ஜெண்டும் நேர்மாறு டேன்ஜெண்டும்

$\tan x$ இன் வரைபடத்திற்கு $x = \pm\frac{\pi}{2}$ இல் செங்குத்துத் தொலைத்தொடுகோடுகள் உண்டு. $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ க்குள் கட்டுப்படுத்தினால் அது கண்டிப்பாக ஏறும் சார்பு; எல்லா மெய் மதிப்புகளையும் எடுக்கிறது. எனவே $\tan^{-1} x$ இன் சார்பகம் $\mathbb{R}$, வீச்சகம் $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. எதிரொளித்த பிறகு, $\tan x$ இன் செங்குத்துத் தொலைத்தொடுகோடுகள் $\tan^{-1} x$ இன் கிடைத் தொலைத்தொடுகோடுகள் $y = \pm\frac{\pi}{2}$ ஆகின்றன. இது கண்டிப்பாக ஏறும் ஒற்றைச் சார்பு. எனவே இதன் வரைபடம் ஆதியைப் பொறுத்துச் சமச்சீரானது.

நேர்மாறு கொசிகண்ட், சீகண்ட், கோடேன்ஜெண்ட்

மீதி மூன்றுக்கும் தனித்தனிக் கட்டுப்பாடுகள் தேவை. $\text{cosec}^{-1} x$, $\sec^{-1} x$ இரண்டும் $|x| \geq 1$ க்கு வரையறுக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் வீச்சகங்கள் முறையே $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \setminus \{0\}$, $[0, \pi] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$. $\cot^{-1} x$ எல்லா மெய் $x$ க்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது; வீச்சகம் $(0, \pi)$. கவனிக்கவும்: $\cot^{-1}$ க்கு $(0, \pi)$; $\tan^{-1}$ இன் வீச்சகம் அல்ல.

பண்புகளும் சுருக்குதலும்

முக்கியப் பண்புகள்: $x \in [-1, 1]$ க்கு $\sin(\sin^{-1} x) = x$; $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ க்கு மட்டுமே $\sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$. மற்ற சார்புகளுக்கும் இதே போன்ற முடிவுகள் உண்டு. இவற்றையும் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, $0 < |x| \leq 1$ க்கு $\sin^{-1} x = \text{cosec}^{-1}\frac{1}{x}$, $xy < 1$ எனும்போது $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\frac{x + y}{1 - xy}$. ஒரு நேர்மாறு சார்பை இன்னொன்றாக மாற்ற, ஒரு செங்கோண முக்கோணம் வரையுங்கள்: $x > 0$ உடன் $\theta = \sin^{-1} x$ எனில், பக்கங்கள் $x$, $1$, $\sqrt{1 - x^2}$. எனவே $\tan \theta = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• $\sin^{-1} x$ ஐ $\frac{1}{\sin x}$ எனப் படிப்பது. $-1$ என்பது நேர்மாறு சார்பைக் குறிக்கிறது; $\sin x$ இன் தலைகீழி $\text{cosec}\, x$.
• முதன்மை வீச்சகத்திற்கு வெளியே உள்ள கோணத்தைத் தருவது. எடுத்துக்காட்டாக, விடை $[0, \pi]$ இல் இருக்க வேண்டிய இடத்தில் $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$ என எழுதுவது.
• $\theta$ ஆனது $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ க்கு வெளியே இருக்கும்போது $\sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$ எனப் பயன்படுத்துவது. முதலில் $\theta$ ஐ அதே சைன் மதிப்புள்ள, அந்த இடைவெளிக்குள் உள்ள கோணமாக மாற்றி எழுதுங்கள்.
• $\cos^{-1}$ ஐ ஒற்றைச் சார்பாகக் கருதுவது. $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$, $\text{cosec}^{-1}$ மட்டுமே ஒற்றைச் சார்புகள்; $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x$, $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1} x$.
• வீச்சகங்களில் உள்ள இடைவெளிகளை மறப்பது: $\sec^{-1} x$ ஒருபோதும் $\frac{\pi}{2}$ க்குச் சமமாகாது, $\text{cosec}^{-1} x$ ஒருபோதும் 0 ஆகாது, $\tan^{-1} x$ இன் வரைபடம் ஒருபோதும் $y = \pm\frac{\pi}{2}$ ஐ அடையாது.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

முதன்மை மதிப்பு என்றால் என்ன?

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்பு அதன் நிலையான வீச்சகத்திலிருந்து தரும் ஒரே கோணம் அது. பல கோணங்களின் சைன் மதிப்பு $\frac{1}{2}$. ஆனால் $\frac{\pi}{6}$ மட்டுமே $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ இல் உள்ளது. எனவே $\sin^{-1}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$. வீச்சகத்தை நிலைநிறுத்துவதால்தான் நேர்மாறு ஒரு முறையான சார்பாகிறது.

சார்பகங்களை ஏன் கட்டுப்படுத்த வேண்டும்?

முக்கோணவியல் சார்புகள் தங்கள் மதிப்புகளைத் திரும்ப எடுக்கின்றன. எனவே அவை பலவற்றிற்கு ஒன்றான சார்புகள்; முழுச் சார்பகத்தில் அவற்றுக்கு நேர்மாறு இருக்க முடியாது. சைனுக்கு $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ போன்ற தகுந்த இடைவெளியில், சார்பு ஒவ்வொரு மதிப்பையும் சரியாக ஒரு முறை எடுக்கிறது. அந்த ஒன்றுக்கொன்றான பகுதிக்கு நேர்மாறு காணலாம்.

நேர்மாறு சைனும் 1 ஐ சைனால் வகுப்பதும் ஒன்றா?

இல்லை. $\sin^{-1} x$ என்பது சைன் மதிப்பு $x$ ஆக உள்ள கோணம். $\frac{1}{\sin x}$ என்பது $\text{cosec}\, x$. எடுத்துக்காட்டாக $\sin^{-1} 1 = \frac{\pi}{2}$; ஆனால் $\frac{1}{\sin 1}$ ஏறக்குறைய 1.19. இவ்விரண்டையும் குழப்புவது இந்தப் பாடத்திலும் பின்னர் நுண்கணிதத்திலும் மிகப் பொதுவான பிழைகளில் ஒன்று.

நேர்மாறின் வரைபடம் மூல வரைபடத்துடன் எப்படித் தொடர்புடையது?

$x$, $y$ இன் பங்குகள் இடம் மாறுவதால், அது கட்டுப்படுத்திய வரைபடத்தின் $y = x$ கோட்டைப் பொறுத்த எதிரொளிப்பு. $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right)$ ஆனது $y = \sin x$ இன் மேல் இருந்தால், $\left(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{6}\right)$ ஆனது $y = \sin^{-1} x$ இன் மேல் இருக்கும்.

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் எங்கே பயன்படுகின்றன?

விகிதம் தெரிந்து கோணம் தேவைப்படும் இடங்களில் எல்லாம்: உயரமும் தொலைவும் தெரிந்தால் ஏற்றக்கோணம், சாலை அல்லது சரிவுப் பாதையின் சாய்வுக் கோணம், தூக்கு பாலம் உயர்த்தப்பட வேண்டிய கோணம். நுண்கணிதத்தில் $\int \frac{dx}{1 + x^2} = \tan^{-1} x + C$ போன்ற தொகையீடுகளின் விடைகளாக இவை வருகின்றன.

எந்த மதிப்புக்கும் நேர்மாறு காண முடியுமா?

அந்த மதிப்பு அந்த நேர்மாறு சார்பின் சார்பகத்தில் இருந்தால் மட்டுமே. $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$ க்கு $-1 \leq x \leq 1$ தேவை; எனவே $\sin^{-1} 2$ வரையறுக்கப்படவில்லை. $\sec^{-1} x$, $\text{cosec}^{-1} x$ க்கு $|x| \geq 1$ தேவை. $\tan^{-1} x$, $\cot^{-1} x$ எல்லா மெய்யெண்களையும் ஏற்கின்றன.