தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் பற்றி

கடினம் ~180 நிமிடப் படிப்பு

தொகையிடல் என்ற கருத்து நுண்கணிதத்தை விடப் பழமையானது. ஆர்க்கிமிடிஸ் ஒரு பரவளையத் துண்டின் பரப்பை, அதனுள் சிறிய சிறிய முக்கோணங்களை நிரப்பிக் கண்டறிந்தார். இதற்குத் தீர்ந்துபோகும் முறை (method of exhaustion) என்று பெயர். இன்று நாம் இதையே செவ்வகங்களைக் கொண்டு செய்கிறோம்: இடைவெளியை மெல்லிய பட்டைகளாகப் பிரித்து, அவற்றின் பரப்புகளைக் கூட்டி, பட்டைகள் இன்னும் மெல்லியதாகும்போது எல்லை காண்கிறோம். அந்த எல்லையே வரையறுத்த தொகையீடு (Definite Integral).

இத்தகைய எல்லைகளை நேரடியாகக் கணக்கிட நேரம் அதிகம் ஆகும். தொகை நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றங்கள் ஒரு குறுக்கு வழியைத் தருகின்றன: $f$ இன் ஒரு எதிர்வகைக்கெழு $F$ தெரிந்தால், $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. மதிப்பிடலை விரைவாக்கும் கருவிகளையும் இந்த அலகு தருகிறது. ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையும், மீண்டும் மீண்டும் எளிதாகத் தொகையிடக்கூடிய ஒரு சார்பும் பெருக்கலாக வரும்போது பெர்னோலியின் சூத்திரம் பயன்படும். $0$ முதல் $\pi/2$ வரையிலான $\sin^n x$, $\cos^n x$ தொகையீடுகளுக்குக் குறைப்புச் சூத்திரங்கள் (Reduction Formulae) உள்ளன. $\int_0^\infty x^n e^{-ax}\,dx$ வடிவத் தொகையீடுகளைக் காமா தொகையீடு ஒரே வரியில் முடிக்கிறது.

கடைசி இரண்டு பகுதிகள் பயன்பாடுகள்: வளைவரைகளாலும் கோடுகளாலும் அடைபட்ட பகுதியின் பரப்பு, ஒரு பகுதியை ஓர் அச்சைப் பற்றிச் சுழற்றும்போது உருவாகும் திடப்பொருளின் கனஅளவு. இவற்றுக்கு முதல் படி, பகுதியைத் தெளிவாக வரைந்து பார்ப்பது. தொகையிடல் எல்லைகள் எவை, எந்த வளைவரை மேலே உள்ளது என்பதை வரைபடம் காட்டிவிடும். இதே தொகையீடுகள் இயற்பியலிலும் பொறியியலிலும் பயன்படுகின்றன; எடுத்துக்காட்டாக, மாறும் விசை செய்யும் வேலையைக் காண.

நீங்கள் கற்பவை

• வரையறுத்த தொகையீட்டைக் கூடுதலின் எல்லையாக மதிப்பிடுதல்.
• அடிப்படைத் தேற்றங்கள், பண்புகளைப் பயன்படுத்தி வரையறுத்த தொகையீடுகளை மதிப்பிடுதல்.
• சைன், கொசைன் அடுக்குகளின் தொகையீடுகளுக்குக் குறைப்புச் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல்.
• காமா தொகையீட்டைக் கொண்டு முறையற்ற தொகையீடுகளை மதிப்பிடுதல்.
• பல்லுறுப்புக் கோவையும் வேறொரு சார்பும் சேர்ந்த பெருக்கலைப் பெர்னோலியின் சூத்திரம் மூலம் தொகையிடுதல்.
• அடைபட்ட பகுதிகளின் பரப்பையும் சுழற்சித் திடப்பொருள்களின் கனஅளவையும் காணுதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• வகையிடலின் விதிகளும் முறைகளும்.
• திட்டத் தொகையீடுகள், பகுதித் தொகையிடல் உட்பட வரையறாத் தொகையிடல்.
• ஆயத்தொலை வடிவியல்; கோடு, பரவளையம், வட்டம், நீள்வட்டம் போன்ற திட்ட வளைவரைகளை வரைதல்.

தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் — விரிவான விளக்கம்

தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்: தெரிந்துகொள்ள வேண்டியவை

கூடுதலின் எல்லையாக வரையறுத்த தொகையீடு

$[a, b]$ ஐ $n$ உள் இடைவெளிகளாகப் பிரித்து, ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து, $f(\text{point}) \times (\text{width})$ மதிப்புகளைக் கூட்டுங்கள். இது ரீமான் கூடுதல் (Riemann sum). $n \to \infty$ ஆகி அகலங்கள் பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும்போது, இந்தக் கூடுதல் $\int_a^b f(x) dx$ ஐ நெருங்குகிறது. பாடநூல் பயிற்சிகளில் $\sum r$, $\sum r^2$ சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எளிய தொகையீடுகளை இவ்வாறு மதிப்பிடுவீர்கள். $f(x) \ge 0$ எனில், கிடைக்கும் மதிப்பு வளைவரையின் கீழ் உள்ள பரப்பு ஆகும்.

அடிப்படைத் தேற்றங்களும் பண்புகளும்

முதல் அடிப்படைத் தேற்றம் $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ எனக் கூறுகிறது. இரண்டாவது தேற்றத்தின்படி, எந்த எதிர்வகைக்கெழு $F$ ஐ எடுத்தாலும், வரையறுத்த தொகையீட்டை $F(b) - F(a)$ என மதிப்பிடலாம். பண்புகள் பல வேலையை மிச்சப்படுத்துகின்றன. அதிகம் பயன்படுவது $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx$. $[-a, a]$ இடைவெளியில் ஒற்றைச் சார்பின் தொகையீடு பூஜ்ஜியம்; இரட்டைச் சார்பின் தொகையீடு $[0, a]$ இல் உள்ள தொகையீட்டின் இருமடங்கு. வரையறுத்த தொகையீட்டில் பிரதியிடும்போது எல்லைகளையும் மாற்ற வேண்டும்.

பெர்னோலியின் சூத்திரமும் குறைப்புச் சூத்திரங்களும்

$u$ ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை எனில், பெர்னோலியின் சூத்திரம் $\int uv\,dx = uv_1 - u'v_2 + u''v_3 - \cdots$ ஆகும். இங்கு $v_1, v_2, v_3, \ldots$ என்பவை $v$ இன் அடுத்தடுத்த தொகையீடுகள். குறிகள் மாறி மாறி வரும். பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஏதாவது ஒரு வகைக்கெழு பூஜ்ஜியம் ஆவதால் தொடர் நின்றுவிடும். சைன், கொசைன் அடுக்குகளுக்குக் குறைப்புச் சூத்திரம் $\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots$ எனத் தருகிறது. $n$ இரட்டை எண் எனில் இது $\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$ என்றும், $n$ ஒற்றை எண் எனில் $\frac{2}{3}$ என்றும் முடியும். $\cos^n x$ க்கும் இதே முடிவு பொருந்தும்.

முறையற்ற தொகையீடுகளும் காமா தொகையீடும்

$\int_0^\infty$ போன்று முடிவிலா இடைவெளியில் அமையும் தொகையீடு முறையற்ற தொகையீடு (Improper Integral) ஆகும். இது ஓர் எல்லையாக வரையறுக்கப்படுகிறது; அந்த எல்லை முடிவுறு மதிப்பு எனில் தொகையீடு ஒருங்குகிறது. காமா தொகையீடு $n > 0$ க்கு $\Gamma(n) = \int_0^\infty e^{-x} x^{n-1}\,dx$ ஆகும். இது $\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n)$ ஐ நிறைவு செய்கிறது. மிகை முழு எண் $n$ க்கு $\Gamma(n + 1) = n!$. எனவே இது காரணியப் பெருக்கத்தை விரிவுபடுத்துகிறது. அடிக்கடி பயன்படும் முடிவு: $\int_0^\infty e^{-ax} x^n\,dx = \frac{n!}{a^{n+1}}$.

அடைபட்ட பகுதிகளின் பரப்பு

$y = f(x)$, x-அச்சு, $x = a$, $x = b$ ஆகிய கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட பரப்பைச் செங்குத்துப் பட்டைகள் மூலம் காண்கிறோம். $x = g(y)$, y-அச்சு, $y = c$, $y = d$ ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பரப்புக்குக் கிடைமட்டப் பட்டைகள் பயன்படும். இரண்டு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட பகுதிக்கு (மேல் வளைவரை கழித்தல் கீழ் வளைவரை) ஐத் தொகையிடுங்கள்; எல்லைகளை அவை வெட்டும் புள்ளிகளிலிருந்து எடுங்கள். வளைவரை அச்சுக்குக் கீழே சென்றால், அந்தப் பகுதியின் தொகையீடு குறை மதிப்பாக வரும். ஆகவே இடைவெளியைப் பிரித்து, மட்டு மதிப்புகளைக் கூட்டுங்கள். எப்போதும் முதலில் வரைபடம் வரையுங்கள்.

சுழற்சித் திடப்பொருள்களின் கனஅளவு

$x = a$ முதல் $x = b$ வரை $y = f(x)$ இன் கீழ் உள்ள பகுதியை x-அச்சைப் பற்றிச் சுழற்றும்போது, ஒவ்வொரு மெல்லிய செங்குத்துப் பட்டையும் ஒரு வட்டத்தட்டை உருவாக்குகிறது. இந்த வட்டத்தட்டுகளைக் கூட்டினால் $V = \pi \int_a^b y^2 dx$ கிடைக்கிறது. y-அச்சைப் பற்றிய சுழற்சிக்கு $V = \pi \int_c^d x^2\,dy$ ஐப் பயன்படுத்துங்கள். கூம்பு, கோளம், கூம்பின் இடைக்கண்டம் போன்றவற்றின் திட்டக் கனஅளவுகளை இந்தச் சூத்திரங்களைக் கொண்டு வருவிக்கலாம்.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• வரையறுத்த தொகையீட்டில் பிரதியிட்ட பிறகு எல்லைகளை மாற்ற மறப்பது.
• இரண்டு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட பரப்பைக் காணும்போது தவறான வளைவரையை மேல் எல்லையாக எடுப்பது.
• பகுதி y-அச்சைப் பற்றிச் சுழற்றப்படும்போது, dx உடன் உள்ள x-அச்சு கனஅளவுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது.
• வளைவரை x-அச்சைக் கடக்கும் புள்ளியைக் கவனிக்காமல் ஒரே தொகையீடாக எடுப்பது; அப்போது நேர், குறை பகுதிகள் ஒன்றையொன்று நீக்கி, பரப்பு குறைவாக வரும்.
• குறைப்புச் சூத்திரத்தில் ஒற்றை அடுக்குக்கு இரட்டை அடுக்கின் முடிவை (π/2 உடன்) பயன்படுத்துவது, அல்லது மாற்றிப் பயன்படுத்துவது.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

செங்குத்துப் பட்டைகளா, கிடைமட்டப் பட்டைகளா என்பதை எப்படி முடிவு செய்வது?

எல்லைகளைப் பாருங்கள். பகுதியின் மேல், கீழ் எல்லைகள் x இன் சார்புகளாக எளிதாகக் கிடைத்தால், செங்குத்துப் பட்டைகளை எடுத்து x ஐப் பொறுத்துத் தொகையிடுங்கள். இடது, வலது எல்லைகள் y இன் சார்புகளாக எளிதாக இருந்தால் கிடைமட்டப் பட்டைகளை எடுங்கள். வரைபடம் வரைந்தால் இது தெளிவாகும்.

காமா தொகையீடு ஏன் பயனுள்ளது?

பூஜ்ஜியம் முதல் முடிவிலி வரை, x இன் ஓர் அடுக்கும் குறையும் அடுக்குக்குறிச் சார்பும் சேர்ந்த பெருக்கலின் தொகையீட்டை இது நேரடியாகத் தருகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 0 முதல் ∞ வரை x³e^(−2x) இன் தொகையீடு 3!/2⁴ = 6/16 = 3/8. இது இல்லாவிட்டால் பலமுறை பகுதித் தொகையிடல் செய்ய வேண்டியிருக்கும்.

சில வரையறுத்த தொகையீடுகள் ஏன் பூஜ்ஜியமாக வருகின்றன?

பொதுவான காரணம்: −a முதல் a வரையிலான சமச்சீர் இடைவெளியில் ஒற்றைச் சார்பைத் தொகையிடுவது; எடுத்துக்காட்டாக sin x அல்லது x³. x-அச்சுக்குக் கீழே உள்ள பகுதி மேலே உள்ள பகுதியை நீக்கிவிடுகிறது. இதை உடனே கண்டுகொண்டால் ஒரு மதிப்பெண் வினாக்களில் நேரம் மிச்சமாகும்.

அடிப்படைத் தேற்றம் வேலையை எப்படிக் குறைக்கிறது?

கூடுதலின் எல்லையைக் கணக்கிடுவதற்குப் பதிலாக, தொகையிடப்படும் சார்பின் ஏதாவது ஓர் எதிர்வகைக்கெழு F ஐக் கண்டு F(b) − F(a) ஐக் கணக்கிடுகிறீர்கள். இது கூடுதலின் எல்லைக்குச் சமம் என்று தேற்றம் உறுதி செய்கிறது. அதனால்தான் வகையிடலும் தொகையிடலும் எதிர்ச் செயல்கள் எனப்படுகின்றன.

வரையறுத்த தொகையீடு எப்போதும் பரப்புக்குச் சமமா?

இல்லை. x-அச்சுக்குக் கீழே உள்ள பகுதிகள் குறை மதிப்பாகக் கணக்கிடப்படுவதால், வரையறுத்த தொகையீடு நேர், குறை அல்லது பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம். பரப்பு எப்போதும் நேர் மதிப்பு. வளைவரை அச்சைக் கடந்தால், கடக்கும் புள்ளியில் இடைவெளியைப் பிரித்து, ஒவ்வொரு துண்டின் மட்டு மதிப்பையும் கூட்டுங்கள்.

பகுதித் தொகையிடலுக்குப் பதிலாகப் பெர்னோலியின் சூத்திரத்தை எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்?

ஒரு காரணி பல்லுறுப்புக் கோவையாகவும், மற்றொன்று eˣ, sin x, cos x போல மீண்டும் மீண்டும் தொகையிடக்கூடியதாகவும் இருக்கும்போது பயன்படுத்துங்கள். இது பகுதித் தொகையிடலை ஒரே நேரத்தில் செய்வதுதான். பல படிகளுக்குப் பதிலாக, மாறி மாறி வரும் குறிகளுடன் ஒரே வரியில் எழுதிவிடலாம்.