தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் — படிப்புக் குறிப்புகள்

முக்கியக் கருத்துகள்

இந்த அத்தியாயம் வரம்பிற்குட்பட்ட தொகையீட்டை (definite integral) ஒரு கூட்டுத்தொகையின் எல்லையாக வரையறுத்து, அதைப் பயன்படுத்திப் பரப்பளவு மற்றும் கன அளவு காண்பதைக் கற்பிக்கிறது.

1. கூட்டுத்தொகையின் எல்லையாக வரம்பிற்குட்பட்ட தொகையீடு

தொடர்ச்சியான சார்பு \(f\) க்கு,

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{r=1}^{n} f\!\left(a+(b-a)\frac{r}{n}\right).\]

இது வளைவரைக்குக் கீழுள்ள பரப்பை மெல்லிய செவ்வகங்களாகப் பிரித்து, அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் எல்லையாகக் காண்பதைக் குறிக்கிறது.

2. தொகை நுண்கணித அடிப்படைத் தேற்றங்கள்

முதல் தேற்றம்: \(F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt\) எனில் \(F'(x)=f(x)\) — வகையீடும் தொகையீடும் எதிர்மறை செயல்கள்.

இரண்டாம் தேற்றம்: \(F'(x)=f(x)\) எனில் \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a)\).

3. வரம்பிற்குட்பட்ட தொகையீட்டின் பண்புகள்

• \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=-\int_{b}^{a} f(x)\,dx\)
• \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx,\quad a
• \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{b} f(a+b-x)\,dx\)
• \(\displaystyle\int_{0}^{a} f(x)\,dx=\int_{0}^{a} f(a-x)\,dx\)

4. சமச்சீர்ப் பண்புகள் (இது அதிகம் கேட்கப்படும்)

\[\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\begin{cases}2\displaystyle\int_{0}^{a} f(x)\,dx,& f \text{ சமச்சார்பு }(f(-x)=f(x))\\[4pt]0,& f \text{ ஒற்றைச் சார்பு }(f(-x)=-f(x))\end{cases}\]

இதைப் பயன்படுத்தினால் பல தொகையீடுகளை மதிப்பிடாமலேயே \(0\) என உடனே கூறிவிடலாம்.

5. சைன்-கொசைன் தொகையீட்டுச் சூத்திரம்

\(m,n\) எண்களின் இரட்டை/ஒற்றைத் தன்மையைப் பொருத்து:

\[\int_{0}^{\pi/2}\sin^{m}x\,\cos^{n}x\,dx\]

என்பதை ஒரு படிப்படியான பின்னல் சூத்திரத்தால் காணலாம். \(m,n\) இரண்டும் சமப்படை எனில் கூடுதலாக \(\dfrac{\pi}{2}\) காரணி வரும்; இல்லையெனில் வராது.

6. காமாத் தொகையீடு

\[\Gamma(n)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{\,n-1}\,dx=(n-1)!,\qquad \int_{0}^{\infty} e^{-ax}x^{n}\,dx=\frac{n!}{a^{\,n+1}}.\]

முக்கிய மதிப்பு: \(\Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\).

7. பரப்பளவு காணுதல்

• \(x\)-அச்சு, \(x=a\), \(x=b\): \(A=\displaystyle\int_{a}^{b} y\,dx\) (\(x\)-அச்சுக்குக் கீழ் இருந்தால் மதிப்பு எதிர்க்குறி; மட்டுமதிப்பை எடுக்கவும்).
• \(y\)-அச்சு, \(y=c\), \(y=d\): \(A=\displaystyle\int_{c}^{d} x\,dy\).
• இரு வளைவரைகளுக்கு இடையே: \(A=\displaystyle\int_{a}^{b}\big(y_{\text{மேல்}}-y_{\text{கீழ்}}\big)\,dx\).

8. சுழற்சித் திடப்பொருளின் கன அளவு

• \(x\)-அச்சைப் பொருத்து: \(V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b} y^{2}\,dx\).
• \(y\)-அச்சைப் பொருத்து: \(V=\pi\displaystyle\int_{c}^{d} x^{2}\,dy\).

தேர்வில் கவனிக்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• சமச்சீரை மறப்பது: ஒற்றைச் சார்பின் \(\int_{-a}^{a}\) எப்போதும் \(0\) — முழுவதையும் கணக்கிட்டு நேரத்தை வீணாக்க வேண்டாம்.
• மட்டுமதிப்பை விடுதல்: வளைவரை \(x\)-அச்சைக் கடக்கும்போது (எ.கா. \(\sin x\), \([0,2\pi]\)) ஒவ்வொரு பகுதியின் மட்டுமதிப்பை எடுக்காவிட்டால் பரப்பு தவறாகக் குறையும்.
• தவறான அச்சு: \(y\)-அச்சைப் பொருத்திச் சுழற்றும்போது \(x^{2}\,dy\) பயன்படுத்த வேண்டும், \(y^{2}\,dx\) அல்ல.
• சைன்-கொசைன் சூத்திரத்தில் \(\tfrac{\pi}{2}\): இரண்டு படிகளும் சமப்படையாக இருந்தால் மட்டுமே \(\dfrac{\pi}{2}\) காரணி சேர்க்கப்படும்.
• காமா குறியீட்டுக் குழப்பம்: \(\Gamma(n)=(n-1)!\) — எனவே \(\int_0^\infty x^4 e^{-x}dx=\Gamma(5)=4!=24\), \(5!\) அல்ல.