நிகழ்தகவு பரவல்கள் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி \(X\)-ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு \(f(x)=\begin{cases} \dfrac{2}{x^{3}} & x \geq 1 \\ 0 & x < 1 \end{cases}\) எனில், பின்வரும் கூற்றுகளில் எது சரியானது?
A. சராசரியும் பரவற்படியும் இரண்டுமே உள்ளன
B. சராசரி உள்ளது, ஆனால் பரவற்படி இல்லைசரி
C. சராசரியும் பரவற்படியும் இரண்டுமே இல்லை
D. பரவற்படி உள்ளது, ஆனால் சராசரி இல்லை
விளக்கம். சராசரியைக் காண்போம்: \(E(X)=\displaystyle\int_{1}^{\infty} x\cdot\dfrac{2}{x^{3}}\,dx=\int_{1}^{\infty}\dfrac{2}{x^{2}}\,dx=\left[-\dfrac{2}{x}\right]_{1}^{\infty}=2\). எனவே சராசரி \(=2\) என வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பாகக் கிடைக்கிறது. ஆனால் \(E(X^{2})=\displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{2}\cdot\dfrac{2}{x^{3}}\,dx=\int_{1}^{\infty}\dfrac{2}{x}\,dx=\big[2\ln x\big]_{1}^{\infty}\) ஆகும்; இத்தொகையீடு \(\infty\)-ஐ நோக்கி விரிவடைகிறது. \(E(X^{2})\) வரையறுக்கப்படாததால் பரவற்படி \(\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)-ஐக் காண இயலாது. ஆகவே சராசரி மட்டுமே உள்ளது; பரவற்படி இல்லை.
Q2
\(2l\) நீளமுள்ள ஒரு கம்பி சமவாய்ப்பான முறையில் இரு துண்டுகளாக உடைக்கப்படுகிறது. இரு துண்டுகளில் குட்டையான துண்டின் நீளத்தைக் குறிக்கும் சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு \(f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{l} & 0 < x < l \\ 0 & l \leq x < 2l \end{cases}\) எனில், குட்டையான துண்டின் சராசரியும் பரவற்படியும் முறையே,
A. \(\dfrac{l}{2},\ \dfrac{l^{2}}{3}\)
B. \(\dfrac{l}{2},\ \dfrac{l^{2}}{6}\)
C. \(l,\ \dfrac{l^{2}}{12}\)
D. \(\dfrac{l}{2},\ \dfrac{l^{2}}{12}\)சரி
விளக்கம். \(E(X)=\displaystyle\int_{0}^{l} x\cdot\dfrac{1}{l}\,dx=\dfrac{1}{l}\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{l}=\dfrac{l}{2}\). \(E(X^{2})=\displaystyle\int_{0}^{l} x^{2}\cdot\dfrac{1}{l}\,dx=\dfrac{1}{l}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{l}=\dfrac{l^{2}}{3}\). எனவே \(\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\dfrac{l^{2}}{3}-\dfrac{l^{2}}{4}=\dfrac{4l^{2}-3l^{2}}{12}=\dfrac{l^{2}}{12}\). ஆகவே சராசரி \(\dfrac{l}{2}\), பரவற்படி \(\dfrac{l^{2}}{12}\).
Q3
ஒரு விளையாட்டில் விளையாடுபவர் ஆறு பக்கங்களைக் கொண்ட சீரான பகடையை உருட்டுகிறார். பகடையில் \(6\) விழுந்தால் அவர் ₹\(36\) வெல்கிறார்; இல்லையெனில் பகடையில் விழும் எண் \(k\) எனில் அவர் ₹\(k^{2}\)-ஐ இழக்கிறார். இங்கு \(k=\{1,2,3,4,5\}\). இவ்விளையாட்டில் எதிர்பார்க்கப்படும் வெற்றித் தொகை (₹),
A. \(\dfrac{19}{6}\)
B. \(-\dfrac{19}{6}\)சரி
C. \(\dfrac{3}{2}\)
D. \(-\dfrac{3}{2}\)
விளக்கம். ஒவ்வொரு முகமும் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு \(\dfrac{1}{6}\). லாபம்/நட்டத்தைக் குறிக்கும் மாறி \(X\) எனில்: \(6\) விழும்போது \(+36\); \(k=1,2,3,4,5\) விழும்போது முறையே \(-1,-4,-9,-16,-25\). எனவே \(E(X)=\dfrac{1}{6}\big(36-1-4-9-16-25\big)=\dfrac{1}{6}\big(36-55\big)=-\dfrac{19}{6}\). எதிர்பார்க்கப்படும் தொகை எதிர்மறை என்பதால், சராசரியாக விளையாடுபவருக்கு இழப்பே ஏற்படும்.
Q4
\(1,2,3,4,5,6\) என எண்ணிடப்பட்ட ஆறுபக்கப் பகடை ஒன்றும், \(1,2,3,4\) என எண்ணிடப்பட்ட நான்குபக்கப் பகடை ஒன்றும் சேர்த்து உருட்டப்பட்டு, விழும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை காணப்படுகிறது. இக்கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கும் சமவாய்ப்பு மாறி \(X\) எனில், \(7\)-ன் நேர்மாறுப் பிம்பத்தில் (inverse image) உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை,
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)சரி
விளக்கம். முதல் பகடையின் எண் \(\{1,2,3,4,5,6\}\)-லும், இரண்டாம் பகடையின் எண் \(\{1,2,3,4\}\)-லும் அமையும். கூட்டுத்தொகை \(7\) ஆகும் சோடிகள்: \((3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\). (முதல் பகடையில் \(1\) அல்லது \(2\) விழுந்தால் இரண்டாம் பகடைக்கு \(6\) அல்லது \(5\) தேவை; அவை இரண்டாம் பகடையில் இல்லாததால் நீக்கப்படுகின்றன.) எனவே \(7\)-ஐத் தரும் சோடிகள் \(4\); நேர்மாறுப் பிம்பத்தில் \(4\) உறுப்புகள் உள்ளன.
Q5
ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி \(X\) ஆனது \(n=25\) மற்றும் \(p=0.8\) கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது எனில், \(X\)-ன் திட்ட விலக்கம்,
A. \(6\)
B. \(4\)
C. \(3\)
D. \(2\)சரி
விளக்கம். ஈருறுப்புப் பரவலில் \(q=1-p=1-0.8=0.2\). பரவற்படி \(\operatorname{Var}(X)=npq=25\times 0.8\times 0.2=4\). எனவே திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{4}=2\).
Q6
ஒரு நாணயம் \(n\) முறை சுண்டப்படும்போது கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கைக்கும் பூக்களின் எண்ணிக்கைக்கும் இடையேயான வேறுபாட்டை \(X\) குறிக்கிறது எனில், \(X\) பெறக்கூடிய மதிப்புகள்,
A. \(i+2n,\quad i=0,1,2,\dots,n\)
B. \(2i-n,\quad i=0,1,2,\dots,n\)சரி
C. \(n-i,\quad i=0,1,2,\dots,n\)
D. \(2i+2n,\quad i=0,1,2,\dots,n\)
விளக்கம். \(n\) சுண்டல்களில் தலைகளின் எண்ணிக்கை \(i\) எனில், பூக்களின் எண்ணிக்கை \(n-i\) ஆகும் (\(i=0,1,\dots,n\)). எனவே \(X=(\text{தலைகள்})-(\text{பூக்கள்})=i-(n-i)=2i-n\). எடுத்துக்காட்டாக \(n=2\) எனில் \(i=0,1,2\)-க்கு \(X=-2,0,2\) எனக் கிடைக்கும்.
Q7
ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி \(X\)-ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பாக \(f(x)=\dfrac{1}{12}\) (இங்கு \(a
A. \(0\) மற்றும் \(12\)
B. \(5\) மற்றும் \(17\)
C. \(7\) மற்றும் \(19\)
D. \(16\) மற்றும் \(24\)சரி
விளக்கம். \(f(x)\) ஒரு மாறிலி (சீரான) அடர்த்தி சார்பாதலால், மொத்த நிகழ்தகவு \(1\) ஆக இருக்க \(\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{12}\,dx=\dfrac{b-a}{12}=1\), அதாவது \(b-a=12\) ஆக இருக்க வேண்டும். (A) \(12-0=12\), (B) \(17-5=12\), (C) \(19-7=12\) — மூன்றும் இந்நிபந்தனையை நிறைவு செய்கின்றன. ஆனால் (D) \(24-16=8\neq 12\). எனவே \(16\) மற்றும் \(24\) மதிப்புகளாக அமைய இயலாது.
Q8
ஒரே பள்ளியைச் சேர்ந்த \(160\) மாணவர்களை ஏற்றிச் செல்லும் நான்கு பேருந்துகள் ஒரு கால்பந்து அரங்கத்திற்கு வந்தடைகின்றன. அப்பேருந்துகள் முறையே \(42, 36, 34, 48\) மாணவர்களைச் சுமக்கின்றன. ஒரு மாணவர் சமவாய்ப்பாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறார்; தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாணவர் பயணித்த பேருந்தில் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை \(X\) குறிக்கிறது. அதேபோல், நான்கு ஓட்டுநர்களில் ஒருவர் சமவாய்ப்பாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறார்; அவர் ஓட்டும் பேருந்தில் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை \(Y\) குறிக்கிறது. எனில் \(E(X)\) மற்றும் \(E(Y)\) முறையே,
A. \(50,\ 40\)
B. \(40,\ 50\)
C. \(40.75,\ 40\)சரி
D. \(41,\ 41\)
விளக்கம். ஒரு மாணவரைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, அதிக மாணவர்கள் உள்ள பேருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படும் வாய்ப்பு அதிகம் (அளவு-சார்பு தேர்வு). எனவே \(E(X)=\displaystyle\sum \dfrac{n_i}{160}\cdot n_i=\dfrac{42^{2}+36^{2}+34^{2}+48^{2}}{160}=\dfrac{1764+1296+1156+2304}{160}=\dfrac{6520}{160}=40.75\). ஆனால் ஓட்டுநரைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது ஒவ்வொரு பேருந்தும் சமமான \(\dfrac{1}{4}\) வாய்ப்புடையது; எனவே \(E(Y)=\dfrac{42+36+34+48}{4}=\dfrac{160}{4}=40\). ஆகவே \(E(X)=40.75,\ E(Y)=40\).
Q9
இரு நாணயங்கள் சுண்டப்படுகின்றன. முதல் நாணயம் தலையாக விழும் நிகழ்தகவு \(0.6\); இரண்டாம் நாணயம் தலையாக விழும் நிகழ்தகவு \(0.5\). சுண்டல்களின் முடிவுகள் சார்பற்றவை எனக் கொண்டு, மொத்தத் தலைகளின் எண்ணிக்கையை \(X\) குறிக்கிறது எனில், \(E(X)\)-ன் மதிப்பு,
A. \(0.11\)
B. \(1.1\)சரி
C. \(11\)
D. \(1\)
விளக்கம். எதிர்பார்ப்பின் கூட்டல் பண்பின்படி, தனித்தனி நாணயங்களின் தலை எண்ணிக்கைகளின் எதிர்பார்ப்புகளைக் கூட்டலாம். ஒவ்வொரு நாணயத்திற்கும் தலை விழும் எண்ணிக்கை ஒரு பெர்னோலி மாறி; அதன் எதிர்பார்ப்பு அதன் வெற்றி நிகழ்தகவே. எனவே \(E(X)=0.6+0.5=1.1\).
Q10
ஒவ்வொன்றிலும் \(3\) தேர்வுகள் கொண்ட \(5\) வினாக்கள் உள்ள ஒரு பல்தேர்வுத் தேர்வில், ஒரு மாணவர் வெறும் ஊகத்தின் மூலம் \(4\) அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வினாக்களுக்குச் சரியாக விடையளிக்கும் நிகழ்தகவு,
A. \(\dfrac{11}{243}\)சரி
B. \(\dfrac{3}{8}\)
C. \(\dfrac{1}{243}\)
D. \(\dfrac{5}{243}\)
விளக்கம். ஒரு வினாவிற்குச் சரியாக ஊகிக்கும் நிகழ்தகவு \(p=\dfrac{1}{3}\), தவறான நிகழ்தகவு \(q=\dfrac{2}{3}\); \(n=5\) எனவே \(X\sim B\!\left(5,\dfrac{1}{3}\right)\). \(P(X\geq 4)=P(X=4)+P(X=5)\). \(P(X=4)=\dbinom{5}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{5\cdot 2}{243}=\dfrac{10}{243}\); \(P(X=5)=\dbinom{5}{5}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}=\dfrac{1}{243}\). கூட்டினால் \(P(X\geq 4)=\dfrac{10}{243}+\dfrac{1}{243}=\dfrac{11}{243}\).
Q11
\(P(X=0)=1-P(X=1)\) எனவும், \(E(X)=3\operatorname{Var}(X)\) எனவும் தரப்பட்டால், \(P(X=0)\)-ன் மதிப்பு,
A. \(\dfrac{2}{3}\)
B. \(\dfrac{2}{5}\)
C. \(\dfrac{1}{5}\)
D. \(\dfrac{1}{3}\)சரி
விளக்கம். \(P(X=0)=1-P(X=1)\) என்பதிலிருந்து \(P(X=0)+P(X=1)=1\); எனவே \(X\) ஆனது \(0,1\) என்ற இரு மதிப்புகளை மட்டுமே பெறுகிறது. \(P(X=0)=n\) எனில் \(P(X=1)=1-n\). \(E(X)=0\cdot n+1\cdot(1-n)=1-n\) மற்றும் \(E(X^{2})=0^{2}\cdot n+1^{2}\cdot(1-n)=1-n\). எனவே \(\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=(1-n)-(1-n)^{2}=(1-n)\,n\). தரப்பட்ட நிபந்தனை \(E(X)=3\operatorname{Var}(X)\Rightarrow 1-n=3(1-n)n\). \(1-n\neq 0\) எனக் கொண்டால் \(1=3n\Rightarrow n=\dfrac{1}{3}\). எனவே \(P(X=0)=\dfrac{1}{3}\).
Q12
ஒரு ஈருறுப்புச் சமவாய்ப்பு மாறி \(X\)-ன் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு \(6\) எனவும் பரவற்படி \(2.4\) எனவும் இருந்தால், \(P(X=5)\),
A. \(\dbinom{10}{5}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{6}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{4}\)
B. \(\dbinom{10}{5}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{10}\)
C. \(\dbinom{10}{5}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{4}\)
D. \(\dbinom{10}{5}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{5}\)சரி
விளக்கம். \(np=6\) மற்றும் \(npq=2.4\) எனவே \(q=\dfrac{2.4}{6}=0.4=\dfrac{2}{5}\), \(p=1-q=\dfrac{3}{5}\), மேலும் \(n=\dfrac{6}{p}=\dfrac{6}{3/5}=10\). எனவே \(X\sim B\!\left(10,\dfrac{3}{5}\right)\) மற்றும் \(P(X=5)=\dbinom{10}{5}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{10-5}=\dbinom{10}{5}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{5}\).
Q13
ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி \(X\)-ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு \(f(x)=\begin{cases} ax+b & 0
A. \(1\) மற்றும் \(\dfrac{1}{2}\)சரி
B. \(\dfrac{1}{2}\) மற்றும் \(1\)
C. \(2\) மற்றும் \(1\)
D. \(1\) மற்றும் \(2\)
விளக்கம். \(f\) ஒரு அடர்த்தி சார்பாதலால் \(\displaystyle\int_{0}^{1}(ax+b)\,dx=\dfrac{a}{2}+b=1\) … (1). மேலும் \(E(X)=\displaystyle\int_{0}^{1}x(ax+b)\,dx=\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=\dfrac{7}{12}\) … (2). (1)-லிருந்து \(b=1-\dfrac{a}{2}\). இதை (2)-ல் பதிலிட்டால் \(\dfrac{a}{3}+\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{7}{12}\Rightarrow \dfrac{a}{3}-\dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{12}\Rightarrow \dfrac{a}{12}=\dfrac{1}{12}\Rightarrow a=1\). எனவே \(b=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\). ஆகவே \(a=1,\ b=\dfrac{1}{2}\).
Q14
ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி \(X\) ஆனது \(0,1,2\) ஆகிய மதிப்புகளில் ஒன்றைப் பெறுகிறது. ஏதேனும் ஒரு மாறிலி \(k\)-க்கு \(P(X=i)=k\,P(X=i-1)\) (இங்கு \(i=1,2\)) எனவும், \(P(X=0)=\dfrac{1}{7}\) எனவும் இருந்தால், \(k\)-ன் மதிப்பு,
A. \(1\)
B. \(2\)சரி
C. \(3\)
D. \(4\)
விளக்கம். \(P(X=1)=k\,P(X=0)=\dfrac{k}{7}\) மற்றும் \(P(X=2)=k\,P(X=1)=\dfrac{k^{2}}{7}\). அனைத்து நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை \(1\) ஆதலால் \(\dfrac{1}{7}+\dfrac{k}{7}+\dfrac{k^{2}}{7}=1\Rightarrow 1+k+k^{2}=7\Rightarrow k^{2}+k-6=0\Rightarrow (k+3)(k-2)=0\). நிகழ்தகவு எதிர்மறையாக இருக்க முடியாததால் \(k=-3\) நிராகரிக்கப்படுகிறது; எனவே \(k=2\).
Q15
பின்வருவனவற்றுள் எது ஒரு தனிநிலைச் (discrete) சமவாய்ப்பு மாறி? I. ஒரு நாளில் குறிப்பிட்ட சைகை விளக்கைக் கடக்கும் கார்களின் எண்ணிக்கை. II. ஒரு கணத்தில் ரயில் சீட்டு வாங்கும் வரிசையில் நிற்கும் வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கை. III. ஒரு தொலைபேசி அழைப்பை முடிக்க எடுத்துக்கொள்ளும் நேரம்.
A. I மற்றும் IIசரி
B. II மட்டும்
C. III மட்டும்
D. II மற்றும் III
விளக்கம். எண்ணி அளவிடக்கூடிய (முழு எண்களாக எண்ணத்தக்க) அளவைகள் தனிநிலை மாறிகள். கார்களின் எண்ணிக்கை (I) மற்றும் வரிசையில் உள்ள வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கை (II) ஆகியவை எண்ணப்படுபவை — எனவே தனிநிலை. ஆனால் அழைப்பை முடிக்கும் நேரம் (III) ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான மதிப்புகளைப் பெறக்கூடியது — எனவே தொடர்ச்சியான மாறி. ஆகவே I மற்றும் II மட்டுமே தனிநிலை.
Q16
\(f(x)=\begin{cases} 2x & 0\leq x\leq a \\ 0 & \text{மற்றவை} \end{cases}\) என்பது ஒரு சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு எனில், \(a\)-ன் மதிப்பு,
A. \(1\)சரி
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)
விளக்கம். அடர்த்தி சார்பின் கீழுள்ள மொத்தப் பரப்பு \(1\) ஆக இருக்க வேண்டும்: \(\displaystyle\int_{0}^{a}2x\,dx=\big[x^{2}\big]_{0}^{a}=a^{2}=1\). எனவே \(a^{2}=1\Rightarrow a=1\) (\(a\) ஒரு நீளம் என்பதால் நேர்மறை மதிப்பு).
Q17
ஒரு சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவு நிறை சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: \[\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & k & 2k & 3k & 4k & 5k \end{array}\] எனில் \(E(X)\)-ன் மதிப்பு,
A. \(\dfrac{1}{15}\)
B. \(\dfrac{1}{10}\)
C. \(\dfrac{1}{3}\)
D. \(\dfrac{2}{3}\)சரி
விளக்கம். நிகழ்தகவு நிறை சார்பாதலால் \(\sum f(x)=k+2k+3k+4k+5k=15k=1\Rightarrow k=\dfrac{1}{15}\). \(E(X)=\sum x\,f(x)=(-2)k+(-1)(2k)+0(3k)+1(4k)+2(5k)=-2k-2k+4k+10k=10k=10\times\dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{3}\).
Q18
ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி \(X\) சராசரி \(0.4\) கொண்ட பெர்னோலி பரவலைப் பின்பற்றுகிறது எனில், \((2X-3)\)-ன் பரவற்படி,
A. \(0.24\)
B. \(0.48\)
C. \(0.6\)
D. \(0.96\)சரி
விளக்கம். பெர்னோலி பரவலில் சராசரி \(\mu=p=0.4\); எனவே \(q=1-p=0.6\) மற்றும் \(\operatorname{Var}(X)=pq=0.4\times 0.6=0.24\). \(\operatorname{Var}(aX+b)=a^{2}\operatorname{Var}(X)\) என்ற பண்பின்படி \(\operatorname{Var}(2X-3)=2^{2}\times 0.24=4\times 0.24=0.96\). (கூட்டல் மாறிலி \(-3\) பரவற்படியை மாற்றாது.)
Q19
\(6\) சோதனைகளில், ஒரு ஈருறுப்பு மாறி \(X\) ஆனது \(9P(X=4)=P(X=2)\) என்ற தொடர்பை நிறைவு செய்தால், வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு,
A. \(0.125\)
B. \(0.25\)சரி
C. \(0.375\)
D. \(0.75\)
விளக்கம். \(X\sim B(6,p)\). \(P(X=4)=\dbinom{6}{4}p^{4}q^{2}\), \(P(X=2)=\dbinom{6}{2}p^{2}q^{4}\); \(\dbinom{6}{4}=\dbinom{6}{2}\) ஆதலால் \(9p^{4}q^{2}=p^{2}q^{4}\Rightarrow 9p^{2}=q^{2}\). \(q=1-p\) எனப் பதிலிட்டு நேர்மறை மூலத்தை எடுத்தால் \(3p=1-p\Rightarrow 4p=1\Rightarrow p=0.25\). எனவே வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு \(0.25\).
Q20
ஒரு கணினி விற்பனையாளர் தன் கடந்தகால அனுபவத்தின் மூலம், காட்சியறைக்குள் நுழையும் ஒவ்வொரு இருபது வாடிக்கையாளர்களில் ஒருவருக்குக் கணினி விற்பதை அறிந்துள்ளார். அடுத்த மூன்று வாடிக்கையாளர்களில் சரியாக இருவருக்கு அவர் கணினி விற்கும் நிகழ்தகவு,
A. \(\dfrac{57}{20^{3}}\)சரி
B. \(\dfrac{57}{20^{2}}\)
C. \(\dfrac{193}{20^{3}}\)
D. \(\dfrac{57}{20}\)
விளக்கம். ஒரு வாடிக்கையாளருக்கு விற்பதற்கான நிகழ்தகவு \(p=\dfrac{1}{20}\), விற்காததற்கான நிகழ்தகவு \(q=\dfrac{19}{20}\); \(n=3\) எனவே \(X\sim B\!\left(3,\dfrac{1}{20}\right)\). சரியாக இருவருக்கு விற்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(X=2)=\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{1}{20}\right)^{2}\left(\dfrac{19}{20}\right)=3\times\dfrac{1}{400}\times\dfrac{19}{20}=\dfrac{57}{20^{3}}\ \left(=\dfrac{57}{8000}\right)\).
இவை தமிழ்நாடு அரசுப் பாடத்திட்டத்தின் (சமச்சீர் கல்வி) 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் பாடத்திட்டத்திலிருந்து நிகழ்தகவு பரவல்கள் அத்தியாயத்திற்கான புத்தகப் பயிற்சி வினாக்கள். ஒவ்வொரு வினாவிலும் சரியான விடையும், அசல் படிப்படியான விளக்கமும் தரப்பட்டுள்ளன; இதனால் விடை மட்டுமல்ல, முறையையும் புரிந்துகொள்கிறீர்கள். மேலே உள்ள விடைக் குறிப்பைப் பயன்படுத்தி எந்த வினாவுக்கும் செல்லலாம்; பிறகு தேர்வுச் சூழலில் உங்களைச் சோதிக்க பயிற்சித் தேர்வு எழுதுங்கள்.
அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்
நிகழ்தகவு பரவல்கள் அத்தியாயத்தில் எத்தனை வினாக்கள் உள்ளன?
இந்த அத்தியாயத்தில் 20 புத்தகப் பயிற்சி வினாக்கள் உள்ளன; ஒவ்வொன்றிலும் சரியான விடையும் படிப்படியான விளக்கமும் தரப்பட்டுள்ளன.
இந்த 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் வினாக்களை இலவசமாக ஆன்லைனில் பயிற்சி செய்யலாமா?
ஆம். இங்குள்ள ஒவ்வொரு வினா, விடை மற்றும் விளக்கமும் இலவசம்; அவற்றை நேரக் கட்டுப்பாட்டு பயிற்சித் தேர்வாகவும் எழுதலாம்.
நிகழ்தகவு பரவல்கள் புத்தகப் பயிற்சி விடைகளை எங்கே காணலாம்?
ஒவ்வொரு வினாவுக்கும் சரியான விடை இந்தப் பக்கத்தில் விளக்கத்துடன் தனித்துக் காட்டப்பட்டுள்ளது; மேலே விரைவான விடைக் குறிப்பும் உள்ளது.
