தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
பொதுத் தேர்வில் கேட்கப்பட்டது:
மார்ச் 2025, மார்ச் 2020
\(\displaystyle\int_{0}^{2/3}\dfrac{dx}{\sqrt{4-9x^{2}}}\) இன் மதிப்பு யாது?
- A. \(\dfrac{\pi}{6}\)சரி
- B. \(\dfrac{\pi}{2}\)
- C. \(\dfrac{\pi}{4}\)
- D. \(\pi\)
விளக்கம். வடிவம் \(\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\sin^{-1}\dfrac{u}{a}\) ஆகும். இங்கு \(4-9x^{2}=2^{2}-(3x)^{2}\), எனவே \(a=2,\;u=3x\) எனக் கொள்க. \(u=3x\Rightarrow du=3\,dx\) ஆதலால் தொகையீடு \(\dfrac{1}{3}\sin^{-1}\dfrac{3x}{2}\) ஆகும். எல்லைகளைப் பயன்படுத்த, \(x=\tfrac{2}{3}\) எனில் \(\sin^{-1}1=\tfrac{\pi}{2}\); \(x=0\) எனில் \(0\). எனவே மதிப்பு \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}\). சரியான விடை தேர்வு (1).
Q2
\(\displaystyle\int_{-1}^{2}\lvert x\rvert\,dx\) இன் மதிப்பு யாது?
- A. \(\dfrac{1}{2}\)
- B. \(\dfrac{3}{2}\)
- C. \(\dfrac{5}{2}\)சரி
- D. \(\dfrac{7}{2}\)
விளக்கம். \(\lvert x\rvert\) என்பது துண்டுவாரியான சார்பு. \([-1,0]\) இல் \(\lvert x\rvert=-x\); \([0,2]\) இல் \(\lvert x\rvert=x\). எனவே தொகையீட்டை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம்: \(\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x)\,dx+\int_{0}^{2}x\,dx\). முதல் பகுதி \(\left[-\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0}=\tfrac{1}{2}\); இரண்டாம் பகுதி \(\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=2\). கூட்டுத்தொகை \(\tfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}\). சரியான விடை தேர்வு (3).
Q3
ஒவ்வொரு \( n\in\mathbb{Z} \)-க்கும் \( \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{\cos^{2}x}\cos^{3}\!\big[(2n+1)x\big]\,dx \) இன் மதிப்பு
- A. \( \dfrac{\pi}{2} \)
- B. \( \pi \)
- C. \( 0 \)சரி
- D. \( 2 \)
விளக்கம். \( \int_{0}^{\pi} f(x)\,dx = \int_{0}^{\pi} f(\pi-x)\,dx \) என்ற பண்பைப் பயன்படுத்துவோம். \(x\mapsto \pi-x\) எனப் பதிலிட:
- \(\cos^{2}(\pi-x)=\cos^{2}x\), எனவே அடுக்குக்குறிக் காரணி மாறாது;
- \((2n+1)\) ஒற்றைப்படை எண் என்பதால் \(\cos\big[(2n+1)(\pi-x)\big]=-\cos\big[(2n+1)x\big]\); கனம் எடுத்தாலும் எதிர்க்குறி அப்படியே இருக்கும்.
ஆகவே \(f(\pi-x) = -f(x)\). எனவே
\[ I = \int_{0}^{\pi} f(x)\,dx = -\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx \;\Rightarrow\; 2I = 0 \;\Rightarrow\; I = 0. \]
விடை (3); இது \(n\)-ஐச் சார்ந்ததல்ல.
Q4
\( \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^{2}x\,\cos x\,dx \) இன் மதிப்பு
- A. \( \dfrac{3}{2} \)
- B. \( \dfrac{1}{2} \)
- C. \( 0 \)
- D. \( \dfrac{2}{3} \)சரி
விளக்கம். முதலில் சமச்சீர்த் தன்மையைச் சோதிப்போம்: \(f(x)=\sin^{2}x\cos x\) எனில்,
\[ f(-x)=\sin^{2}(-x)\cos(-x)=\sin^{2}x\cos x=f(x), \]
எனவே \(f\) ஒரு சமச்சார்பு (இதை ஒற்றைச் சார்பு எனத் தவறாகக் கருதி 0 என விடையளிப்பது பொதுவான பிழை). சமச்சார்பு விதியையும் \(u=\sin x\) என்ற பதிலீட்டையும் பயன்படுத்த:
\[ I = 2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\cos x\,dx = 2\int_{0}^{1} u^{2}\,du = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}. \]
விடை (4).
Q5
\( \displaystyle\int_{-4}^{4}\left[\tan^{-1}\!\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1}+\tan^{-1}\!\dfrac{x^{4}+1}{x^{2}}\right]dx \) இன் மதிப்பு
- A. \( \pi \)
- B. \( 2\pi \)
- C. \( 3\pi \)
- D. \( 4\pi \)சரி
விளக்கம். இரண்டு கோணங்களின் உள்ளீடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று தலைகீழிகள்; \(x\neq 0\) எனில் \(\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1}\), \(\dfrac{x^{4}+1}{x^{2}}\) இரண்டும் மிகை எண்கள். மிகை \(t\)-க்கு உரிய முற்றொருமை
\[ \tan^{-1}t+\tan^{-1}\frac{1}{t}=\frac{\pi}{2} \]
ஐப் பயன்படுத்த, அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள முழுக் கோவையும் மாறிலி \(\dfrac{\pi}{2}\) ஆகிறது. தொகைச் சார்பு மாறிலி என்பதால்
\[ I = \frac{\pi}{2}\times\big(4-(-4)\big) = \frac{\pi}{2}\times 8 = 4\pi. \]
விடை (4).
Q6
\( \displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \dfrac{2x^{7}-3x^{5}+7x^{3}-x+1}{\cos^{2}x}\,dx \) இன் மதிப்பு
- A. \( 4 \)
- B. \( 3 \)
- C. \( 2 \)சரி
- D. \( 0 \)
விளக்கம். தொகைச் சார்பை \(\big(2x^{7}-3x^{5}+7x^{3}-x\big)\sec^{2}x + \sec^{2}x\) என எழுதுவோம். \(\sec^{2}x\) ஒரு சமச்சார்பு; \(x\)-இன் ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை அடுக்கும் அந்த உறுப்பை ஒற்றைச் சார்பு ஆக்குகிறது. எனவே சமச்சீர் இடைவெளியில் அவை அனைத்தின் தொகையீடும் \(0\). மாறிலி உறுப்பு மட்டுமே மீதமிருக்கும்:
\[ \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sec^{2}x\,dx = 2\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}x\,dx = 2\big[\tan x\big]_{0}^{\pi/4} = 2(1-0) = 2. \]
விடை (3).
Q7
\( f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} t\cos t\,dt \) எனில், \( \dfrac{df}{dx} = \)
- A. \( \cos x - x\sin x \)
- B. \( \sin x + x\cos x \)
- C. \( x\cos x \)சரி
- D. \( x\sin x \)
விளக்கம். தொகை நுண்கணிதத்தின் முதல் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்படி, மேல் எல்லையைப் பொறுத்து ஒரு வரையறுத்த தொகையீட்டை வகையிட்டால், அந்த எல்லையில் மதிப்பிட்ட தொகைச் சார்பே கிடைக்கும்:
\[ \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} g(t)\,dt = g(x). \]
இங்கு \(g(t)=t\cos t\), எனவே \(\dfrac{df}{dx}=x\cos x\) — தொகையீட்டைக் கணக்கிடத் தேவையில்லை. விடை (3).
Q8
\( y^{2}=4x \) என்ற பரவளையத்திற்கும் அதன் செவ்வகலத்திற்கும் இடையே பரப்பானது
- A. \( \dfrac{2}{3} \)
- B. \( \dfrac{4}{3} \)
- C. \( \dfrac{8}{3} \)சரி
- D. \( \dfrac{5}{3} \)
விளக்கம். \(y^{2}=4x\)-ஐ \(y^{2}=4ax\) உடன் ஒப்பிட \(a=1\); எனவே செவ்வகலம் \(x=1\) என்ற நிலைக்குத்துக் கோடு. அரங்கம் \(x\)-அச்சைப் பொறுத்துச் சமச்சீரானது; எனவே \(y=2\sqrt{x}\) ஆகும் மேல் பாதியின் பரப்பை இருமடங்காக்குவோம்:
\[ A = 2\int_{0}^{1} 2\sqrt{x}\,dx = 4\Big[\tfrac{2}{3}x^{3/2}\Big]_{0}^{1} = \frac{8}{3}. \]
விடை (3).
Q9
பொதுத் தேர்வில் கேட்கப்பட்டது:
மே 2022
\( \displaystyle\int_{0}^{1} x(1-x)^{99}\,dx \) இன் மதிப்பு
- A. \( \dfrac{1}{11000} \)
- B. \( \dfrac{1}{10100} \)சரி
- C. \( \dfrac{1}{10010} \)
- D. \( \dfrac{1}{10001} \)
விளக்கம். பின்வரும் திட்ட முடிவைப் பயன்படுத்துவோம்:
\[ \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n}\,dx = \frac{m!\,n!}{(m+n+1)!}, \]
இங்கு \(m=1,\ n=99\):
\[ \int_{0}^{1} x(1-x)^{99}\,dx = \frac{1!\,99!}{101!} = \frac{1}{101\times 100} = \frac{1}{10100}. \]
விடை (2).
Q10
\( \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{dx}{1+5^{\cos x}} \) இன் மதிப்பு
- A. \( \dfrac{\pi}{2} \)சரி
- B. \( \pi \)
- C. \( \dfrac{3\pi}{2} \)
- D. \( 2\pi \)
விளக்கம். \(I=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{1+5^{\cos x}}\) என்க. \(x\)-க்குப் பதிலாக \(\pi-x\) எனப் பதிலிட; \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) மற்றும் \(5^{-\cos x}=\dfrac{1}{5^{\cos x}}\) என்பதால்,
\[ I = \int_{0}^{\pi}\frac{dx}{1+5^{-\cos x}} = \int_{0}^{\pi}\frac{5^{\cos x}}{1+5^{\cos x}}\,dx. \]
\(I\)-க்கான இரு கோவைகளையும் கூட்ட, தொகைச் சார்புகள் இணைந்து \(1\) ஆகின்றன:
\[ 2I = \int_{0}^{\pi}\frac{1+5^{\cos x}}{1+5^{\cos x}}\,dx = \int_{0}^{\pi} dx = \pi \;\Rightarrow\; I=\frac{\pi}{2}. \]
விடை (1).
Q11
\( \dfrac{\Gamma(n+2)}{\Gamma(n)}=90 \) எனில் \( n \) இன் மதிப்பு
- A. \( 10 \)
- B. \( 5 \)
- C. \( 8 \)
- D. \( 9 \)சரி
விளக்கம். காமா தொடர்பு \(\Gamma(k+1)=k\,\Gamma(k)\)-ஐ இருமுறை பயன்படுத்த:
\[ \Gamma(n+2) = (n+1)\,\Gamma(n+1) = (n+1)\,n\,\Gamma(n). \]
எனவே \(\dfrac{\Gamma(n+2)}{\Gamma(n)} = n(n+1) = 90\). இதைத் தீர்க்க
\[ n^{2}+n-90 = 0 \;\Rightarrow\; (n-9)(n+10)=0, \]
மிகை மூலம் \(n=9\). விடை (4).
Q12
\( \displaystyle\int_{0}^{\pi/6} \cos^{3}3x\,dx \) இன் மதிப்பு
- A. \( \dfrac{2}{3} \)
- B. \( \dfrac{2}{9} \)சரி
- C. \( \dfrac{1}{9} \)
- D. \( \dfrac{1}{3} \)
விளக்கம். \(u=3x\) எனப் பதிலிட, \(du=3\,dx\); எல்லைகள் \(0\) முதல் \(\pi/2\) வரை மாறுகின்றன:
\[ \int_{0}^{\pi/6}\cos^{3}3x\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}u\,du. \]
குறைப்பு வாய்ப்பாட்டின்படி (Wallis) \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}u\,du=\frac{2}{3}\). எனவே
\[ \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{9}. \]
விடை (2).
Q13
\( \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^{4}x\,dx \) இன் மதிப்பு
- A. \( \dfrac{3\pi}{10} \)
- B. \( \dfrac{3\pi}{8} \)சரி
- C. \( \dfrac{3\pi}{4} \)
- D. \( \dfrac{3\pi}{2} \)
விளக்கம். \([0,\pi]\) இடைவெளியில் \(\sin^{4}x\) ஆனது \(x=\dfrac{\pi}{2}\)-ஐப் பொறுத்துச் சமச்சீரானது; எனவே
\[ \int_{0}^{\pi}\sin^{4}x\,dx = 2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}x\,dx. \]
குறைப்பு வாய்ப்பாட்டின்படி \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}x\,dx = \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}\). இருமடங்காக்க
\[ 2\cdot\frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}. \]
விடை (2).
Q14
பொதுத் தேர்வில் கேட்கப்பட்டது:
மே 2022
\( \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-3x}\,x^{2}\,dx \) இன் மதிப்பு
- A. \( \dfrac{7}{27} \)
- B. \( \dfrac{5}{27} \)
- C. \( \dfrac{4}{27} \)
- D. \( \dfrac{2}{27} \)சரி
விளக்கம். இது ஒரு காமா தொகையீடு.
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-ax}\,x^{n}\,dx = \frac{n!}{a^{\,n+1}} \]
என்பதில் \(a=3\), \(n=2\) எனப் பிரதியிட:
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-3x}x^{2}\,dx = \frac{2!}{3^{3}} = \frac{2}{27}. \]
விடை (4).
Q15
\( \displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{dx}{4+x^{2}}=\dfrac{\pi}{8} \) எனில் \( a \) இன் மதிப்பு
- A. \( 4 \)
- B. \( 1 \)
- C. \( 3 \)
- D. \( 2 \)சரி
விளக்கம். \(\displaystyle\int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}\) என்ற வாய்ப்பாட்டை, பகுதி \(4+x^{2}\) (அதாவது அளவுரு \(2\)) உடன் பயன்படுத்த:
\[ \int_{0}^{a}\frac{dx}{4+x^{2}} = \frac{1}{2}\Big[\tan^{-1}\frac{x}{2}\Big]_{0}^{a} = \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{a}{2}. \]
இதை \(\dfrac{\pi}{8}\)-க்குச் சமப்படுத்த:
\[ \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{a}{2} = \frac{\pi}{8} \;\Rightarrow\; \tan^{-1}\frac{a}{2} = \frac{\pi}{4} \;\Rightarrow\; \frac{a}{2}=1 \;\Rightarrow\; a=2. \]
விடை (4).
Q16
பொதுத் தேர்வில் கேட்கப்பட்டது:
மார்ச் 2025
\( y^{2}=x(a-x) \) என்ற வளைவரையில் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை \(x\)-அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவு
- A. \( \pi a^{3} \)
- B. \( \dfrac{\pi a^{3}}{4} \)
- C. \( \dfrac{\pi a^{3}}{5} \)
- D. \( \dfrac{\pi a^{3}}{6} \)சரி
விளக்கம். \(y=0\) எனும்போது வளைவரை \(x\)-அச்சைச் சந்திக்கிறது; அதாவது \(x(a-x)=0\), எனவே \(x=0\), \(x=a\). \(x\)-அச்சைப் பொருத்துச் சுழற்ற,
\[ V = \pi\int_{0}^{a} y^{2}\,dx = \pi\int_{0}^{a}\big(ax-x^{2}\big)\,dx = \pi\Big[\frac{ax^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{a} = \pi a^{3}\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Big) = \frac{\pi a^{3}}{6}. \]
விடை (4).
Q17
\( f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{e^{\sin u}}{u}\,du,\ x>1 \) மற்றும் \( \displaystyle\int_{1}^{3}\dfrac{e^{\sin x^{2}}}{x}\,dx=\dfrac{1}{2}\big[f(a)-f(1)\big] \) எனில், \( a \) பெறக்கூடிய ஒரு மதிப்பு
- A. \( 3 \)
- B. \( 6 \)
- C. \( 9 \)சரி
- D. \( 5 \)
விளக்கம். இரண்டாவது தொகையீட்டில் \(t=x^{2}\) எனப் பதிலிட, \(dt=2x\,dx\) மற்றும் \(\dfrac{dx}{x}=\dfrac{dt}{2t}\). எல்லைகள் \(x=1,3\) என்பதிலிருந்து \(t=1,9\) என மாறுகின்றன:
\[ \int_{1}^{3}\frac{e^{\sin x^{2}}}{x}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{9}\frac{e^{\sin t}}{t}\,dt = \frac{1}{2}\big[f(9)-f(1)\big]. \]
இதை \(\dfrac{1}{2}\big[f(a)-f(1)\big]\) உடன் ஒப்பிட \(a=9\). விடை (3).
Q18
\( \displaystyle\int_{0}^{1}\big(\sin^{-1}x\big)^{2}\,dx \) இன் மதிப்பு
- A. \( \dfrac{\pi^{2}}{4}-1 \)
- B. \( \dfrac{\pi^{2}}{4}+2 \)
- C. \( \dfrac{\pi^{2}}{4}+1 \)
- D. \( \dfrac{\pi^{2}}{4}-2 \)சரி
விளக்கம். \(x=\sin\theta\), \(dx=\cos\theta\,d\theta\) எனப் பதிலிட; எல்லைகள் \(0\) முதல் \(\dfrac{\pi}{2}\) வரை:
\[ I = \int_{0}^{\pi/2}\theta^{2}\cos\theta\,d\theta. \]
பகுதித் தொகையிடல் முறையை இருமுறை பயன்படுத்த (\(\theta^{2}\)-ஐ வகையிடும் பகுதியாகக் கொண்டு):
\[ \int \theta^{2}\cos\theta\,d\theta = \theta^{2}\sin\theta + 2\theta\cos\theta - 2\sin\theta. \]
\(0\) முதல் \(\dfrac{\pi}{2}\) வரை மதிப்பிட: \(\dfrac{\pi}{2}\)-இல் \(\dfrac{\pi^{2}}{4}+0-2\), \(0\)-இல் \(0\). எனவே
\[ I = \frac{\pi^{2}}{4}-2. \]
விடை (4).
Q19
\( \displaystyle\int_{0}^{a}\big(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,\big)^{3}\,dx \) இன் மதிப்பு
- A. \( \dfrac{\pi a^{3}}{16} \)
- B. \( \dfrac{3\pi a^{4}}{16} \)சரி
- C. \( \dfrac{3\pi a^{2}}{8} \)
- D. \( \dfrac{3\pi a^{4}}{8} \)
விளக்கம். \(x=a\sin\theta\) என்ற முக்கோணவியல் பதிலீட்டைப் பயன்படுத்த, \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos\theta\), \(dx=a\cos\theta\,d\theta\). எல்லைகள் \(0\) முதல் \(\dfrac{\pi}{2}\) வரை:
\[ \int_{0}^{a}\big(a^{2}-x^{2}\big)^{3/2}\,dx = \int_{0}^{\pi/2} a^{3}\cos^{3}\theta\cdot a\cos\theta\,d\theta = a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta. \]
குறைப்பு வாய்ப்பாட்டின்படி \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta = \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}\); எனவே மதிப்பு \(\dfrac{3\pi a^{4}}{16}\). விடை (2).
Q20
\( \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt = x + \int_{x}^{1} t\,f(t)\,dt \) எனில் \( f(1) \) இன் மதிப்பு
- A. \( \dfrac{1}{2} \)சரி
- B. \( 2 \)
- C. \( 1 \)
- D. \( \dfrac{3}{4} \)
விளக்கம். இருபுறமும் \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிடுவோம். இடப்புறம் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்படி \(f(x)\) கிடைக்கும். வலப்புறம், \(\displaystyle\int_{x}^{1} t\,f(t)\,dt\)-இன் வகைக்கெழு எதிர்க்குறியுடன் வரும் (மாறி கீழ் எல்லையில் உள்ளது); அது \(-x f(x)\):
\[ f(x) = 1 - x\,f(x) \;\Rightarrow\; f(x)\,(1+x) = 1 \;\Rightarrow\; f(x) = \frac{1}{1+x}. \]
\(x=1\) எனப் பிரதியிட \(f(1)=\dfrac{1}{2}\). விடை (1).
இந்த தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் வினாக்கள் பற்றி
இவை தமிழ்நாடு அரசுப் பாடத்திட்டத்தின் (சமச்சீர் கல்வி) 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் பாடத்திட்டத்திலிருந்து தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் அத்தியாயத்திற்கான புத்தகப் பயிற்சி வினாக்கள். ஒவ்வொரு வினாவிலும் சரியான விடையும், அசல் படிப்படியான விளக்கமும் தரப்பட்டுள்ளன; இதனால் விடை மட்டுமல்ல, முறையையும் புரிந்துகொள்கிறீர்கள். மேலே உள்ள விடைக் குறிப்பைப் பயன்படுத்தி எந்த வினாவுக்கும் செல்லலாம்; பிறகு தேர்வுச் சூழலில் உங்களைச் சோதிக்க பயிற்சித் தேர்வு எழுதுங்கள்.
அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்
தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் அத்தியாயத்தில் எத்தனை வினாக்கள் உள்ளன?
இந்த அத்தியாயத்தில் 20 புத்தகப் பயிற்சி வினாக்கள் உள்ளன; ஒவ்வொன்றிலும் சரியான விடையும் படிப்படியான விளக்கமும் தரப்பட்டுள்ளன.
இந்த 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் வினாக்களை இலவசமாக ஆன்லைனில் பயிற்சி செய்யலாமா?
ஆம். இங்குள்ள ஒவ்வொரு வினா, விடை மற்றும் விளக்கமும் இலவசம்; அவற்றை நேரக் கட்டுப்பாட்டு பயிற்சித் தேர்வாகவும் எழுதலாம்.
தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் புத்தகப் பயிற்சி விடைகளை எங்கே காணலாம்?
ஒவ்வொரு வினாவுக்கும் சரியான விடை இந்தப் பக்கத்தில் விளக்கத்துடன் தனித்துக் காட்டப்பட்டுள்ளது; மேலே விரைவான விடைக் குறிப்பும் உள்ளது.
