நிகழ்தகவு பரவல்கள்: ஒரு மதிப்பெண் ஆன்லைன் தேர்வு (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல்)

விளக்கம். சராசரியைக் காண்போம்: \(E(X)=\displaystyle\int_{1}^{\infty} x\cdot\dfrac{2}{x^{3}}\,dx=\int_{1}^{\infty}\dfrac{2}{x^{2}}\,dx=\left[-\dfrac{2}{x}\right]_{1}^{\infty}=2\). எனவே சராசரி \(=2\) என வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பாகக் கிடைக்கிறது. ஆனால் \(E(X^{2})=\displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{2}\cdot\dfrac{2}{x^{3}}\,dx=\int_{1}^{\infty}\dfrac{2}{x}\,dx=\big[2\ln x\big]_{1}^{\infty}\) ஆகும்; இத்தொகையீடு \(\infty\)-ஐ நோக்கி விரிவடைகிறது. \(E(X^{2})\) வரையறுக்கப்படாததால் பரவற்படி \(\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)-ஐக் காண இயலாது. ஆகவே சராசரி மட்டுமே உள்ளது; பரவற்படி இல்லை.

விளக்கம்.

குட்டையான துண்டின் நீளம் \((0,l)\) இடைவெளியில் சீரான பரவலைப் பெற்றுள்ளது. அதன் சராசரி \(E(X)=\displaystyle\int_{0}^{l} x\cdot\dfrac{1}{l}\,dx=\dfrac{1}{l}\cdot\dfrac{l^{2}}{2}=\dfrac{l}{2}\). மேலும் \(E(X^{2})=\displaystyle\int_{0}^{l} x^{2}\cdot\dfrac{1}{l}\,dx=\dfrac{1}{l}\cdot\dfrac{l^{3}}{3}=\dfrac{l^{2}}{3}\). எனவே \(\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-\big(E(X)\big)^{2}=\dfrac{l^{2}}{3}-\dfrac{l^{2}}{4}=\dfrac{l^{2}}{12}\). ஆகவே சராசரி \(\dfrac{l}{2}\), பரவற்படி \(\dfrac{l^{2}}{12}\).

விளக்கம்.

சீரான பகடையின் ஒவ்வொரு முகமும் விழும் நிகழ்தகவு \(\dfrac{1}{6}\). \(6\) விழும்போது மட்டும் விளையாடுபவர் ₹36 பெறுகிறார்; \(k=1,2,3,4,5\) விழும்போது ₹\(k^{2}\) இழக்கிறார். எனவே எதிர்பார்க்கப்படும் வெற்றித் தொகை \(E=\dfrac{1}{6}(36)+\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{k=1}^{5}(-k^{2})=6-\dfrac{1}{6}(1+4+9+16+25)=6-\dfrac{55}{6}=\dfrac{36-55}{6}=-\dfrac{19}{6}\). மதிப்பு எதிர்மறையாக இருப்பதால் இவ்விளையாட்டு விளையாடுபவருக்குச் சாதகமற்றது.

விளக்கம். முதல் பகடையின் எண் \(\{1,2,3,4,5,6\}\)-லும், இரண்டாம் பகடையின் எண் \(\{1,2,3,4\}\)-லும் அமையும். கூட்டுத்தொகை \(7\) ஆகும் சோடிகள்: \((3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\). (முதல் பகடையில் \(1\) அல்லது \(2\) விழுந்தால் இரண்டாம் பகடைக்கு \(6\) அல்லது \(5\) தேவை; அவை இரண்டாம் பகடையில் இல்லாததால் நீக்கப்படுகின்றன.) எனவே \(7\)-ஐத் தரும் சோடிகள் \(4\); நேர்மாறுப் பிம்பத்தில் \(4\) உறுப்புகள் உள்ளன.

விளக்கம். ஈருறுப்புப் பரவலில் \(q=1-p=1-0.8=0.2\). பரவற்படி \(\operatorname{Var}(X)=npq=25\times 0.8\times 0.2=4\). எனவே திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{4}=2\).

விளக்கம். \(n\) சுண்டல்களில் தலைகளின் எண்ணிக்கை \(i\) எனில், பூக்களின் எண்ணிக்கை \(n-i\) ஆகும் (\(i=0,1,\dots,n\)). எனவே \(X=(\text{தலைகள்})-(\text{பூக்கள்})=i-(n-i)=2i-n\). எடுத்துக்காட்டாக \(n=2\) எனில் \(i=0,1,2\)-க்கு \(X=-2,0,2\) எனக் கிடைக்கும்.

விளக்கம்.

சீரான அடர்த்தி சார்பின் மொத்தப் பரப்பு \(1\) ஆக இருக்க வேண்டும். எனவே \(\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{12}\,dx=\dfrac{b-a}{12}=1\), அதாவது \(b-a=12\). ஒவ்வொரு சோடியையும் சரிபார்க்க: \(12-0=12\) (ஏற்கத்தக்கது), \(17-5=12\) (ஏற்கத்தக்கது), \(19-7=12\) (ஏற்கத்தக்கது), ஆனால் \(24-16=8\neq 12\) (ஏற்க இயலாது). ஆகவே \(a=16,\ b=24\) ஆக இருக்க முடியாது.

விளக்கம்.

ஒரு மாணவரை சமவாய்ப்பாகத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, அதிக மாணவர்கள் உள்ள பேருந்து தேர்வாகும் வாய்ப்பு அதிகம். எனவே பேருந்திலுள்ள மாணவர் எண்ணிக்கை \(n_i\) எனில் \(E(X)=\displaystyle\sum n_i\times\dfrac{n_i}{160}=\dfrac{42^{2}+36^{2}+34^{2}+48^{2}}{160}=\dfrac{1764+1296+1156+2304}{160}=\dfrac{6520}{160}=40.75\). ஒரு ஓட்டுநரை சமவாய்ப்பாகத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது ஒவ்வொரு பேருந்தும் சம வாய்ப்புடையது; எனவே \(E(Y)=\dfrac{42+36+34+48}{4}=\dfrac{160}{4}=40\). ஆகவே \(E(X)=40.75\), \(E(Y)=40\).

விளக்கம்.

சீட்டுகள் திரும்ப வைக்கப்படுவதால், ஒவ்வொரு எடுப்பிலும் ஏஸ் கிடைக்கும் நிகழ்தகவு சார்பின்றி \(\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}\) ஆகும். \(X=X_{1}+X_{2}\) என எழுதுக; இங்கு \(i\)-ஆவது சீட்டு ஏஸ் எனில் \(X_{i}=1\), இல்லையெனில் \(0\). ஒவ்வொரு \(X_{i}\)-ம் சராசரி \(\dfrac{1}{13}\) கொண்ட பெர்னோலி மாறி. எதிர்பார்ப்பின் நேரியல் பண்பின்படி \(E(X)=E(X_{1})+E(X_{2})=\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{13}=\dfrac{2}{13}\).

விளக்கம்.

ஒவ்வொரு வினாவிற்கும் சரியாக விடையளிக்கும் நிகழ்தகவு \(p=\dfrac{1}{3}\), \(q=\dfrac{2}{3}\); எனவே \(X\sim B\!\left(5,\dfrac{1}{3}\right)\). ஆகவே \(P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)=\dbinom{5}{4}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}\!\left(\dfrac{2}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}=\dfrac{10}{243}+\dfrac{1}{243}=\dfrac{11}{243}\).

விளக்கம்.

\(B(n,p)\)-க்கு \(E(X)=np\), \(\operatorname{Var}(X)=npq\). \(E(X)=3\operatorname{Var}(X)\) எனும் நிபந்தனையிலிருந்து \(np=3npq\), அதாவது \(1=3q\); எனவே \(q=\dfrac{1}{3}\), \(p=\dfrac{2}{3}\). \(n=4\) ஆதலால் \(P(X=0)=\dbinom{4}{0}p^{0}q^{4}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}=\dfrac{1}{81}\).

விளக்கம்.

\(B(n,p)\)-க்கு \(np=6\), \(npq=2.4\). வகுத்தால் \(q=\dfrac{npq}{np}=\dfrac{2.4}{6}=0.4=\dfrac{2}{5}\); எனவே \(p=\dfrac{3}{5}\), \(n=\dfrac{6}{p}=10\). ஆகவே \(P(X=5)=\dbinom{10}{5}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{5}\).

விளக்கம்.

குவிவுப் பரவல் சார்பு \(F(\infty)=1\)-ஐ நிறைவு செய்ய வேண்டும்; மேலும் ஆதியில் தொடர்ச்சியாக இருக்க \(F(0)=0\). \(x\to\infty\) எனும்போது \(e^{-x}\to 0\), எனவே \(F(\infty)=a=1\). \(x=0\)-ல் \(F(0)=a+b=0\), எனவே \(b=-1\). ஆகவே \(x\ge 0\)-க்கு \(F(x)=1-e^{-x}\) (அடுக்குப் பரவல்); \(a=1\), \(b=-1\).

விளக்கம்.

\(B(n,p)\)-க்கு சராசரி \(np=2k\), பரவற்படி \(npq=k\). வகுத்தால் \(q=\dfrac{npq}{np}=\dfrac{k}{2k}=\dfrac{1}{2}\), எனவே \(p=\dfrac{1}{2}\). \(n=8\) ஆதலால் \(np=8\times\dfrac{1}{2}=4\). \(np=2k\) என்பதால் \(2k=4\), அதாவது \(k=2\).

விளக்கம். தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி ஒரு இடைவெளியில் எந்த மதிப்பையும் பெறக்கூடியது (அளக்கப்படுவது); தனிநிலை மாறி எண்ணத்தக்க தனித்த மதிப்புகளைப் பெறும் (எண்ணப்படுவது). மின் விளக்கின் ஆயுட்காலம் (I), அழைப்பின் நேரம் (III) ஆகியவை அளக்கப்படுபவை; எனவே தொடர்ச்சியானவை. குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கை (II) எண்ணப்படுவது; எனவே தனிநிலை. ஆகவே I மற்றும் III தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறிகள்.

விளக்கம்.

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் நிகழ்தகவுகளின் கூடுதல் \(1\) ஆக இருக்க வேண்டும். இங்கு \(\displaystyle\sum_{x=1}^{\infty} a\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=a\sum_{x=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\). பெருக்குத் தொடர் \(\displaystyle\sum_{x=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=1\). எனவே \(a\cdot 1=1\), அதாவது \(a=1\).

விளக்கம்.

முதலில் \(\sum f(x)=1\) என்பதிலிருந்து \(k\)-ஐக் காண்போம்: \(k+2k+3k+4k+5k=15k=1\), எனவே \(k=\dfrac{1}{15}\). பின்னர் \(E(X)=\displaystyle\sum x\,f(x)=(-2)k+(-1)(2k)+0(3k)+(1)(4k)+(2)(5k)=(-2-2+0+4+10)k=10k=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}\).

விளக்கம். பெர்னோலி பரவலில் சராசரி \(\mu=p=0.4\); எனவே \(q=1-p=0.6\) மற்றும் \(\operatorname{Var}(X)=pq=0.4\times 0.6=0.24\). \(\operatorname{Var}(aX+b)=a^{2}\operatorname{Var}(X)\) என்ற பண்பின்படி \(\operatorname{Var}(2X-3)=2^{2}\times 0.24=4\times 0.24=0.96\). (கூட்டல் மாறிலி \(-3\) பரவற்படியை மாற்றாது.)

விளக்கம். \(X\sim B(6,p)\). \(P(X=4)=\dbinom{6}{4}p^{4}q^{2}\), \(P(X=2)=\dbinom{6}{2}p^{2}q^{4}\); \(\dbinom{6}{4}=\dbinom{6}{2}\) ஆதலால் \(9p^{4}q^{2}=p^{2}q^{4}\Rightarrow 9p^{2}=q^{2}\). \(q=1-p\) எனப் பதிலிட்டு நேர்மறை மூலத்தை எடுத்தால் \(3p=1-p\Rightarrow 4p=1\Rightarrow p=0.25\). எனவே வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு \(0.25\).

விளக்கம்.

ஒரு வாடிக்கையாளருக்கு விற்பது “வெற்றி”; அதன் நிகழ்தகவு \(p=\dfrac{1}{20}\), \(q=\dfrac{19}{20}\). \(n=3\) வாடிக்கையாளர்கள், எனவே \(X\sim B\!\left(3,\dfrac{1}{20}\right)\). ஆகவே \(P(X=2)=\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{1}{20}\right)^{2}\left(\dfrac{19}{20}\right)=3\cdot\dfrac{1}{400}\cdot\dfrac{19}{20}=\dfrac{57}{8000}\).