சமன்பாட்டியல்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

சமன்பாட்டியல் பற்றி

நடுத்தரம் ~120 நிமிடப் படிப்பு

பல நடைமுறைக் கணக்குகள் இறுதியில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாக மாறுகின்றன. ஒரு சதுரத் தகட்டின் மூலைகளில் சதுரங்களை வெட்டி மூடியில்லாத பெட்டி செய்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். குறிப்பிட்ட கன அளவு வேண்டும் என்றால் ஒரு முப்படிச் சமன்பாடு கிடைக்கும். இத்தகைய சமன்பாடுகளை எப்போதும் முழுமையாகத் தீர்க்காமலேயே கையாளும் கருவிகளை இந்தப் பாடம் தருகிறது.

பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களுக்கும் கெழுக்களுக்கும் உள்ள தொடர்புதான் மையக் கருத்து. இருபடிச் சமன்பாட்டில் மூலங்களின் கூடுதல் $-\frac{b}{a}$, பெருக்கற்பலன் $\frac{c}{a}$ என்பது உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். வியட்டாவின் சூத்திரங்கள் (Vieta's formulae) இதை எந்தப் படிக்கும் நீட்டிக்கின்றன. எத்தனை மூலங்களைத் தேட வேண்டும் என்பதை இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் சொல்கிறது. மெய்யல்லாத மூலங்கள் ஏன் இணைகளாக வருகின்றன என்பதை அலகு 2 இல் படித்த கலப்பெண்கள் விளக்குகின்றன.

தேர்வில் கொடுக்கப்பட்ட மூலங்களிலிருந்து சமன்பாடு அமைத்தல், $2 + i$ அல்லது $1 + \sqrt{3}$ போன்ற ஒரு மூலம் கொடுக்கப்பட்டால் மீதி மூலங்களைக் காணுதல், தலைகீழ் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல், டெக்கார்ட்டின் குறி விதி மூலம் எத்தனை மிகை, குறை மூலங்கள் இருக்கலாம் என்று கூறுதல் ஆகியவை கேட்கப்படும். தொடங்கும் முன் வியட்டாவின் தொடர்புகளைச் சரியான குறிகளுடன் கவனமாக எழுதுவதே மிகவும் உதவும் பழக்கம்.

நீங்கள் கற்பவை

• முப்படி மற்றும் உயர்படிச் சமன்பாடுகளுக்கு மூலங்களின் கூடுதல், பெருக்கற்பலன்களை எழுதுதல்.
• கொடுக்கப்பட்ட மூலங்களிலிருந்து, அல்லது வேறொரு சமன்பாட்டின் மூலங்களுடன் தொடர்புடைய மூலங்களிலிருந்து, பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டை அமைத்தல்.
• ஒரு மெய்யல்லாத கலப்பெண் மூலம் அல்லது ஒரு விகிதமுறா மூலம் கொடுக்கப்பட்டால் மீதி மூலங்களைக் காணுதல்.
• தலைகீழ் சமன்பாடுகளை அடையாளம் கண்டு, $y = x + \frac{1}{x}$ என்ற பிரதியிடல் மூலம் தீர்த்தல்.
• விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் மூலம் இயலக்கூடிய விகிதமுறு மூலங்களைப் பட்டியலிட்டுச் சோதித்தல்.
• டெக்கார்ட்டின் குறி விதி மூலம் மிகை, குறை, மெய்யல்லாத மூலங்களின் இயலக்கூடிய எண்ணிக்கைகளைக் காணுதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல், அவற்றின் மூலங்களுக்கும் கெழுக்களுக்கும் இடையிலான தொடர்புகள்.
• அலகு 2 இல் படித்த கலப்பெண்களும் இணைக் கலப்பெண்களும்.
• காரணித் தேற்றம், மீதித் தேற்றம், தொகுமுறை வகுத்தல்.

சமன்பாட்டியல் — விரிவான விளக்கம்

பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளும் அவற்றின் மூலங்களும்

பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளின் அடிப்படைகள்

$n$ படி பல்லுறுப்புக்கோவை $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$; இங்கு $a_n \neq 0$. $P(c) = 0$ ஆகும் மதிப்பு $c$, பல்லுறுப்புக்கோவையின் பூச்சியம் (Zero); $P(x) = 0$ என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் (Root). $a_n = 1$ எனில் அது ஒற்றைக்கெழு பல்லுறுப்புக்கோவை (Monic). $(x - c)^m$ ஆனது $P(x)$ ஐ வகுத்து, $(x - c)^{m+1}$ வகுக்கவில்லை எனில், மூலம் $c$ இன் பன்மடிமை (Multiplicity) $m$.

வியட்டாவின் சூத்திரங்களும் சமன்பாடு அமைத்தலும்

$\alpha, \beta, \gamma$ ஐ மூலங்களாகக் கொண்ட முப்படிச் சமன்பாடு $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ க்கு: $\sum \alpha = -\frac{b}{a}$, $\sum \alpha\beta = \frac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$. குறிகள் கழித்தலில் தொடங்கி மாறி மாறி வருகின்றன. எந்தப் படிக்கும் இதே அமைப்புதான். மறுதிசையில், $\alpha, \beta, \gamma$ ஐ மூலங்களாகக் கொண்ட ஒற்றைக்கெழு முப்படிச் சமன்பாடு $x^3 - (\sum \alpha)x^2 + (\sum \alpha\beta)x - \alpha\beta\gamma = 0$. கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்க்காமலேயே, அதன் மூலங்களின் வர்க்கங்கள் அல்லது தலைகீழிகளை மூலங்களாகக் கொண்ட சமன்பாட்டையும் இதன் மூலம் அமைக்கலாம்.

அடிப்படைத் தேற்றமும் மூலங்களின் தன்மையும்

$n \geq 1$ படி கொண்ட ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கும் குறைந்தது ஒரு கலப்பெண் மூலம் உண்டு என்று இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் கூறுகிறது. இதிலிருந்து, பன்மடிமையுடன் எண்ணினால் சரியாக $n$ கலப்பெண் மூலங்கள் உண்டு. இணையாக வரும் இரண்டு முடிவுகள் வேலையைக் குறைக்கின்றன. கெழுக்கள் மெய்யெண்களாக இருந்து $a + ib$ ($b \neq 0$) ஒரு மூலம் எனில், $a - ib$ உம் ஒரு மூலம். கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருந்து, $p, q$ விகிதமுறு எண்கள், $\sqrt{q}$ விகிதமுறா எண் எனும்போது $p + \sqrt{q}$ ஒரு மூலம் எனில், $p - \sqrt{q}$ உம் ஒரு மூலம். இத்தகைய ஒரு மூலம் கொடுக்கப்பட்டால் உடனே ஒரு இருபடிக் காரணி கிடைக்கும்.

உயர்படிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்

விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் (Rational root theorem): முழு எண் கெழுக்கள் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு, மிகச் சுருக்கிய வடிவில் உள்ள $\frac{p}{q}$ ஒரு மூலம் எனில், $p$ ஆனது $a_0$ ஐ வகுக்கும், $q$ ஆனது $a_n$ ஐ வகுக்கும். இதனால் சோதிக்க வேண்டிய மதிப்புகளின் சிறிய பட்டியல் கிடைக்கிறது. $x^n P\left(\frac{1}{x}\right) = \pm P(x)$ எனில் பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் வகை; அப்போது $\alpha$ ஒரு மூலம் எனில் $\frac{1}{\alpha}$ உம் மூலம். $a_k = a_{n-k}$ ஆக உள்ள இரட்டைப் படி தலைகீழ் சமன்பாட்டை $x^{n/2}$ ஆல் வகுத்து $y = x + \frac{1}{x}$ எனப் பிரதியிட்டால் படி பாதியாகக் குறையும். $\sqrt{x}$ அல்லது $e^x$ கொண்ட சில பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தகுந்த பிரதியிடல் மூலம் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளாக மாற்றலாம். சில விடைகள் பொருந்தாமல் போகலாம்; எனவே விடைகளை மூலச் சமன்பாட்டில் சரிபார்க்கவும்.

டெக்கார்ட்டின் குறி விதி

$P(x)$ ஐ இறங்கு வரிசை அடுக்குகளில் எழுதி, அடுத்தடுத்த பூச்சியமற்ற கெழுக்களுக்கு இடையே குறி மாற்றங்களை எண்ணுங்கள். மிகை மூலங்களின் எண்ணிக்கை இந்த எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக இருக்காது. $P(-x)$ க்கும் இதேபோல் செய்தால் குறை மூலங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை கிடைக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, $P(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$ இல் மூன்று குறி மாற்றங்கள்; எனவே அதிகபட்சம் மூன்று மிகை மூலங்கள். $P(-x) = -x^3 - 2x^2 - x - 5$ இல் குறி மாற்றம் இல்லை; எனவே குறை மூலங்கள் இல்லை. பூச்சியமும் மூலம் அல்ல. எனவே மூன்று மூலங்களும் மிகை எண்கள், அல்லது ஒரு மிகை மூலமும் ஒரு சோடி மெய்யல்லாத மூலங்களும்.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• உறுப்புகளை $x$ இன் இறங்கு வரிசை அடுக்குகளில் அமைக்கும் முன்பே டெக்கார்ட்டின் விதிக்குக் குறி மாற்றங்களை எண்ணுவது.
• கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்களாக இல்லாதபோது $p + \sqrt{q}$ உடன் $p - \sqrt{q}$ ஐ இணைப்பது. இணைக் கலப்பெண் விதிக்கு மெய்க் கெழுக்கள் தேவைப்படுவது போல, இந்த விதிக்கு விகிதமுறு கெழுக்கள் தேவை.
• மீண்டும் வரும் மூலங்களை எண்ணத் தவறுவது. $(x - 2)^2$ ஒரு காரணி எனில், மொத்த $n$ மூலங்களில் 2 என்ற மூலம் இரண்டு முறை எண்ணப்படும்.
• வியட்டாவின் சூத்திரங்களில் குறியைத் தவறாக எழுதுவது. $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ க்கு மூலங்களின் கூடுதல் $-\frac{b}{a}$; $\frac{b}{a}$ அல்ல. பெருக்கற்பலன் $-\frac{d}{a}$.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

பூச்சியத்திற்கும் மூலத்திற்கும் என்ன வேறுபாடு?

பூச்சியம் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு உரியது: $P(c) = 0$ ஆகும் மதிப்பு $c$. மூலம் சமன்பாட்டிற்கு உரியது: $P(x) = 0$ இன் தீர்வு. இரண்டும் ஒரே எண்கள்தான். நடைமுறையில் இரண்டு சொற்களும் ஒன்றுக்குப் பதில் மற்றொன்றாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

முப்படிச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரே ஒரு மெய் மூலம் மட்டும் இருக்க முடியுமா?

ஆம். கெழுக்கள் மெய்யெண்கள் எனில், மெய்யல்லாத மூலங்கள் இணைகளாக வருகின்றன. எனவே முப்படிச் சமன்பாட்டிற்கு மூன்று மெய் மூலங்கள், அல்லது ஒரு மெய் மூலமும் ஒரு இணைக் கலப்பெண் மூலச் சோடியும் இருக்கும். எந்த நிலையிலும், மெய்க் கெழுக்கள் கொண்ட முப்படிச் சமன்பாட்டிற்குக் குறைந்தது ஒரு மெய் மூலம் எப்போதும் உண்டு. எடுத்துக்காட்டாக, $x^3 - 1 = 0$ க்கு 1 என்ற மெய் மூலமும் $\omega, \omega^2$ என்ற சோடியும் உண்டு. கெழுக்கள் மெய்யெண்கள் இல்லையெனில் இந்த உறுதி கிடையாது.

ஒரு சமன்பாடு தலைகீழ் சமன்பாடா என்று எப்படி அறிவது?

இரு முனைகளிலிருந்தும் கெழுக்களைப் பாருங்கள். அவை பொருந்தினால் ($a_k = a_{n-k}$) அல்லது எதிர்க் குறிகளுடன் பொருந்தினால் ($a_k = -a_{n-k}$), சமன்பாடு தலைகீழ் சமன்பாடு. இரண்டு நிலைகளிலும் $\alpha$ ஒரு மூலம் எனில் $\frac{1}{\alpha}$ உம் மூலம். ஒற்றைப் படி கொண்ட முதல் வகை தலைகீழ் சமன்பாட்டிற்கு $-1$ ஒரு மூலம்; இரண்டாம் வகைக்கு $1$ ஒரு மூலம்.

டெக்கார்ட்டின் விதி மூலங்களின் சரியான எண்ணிக்கையைத் தருமா?

இல்லை. மிகை மூலங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கையையும் குறை மூலங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கையையும் மட்டுமே தரும். மிகை மூலங்களின் உண்மையான எண்ணிக்கை குறி மாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாக இருக்கும், அல்லது அதை விட ஒரு இரட்டை எண் அளவு குறைவாக இருக்கும். குறை மூலங்களுக்கும் இதுவே பொருந்தும்.

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தை எப்போது பயன்படுத்தலாம்?

எல்லாக் கெழுக்களும் முழு எண்களாக இருக்கும்போது. மாறிலி உறுப்பின் காரணிகளையும் முதன்மைக் கெழுவின் காரணிகளையும் பட்டியலிட்டு, இரண்டு குறிகளுடனும் ஒவ்வொரு பின்னம் $\frac{p}{q}$ ஐயும் அமைத்து, அந்த மதிப்புகளைச் சோதியுங்கள். $2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$ க்கு, சோதிக்க வேண்டியவை $\pm 1$, $\pm \frac{1}{2}$.

ஒரு மூலத்திற்குப் பன்மடிமை உண்டு என்றால் என்ன பொருள்?

அந்த மூலத்திற்கான காரணி எத்தனை முறை வருகிறது என்பதை அது சொல்கிறது. $(x - 1)^3(x + 2) = 0$ இல், மூலம் 1 இன் பன்மடிமை 3, $-2$ இன் பன்மடிமை 1. எனவே 4 படி கொண்ட இந்தச் சமன்பாட்டிற்குப் பன்மடிமையுடன் எண்ணினால் நான்கு மூலங்கள்.