நிகழ்தகவு பரவல்கள்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

நிகழ்தகவு பரவல்கள் பற்றி

நடுத்தரம் ~180 நிமிடப் படிப்பு

11ஆம் வகுப்பில் கூறுவெளிகளைப் பட்டியலிட்டு, சாதகமான விளைவுகளை எண்ணினீர்கள். நாணயம், பகடைக்கு இது சரியாக வேலை செய்யும்; ஆனால் விரைவில் சிக்கலாகிவிடும். சமவாய்ப்பு மாறி (Random Variable) இதைச் சரிசெய்கிறது. அது ஒவ்வொரு விளைவுக்கும் ஒரு மெய்யெண்ணைத் தரும் விதி. ஆகவே “மூன்று நாணயங்களைச் சுண்டு” என்பது “X = தலைகளின் எண்ணிக்கை” ஆகிறது; X இன் மதிப்புகள் 0, 1, 2 அல்லது 3. விளைவுகள் எண்களானவுடன் அவற்றைக் கூட்டலாம், வர்க்கப்படுத்தலாம், அவற்றின் மேல் தொகையிடலாம்.

அலகு இரண்டு வழிகளாகப் பிரிகிறது. தனிநிலைச் சமவாய்ப்பு மாறி (Discrete Random Variable) எண்ணக்கூடிய மதிப்புகளை எடுக்கும்; எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பெட்டியில் உள்ள பழுதான மின்விளக்குகளின் எண்ணிக்கை. தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி (Continuous Random Variable) ஓர் இடைவெளியில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கும்; எடுத்துக்காட்டாக, பேருந்து நிறுத்தத்தில் காத்திருக்கும் நேரம். தனிநிலை மாறிகளுக்குக் கூட்டல்களையும், தொடர் மாறிகளுக்குத் தொகையீடுகளையும் பயன்படுத்துகிறீர்கள். இரண்டு வழிகளும் ஒரே கருத்துகளுக்கு வந்து சேர்கின்றன: பரவல் சார்பு, சராசரி, பரவற்படி.

இந்த அலகின் பாடநூல் ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள் பெரும்பாலும் சிறிய கணக்கீடுகள். நிறை அல்லது அடர்த்திச் சார்பில் தெரியாத மாறிலி \(k\) ஐக் காணுதல், பரவல் சார்பிலிருந்து ஒரு நிகழ்தகவைப் படித்தல், \(np\), \(np(1-p)\) மூலம் ஈருறுப்பு மாறியின் சராசரியையும் பரவற்படியையும் காணுதல் போன்றவை கேட்கப்படலாம். ஒரு விடையைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முன், நிகழ்தகவுகளின் கூடுதல் 1 ஆகிறதா எனச் சரிபாருங்கள்; இந்த ஒரு சோதனையே பல தவறான விடைகளைப் பிடித்துவிடும்.

நீங்கள் கற்பவை

• சமவாய்ப்பு மாறியை வரையறுத்து, அது தனிநிலையா தொடரா எனக் கூறுதல்.
• கொடுக்கப்பட்ட சோதனைக்கு நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு அல்லது அடர்த்திச் சார்பை எழுதி, தெரியாத மாறிலியைக் காணுதல்.
• நிறை அல்லது அடர்த்திச் சார்பிலிருந்து குவிவுப் பரவல் சார்பைக் காணுதல்; மறுதிசையிலும் செல்லுதல்.
• கூட்டல்கள் அல்லது தொகையீடுகள் மூலம் சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரியையும் பரவற்படியையும் கணக்கிடுதல்.
• பெர்னோலி, ஈருறுப்புப் பரவல்களைக் கொண்டு நிகழ்தகவுகள், சராசரிகள், பரவற்படிகளைக் காணுதல்.
• ஒரு சோதனையைப் பலமுறை திரும்பச் செய்யும்போது நீண்ட காலத்தில் கிடைக்கும் சராசரி மதிப்பே சராசரி என விளக்குதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• 11ஆம் வகுப்பின் கூறுவெளிகள், நிகழ்ச்சிகள், அடிப்படை நிகழ்தகவு விதிகள்.
• கணக் குறியீடுகளும் சார்பு என்ற கருத்தும்.
• தொடர் சமவாய்ப்பு மாறிகளைக் கையாள வரையறுத்த தொகையிடல்.

நிகழ்தகவு பரவல்கள் — விரிவான விளக்கம்

இந்த அலகில் உள்ளவை

சமவாய்ப்பு மாறிகள்

சமவாய்ப்பு மாறி என்பது கூறுவெளியிலிருந்து மெய்யெண்களின் கணத்துக்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சார்பு. ஒரு நாணயத்தை இருமுறை சுண்டி, X = தலைகளின் எண்ணிக்கை என்க. HH என்ற விளைவு 2 க்கும், HT, TH ஆகியவை 1 க்கும், TT என்பது 0 க்கும் செல்கின்றன. சோதனையில் எதுவும் மாறவில்லை; விளைவுகளுக்கு எண்களை மட்டும் இணைத்திருக்கிறோம். இதனால்தான் வாய்ப்பு பற்றிய வினாக்களில் இயற்கணிதத்தையும் நுண்கணிதத்தையும் பயன்படுத்த முடிகிறது. X ஒரு சார்பு, ஒற்றை எண் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்; வெவ்வேறு விளைவுகள் ஒரே மதிப்புக்குச் செல்லலாம்.

தனிநிலைச் சமவாய்ப்பு மாறிகளும் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பும்

தனிநிலைச் சமவாய்ப்பு மாறி முடிவுறு அல்லது எண்ணிடத்தக்க முடிவிலா மதிப்புகளின் கணத்திலிருந்து மதிப்புகளை எடுக்கும். அதன் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு (Probability Mass Function) ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் \(P(X = x)\) ஐத் தருகிறது. இரண்டு நிபந்தனைகள் நிறைவேற வேண்டும்: ஒவ்வொரு நிகழ்தகவும் குறையற்றது; அனைத்தின் கூடுதல் 1. பல ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள் தெரியாத \(k\) உள்ள ஓர் அட்டவணையைத் தந்து, இரண்டாவது நிபந்தனை மூலம் அதைக் காணச் சொல்கின்றன. குவிவுப் பரவல் சார்பு \(F(x) = P(X \le x)\); இது நிறைச் சார்பின் தொடர் கூட்டுத்தொகை. \(F\) இலிருந்து மீண்டும் நிறைச் சார்பைப் பெற, அடுத்தடுத்த மதிப்புகளைக் கழியுங்கள்: \(P(X = x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})\).

தொடர் சமவாய்ப்பு மாறிகளும் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பும்

தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி ஓர் இடைவெளியில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம். இங்கு நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு (Probability Density Function) \(f(x)\) ஐப் பயன்படுத்துகிறோம். இது குறையற்றது; மெய்யெண் கோடு முழுவதும் அதன் மொத்தத் தொகையீடு 1. X ஆனது \(a\) க்கும் \(b\) க்கும் இடையே அமைவதற்கான நிகழ்தகவு, \(a\) முதல் \(b\) வரை \(f(x)\) இன் கீழ் உள்ள பரப்பு. X ஒரு துல்லியமான மதிப்பை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியம்; ஆகவே \(P(a \le X \le b)\), \(P(a < X < b)\) இரண்டும் சமம். பரவல் சார்பு \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\); \(F\) வகையிடத்தக்க இடங்களில் எல்லாம் \(F'(x) = f(x)\). நேரம், நீளம், எடை ஆகியவை வழக்கமான எடுத்துக்காட்டுகள்.

கணித எதிர்பார்ப்பு (சராசரி)

சராசரி அல்லது எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு \(E(X)\) என்பது, சோதனையை மிக அதிக முறை திரும்பச் செய்தால் கிடைக்கும் X இன் சராசரி மதிப்பு. தனிநிலை மாறிக்கு, ஒவ்வொரு மதிப்பையும் அதன் நிகழ்தகவால் பெருக்கிக் கூட்டுங்கள்: \(E(X) = \sum x\,p(x)\). தொடர் மாறிக்குத் தொகையிடுங்கள்: \(E(X) = \int x\,f(x)\,dx\). சராசரி X உண்மையில் எடுக்கும் ஒரு மதிப்பாக இருக்க வேண்டியதில்லை. ஒரு நேர்மையான பகடைக்கு \(E(X) = 3.5\); ஆனால் எந்த வீச்சிலும் 3.5 விழாது. நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும் இரண்டு பண்புகள்: \(E(aX + b) = aE(X) + b\), மாறிலிக்கு \(E(c) = c\).

பரவற்படியும் திட்ட விலக்கமும்

X இன் மதிப்புகள் சராசரியைச் சுற்றி எவ்வளவு பரந்துள்ளன என்பதைப் பரவற்படி (Variance) அளக்கிறது. இது \(V(X) = E[(X - \mu)^2]\) என வரையறுக்கப்படுகிறது; நடைமுறையில் \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) எனக் கணக்கிடுகிறோம். திட்ட விலக்கம் (Standard Deviation) பரவற்படியின் மிகை வர்க்கமூலம்; அதன் அலகு X இன் அலகே. \(V(aX + b) = a^2 V(X)\) என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: ஒரு மாறிலியைக் கூட்டினால் மதிப்புகள் நகர்கின்றன, ஆனால் பரவல் மாறுவதில்லை. மாணவர்கள் இங்கு அடிக்கடி \(aV(X)\) என எழுதி மதிப்பெண்ணை இழக்கிறார்கள்.

பெர்னோலி, ஈருறுப்புப் பரவல்கள்

ஒரு பெர்னோலி சோதனைக்குச் சரியாக இரண்டு விளைவுகள் உண்டு: நிகழ்தகவு \(p\) உள்ள வெற்றி, நிகழ்தகவு \(q = 1 - p\) உள்ள தோல்வி. பெர்னோலி சமவாய்ப்பு மாறி வெற்றிக்கு 1, தோல்விக்கு 0 என்ற மதிப்பை எடுக்கும். அதன் சராசரி \(p\), பரவற்படி \(pq\). அதே \(p\) உடன் சோதனையை \(n\) முறை சார்பின்றித் திரும்பச் செய்து, X வெற்றிகளை எண்ணட்டும். அப்போது X, \(n\), \(p\) ஆகிய பண்பளவைகளுடன் ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது: \(x = 0, 1, \dots, n\) க்கு \(P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}\). அதன் சராசரி \(np\), பரவற்படி \(npq\). \(0 < p < 1\) எனில் \(q < 1\) ஆவதால், ஈருறுப்பு மாறியின் பரவற்படி அதன் சராசரியை விடக் குறைவு. ஒரு மதிப்பெண் வினாவில் இயலாத விடைகளை விரைவாக நீக்க இது உதவும்.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• X தொடர் மாறியாக இருக்கும்போது P(X = a) க்குப் பூஜ்ஜியமல்லாத விடை தருவது. தொடர் மாறிக்கு ஒரு புள்ளியில் நிகழ்தகவு எப்போதும் பூஜ்ஜியம்.
• தெரியாத மாறிலி k ஐக் காணும்போது, நிகழ்தகவுகளின் கூடுதல் 1 அல்லது அடர்த்தியின் தொகையீடு 1 என்ற நிபந்தனையைப் பயன்படுத்த மறப்பது.
• F(x) ஐ P(X = x) எனப் படிப்பது. F(x) ஒரு தொடர் கூட்டுத்தொகை; தனிநிலை மாறிக்கு, புள்ளி நிகழ்தகவைப் பெற முந்தைய மதிப்பில் உள்ள F ஐக் கழியுங்கள்.
• இடைவெளியின் மேல் தொகையிடுவதற்குப் பதிலாக, அடர்த்திச் சார்பின் மதிப்புகளை நிறைச் சார்பு போலக் கூட்டுவது.
• V(aX + b) = aV(X) + b என எழுதுவது. சரியான முடிவு a²V(X); மாறிலியால் ஏற்படும் நகர்வு பரவலை மாற்றாது.
• திரும்ப வைக்காமல் சீட்டுகளை எடுப்பது போல, சோதனைகள் சார்பற்றவையாக இல்லாதபோது அல்லது வெற்றி நிகழ்தகவு ஒவ்வொரு சோதனையிலும் மாறும்போது ஈருறுப்புச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

தனிநிலை, தொடர் சமவாய்ப்பு மாறிகளுக்கு என்ன வேறுபாடு?

தனிநிலைச் சமவாய்ப்பு மாறி பட்டியலிட்டு எண்ணக்கூடிய மதிப்புகளை எடுக்கும்; எடுத்துக்காட்டாக, ஐந்து சுண்டல்களில் கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கை. தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி ஓர் இடைவெளியில் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம்; உயரம், நேரம் போல. தனிநிலை மாறிகளுக்கு நிகழ்தகவுகளைக் கூட்டுகிறீர்கள்; தொடர் மாறிகளுக்கு அடர்த்திச் சார்பைத் தொகையிடுகிறீர்கள்.

சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரியை எப்படிக் கணக்கிடுவது?

தனிநிலை மாறிக்கு, ஒவ்வொரு மதிப்பையும் அதன் நிகழ்தகவால் பெருக்கி, முடிவுகளைக் கூட்டுங்கள். நேர்மையான பகடைக்கு இது (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5 எனத் தருகிறது. தொடர் மாறிக்கு, X இன் முழு வீச்சின் மேல் x × அடர்த்திச் சார்பைத் தொகையிடுங்கள்.

குவிவுப் பரவல் சார்பு நமக்கு என்ன சொல்கிறது?

X ஆனது x க்குக் குறைவாகவோ சமமாகவோ இருப்பதற்கான நிகழ்தகவை F(x) தருகிறது. அது ஒருபோதும் குறைவதில்லை; இடது கோடியில் 0 ஐயும் வலது கோடியில் 1 ஐயும் நெருங்குகிறது. இடைவெளி வினாக்களுக்கு இது வசதியானது; X ஆனது (a, b] இடைவெளியில் அமையும் நிகழ்தகவு F(b) − F(a).

தொடர் பரவல்களில் ஒரு புள்ளியின் நிகழ்தகவு ஏன் பூஜ்ஜியம்?

தொடர் மாறிக்கு நிகழ்தகவு என்பது அடர்த்தி வளைவரையின் கீழ் உள்ள பரப்பு. ஒரு புள்ளியின் மேல் பகுதியின் அகலம் பூஜ்ஜியம்; ஆகவே பரப்பும், அதனால் நிகழ்தகவும் பூஜ்ஜியம். அதனால்தான் இடைவெளிகளுக்கு மட்டுமே நிகழ்தகவைக் கேட்கிறோம்.

ஈருறுப்புப் பரவலுக்கு என்ன நிபந்தனைகள் தேவை?

சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n நிலையானதாக இருக்க வேண்டும்; ஒவ்வொரு சோதனைக்கும் இரண்டே விளைவுகள் (வெற்றி அல்லது தோல்வி); சோதனைகள் சார்பற்றவை; வெற்றி நிகழ்தகவு p ஒவ்வொரு சோதனையிலும் ஒன்றே. இந்த நான்கும் நிறைவேறினால், வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும்.

பரவற்படிக்கும் திட்ட விலக்கத்துக்கும் என்ன தொடர்பு?

சராசரியிலிருந்து உள்ள தொலைவின் வர்க்கத்தின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பே பரவற்படி. திட்ட விலக்கம் அதன் மிகை வர்க்கமூலம். திட்ட விலக்கம் X இன் அதே அலகில் இருப்பதால் அதை அடிக்கடி குறிப்பிடுகிறோம்; பரவற்படி வர்க்க அலகுகளில் இருக்கும்.