தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் — சூத்திரத் தாள்
சூத்திரத் தொகுப்பு
கூட்டுத்தொகையின் எல்லை
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{r=1}^{n} f\!\left(a+(b-a)\tfrac{r}{n}\right)\] \[\sum_{r=1}^{n} r=\frac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{r=1}^{n} r^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum_{r=1}^{n} r^{3}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}\]அடிப்படைத் தேற்றம்
\[\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt=f(x),\qquad \int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a)\]வரம்பிற்குட்பட்ட தொகையீட்டுப் பண்புகள்
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{b} f(a+b-x)\,dx\] \[\int_{0}^{a} f(x)\,dx=\int_{0}^{a} f(a-x)\,dx\] \[\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\begin{cases}2\displaystyle\int_{0}^{a} f(x)\,dx,& f(-x)=f(x)\\ 0,& f(-x)=-f(x)\end{cases}\] \[\int_{0}^{2a} f(x)\,dx=\begin{cases}2\displaystyle\int_{0}^{a} f(x)\,dx,& f(2a-x)=f(x)\\ 0,& f(2a-x)=-f(x)\end{cases}\]பெர்னூலியின் சூத்திரம் (பகுதிப்படுத் தொகையிடல்)
\[\int u\,v\,dx=uv_{1}-u'v_{2}+u''v_{3}-\cdots\]இங்கு \(u',u'',\dots\) என்பன \(u\) இன் தொடர் வகையீடுகள்; \(v_{1},v_{2},\dots\) என்பன \(v\) இன் தொடர் தொகையீடுகள்.
பின்னல் (Reduction) சூத்திரம்
\[\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\,dx=\frac{(n-1)(n-3)\cdots}{n(n-2)\cdots}\times k\]\(n\) சமப்படை எனில் \(k=\dfrac{\pi}{2}\); \(n\) ஒற்றைப்படை எனில் \(k=1\).
\[\int_{0}^{\pi/2}\sin^{m}x\,\cos^{n}x\,dx=\frac{(m-1)(m-3)\cdots\,(n-1)(n-3)\cdots}{(m+n)(m+n-2)\cdots}\times k\]\(m,n\) இரண்டும் சமப்படை எனில் மட்டும் \(k=\dfrac{\pi}{2}\); இல்லையெனில் \(k=1\).
காமாத் தொகையீடுகள்
\[\Gamma(n)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{\,n-1}\,dx=(n-1)!,\qquad \Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n)\] \[\int_{0}^{\infty} e^{-ax}x^{n}\,dx=\frac{n!}{a^{\,n+1}},\qquad \Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\]பரப்பளவு
\[A=\int_{a}^{b} y\,dx\ \ (x\text{-அச்சு}),\qquad A=\int_{c}^{d} x\,dy\ \ (y\text{-அச்சு})\] \[A=\int_{a}^{b}\big(y_{\text{மேல்}}-y_{\text{கீழ்}}\big)\,dx\quad(\text{இரு வளைவரைகளுக்கு இடையே})\]வட்டம் \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\): பரப்பு \(=\pi a^{2}\). நீள்வட்டம் \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\): பரப்பு \(=\pi ab\).