சமன்பாட்டியல்: புத்தகப் பயிற்சி ஒரு மதிப்பெண் வினா விடைகள், விளக்கத்துடன் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல்)

விளக்கம். \( x^{3}+64=0 \) என அமைத்தால் \( x^{3}=-64 \), எனவே \( x=\sqrt[3]{-64}=-4 \). இதுவே ஒரே மெய்யெண் மூலம்; மீதி இரண்டும் கலப்பெண் இணை மூலங்கள். கொடுக்கப்பட்டவற்றுள் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் மதிப்பு \( -4 \) மட்டுமே.

விளக்கம். சேர்ப்புச் சார்பு \( h(x)=f\big(g(x)\big) \) -ல், \( g(x) \) -ன் அதிக படியுள்ள உறுப்பு \( x^{n} \). அதனை \( m \) படியுள்ள \( f \) -ல் பதிலிட்டால் கிடைக்கும் அதிக படி உறுப்பு \( (x^{n})^{m}=x^{mn} \). எனவே \( h \) -ன் படி \( mn \).

விளக்கம். இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்படி, \( n \) படியுள்ள ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கும், பெருக்குத்திறனுடன் எண்ணினால், சரியாக \( n \) கலப்பெண் மூலங்கள் உண்டு. அவை வெவ்வேறாகவோ மீண்டுவருபவையாகவோ, மெய்யாகவோ கற்பனையாகவோ இருக்கலாம்; ஆனால் மொத்த எண்ணிக்கை எப்போதும் \( n \).

விளக்கம். வியட்டாவின் சூத்திரப்படி \( \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=q \) மற்றும் \( \alpha\beta\gamma=-r \). எனவே \( \displaystyle\sum\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}=\frac{q}{-r}=-\frac{q}{r} \).

விளக்கம். விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, ஒரு சாத்தியமான மூலம் \( \dfrac{p}{q} \) -ல் தொகுதி \( p \) என்பது மாறிலி உறுப்பு \( -5 \) -ன் காரணியாகவும் (\( \pm1,\ \pm5 \)), பகுதி \( q \) என்பது தலைமைக் கெழு \( 4 \) -ன் காரணியாகவும் (\( \pm1,\ \pm2,\ \pm4 \)) இருக்க வேண்டும். \( \dfrac{4}{5} \) -ல் தொகுதி \( 4 \) என்பது \( 5 \) -ன் காரணி அல்ல; பகுதி \( 5 \) என்பது \( 4 \) -ன் காரணி அல்ல. எனவே \( \dfrac{4}{5} \) சாத்தியமான விகிதமுறு மூலம் அல்ல.

விளக்கம். \( x^{3}-kx^{2}+9x=x\left(x^{2}-kx+9\right) \). எனவே ஒரு மூலம் \( x=0 \). மீதி இரு மூலங்களும் மெய்யாக இருக்க, இருபடி \( x^{2}-kx+9 \) -ன் தன்மைகாட்டி குறையற்றதாக இருக்க வேண்டும்: \( (-k)^{2}-4(1)(9)=k^{2}-36\ge 0 \), அதாவது \( |k|\ge 6 \). \( |k|=6 \) எனில் இருபடிக்கு இரட்டை மெய்மூலம் கிடைக்கும்.

விளக்கம். \( \sin^{4}x-2\sin^{2}x+1=\left(\sin^{2}x-1\right)^{2} \). இது பூச்சியமாக \( \sin^{2}x=1 \), அதாவது \( \sin x=\pm 1 \). \( [0,\,2\pi] \) -ல் \( \sin x=1 \) என்பது \( x=\dfrac{\pi}{2} \) -லும், \( \sin x=-1 \) என்பது \( x=\dfrac{3\pi}{2} \) -லும் நிகழும். எனவே மொத்தம் \( 2 \) தீர்வுகள்.

விளக்கம்.

\(P(x)=x^{3}+12x^{2}+10ax+1999\) -க்கு டெகார்ட்டின் குறி விதியைப் பயன்படுத்துவோம். கெழுக்கள் \(1,\ 12,\ 10a,\ 1999\). \(a\ge 0\) எனில் எல்லாக் கெழுக்களும் குறையற்றவை; குறிமாற்றம் இல்லாததால் மிகையெண் பூச்சியமாக்கி எதுவும் இல்லை. \(a\lt 0\) ஆகும்போது மட்டுமே குறிகள் \(+,\,+,\,-,\,+\) என அமைந்து இரண்டு குறிமாற்றங்கள் ஏற்படுகின்றன; மிகையெண் பூச்சியமாக்கி தோன்றக்கூடிய ஒரே சூழல் இதுவே. எனவே பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மிகையெண் பூச்சியமாக்கி இருக்கக்கூடிய நிபந்தனை \(a\lt 0\).

விளக்கம். \( x=-1 \) -ஐ பதிலிட்டால் \( (-1)^{3}+2(-1)+3=0 \); எனவே \( x=-1 \) ஒரு மூலம், மேலும் \( x^{3}+2x+3=(x+1)\left(x^{2}-x+3\right) \). இருபடி \( x^{2}-x+3 \) -ன் பண்புகாட்டி \( (-1)^{2}-4(1)(3)=-11<0 \); எனவே அதன் இரு மூலங்களும் கற்பனை (கலப்பெண்) இணைகள். ஆகவே ஒரு எதிர் மெய்யெண் மூலமும் இரண்டு கற்பனை மூலங்களும் உள்ளன.

விளக்கம்.

ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின்படி \(\displaystyle\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}(-1)^{r}x^{r}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}(-x)^{r}=(1-x)^{n}\). \((1-x)^{n}\) -ன் ஒரே பூச்சியமாக்கி \(x=1\); அது \(n\) முறை மீண்டும் வருகிறது. \(x=1\) மிகையெண் என்பதால், பெருக்குத்திறனுடன் எண்ணும்போது \(n\) பூச்சியமாக்கிகளும் மிகையெண்களே. டெகார்ட்டின் குறி விதியும் இதனுடன் ஒத்துப்போகிறது: கெழுக்களின் குறிகள் மாறி மாறி வருவதால் \(n\) குறிமாற்றங்கள் உள்ளன; இங்கு அவை அனைத்தும் மிகையெண் பூச்சியமாக்கிகளாக அமைகின்றன.