துணைத் தேர்வு 2021 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் பொதுத் தேர்வின் 20 ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், வினாத்தாள் வரிசையில், சரியான விடை குறிக்கப்பட்டு சுருக்கமான விளக்கத்துடன்.
Q1
\(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}\) -ன் நேர்மாறு :
- A. \(\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & -3 \end{bmatrix}\)
- B. \(\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}\)சரி
- C. \(\begin{bmatrix} -3 & 5 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\)
- D. \(\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}\)
விளக்கம். \(|A| = 6-5 = 1\). எனவே \(A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}\).
Q2
\(\frac{(x-1)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{25} = 1\) என்ற அதிபரவளையத்தின் மையம் :
- A. \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
- B. \((-1, 1)\)
- C. \((1, -1)\)சரி
- D. \((0, 0)\)
விளக்கம். \(\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\) உடன் ஒப்பிட, மையம் \((h, k) = (1, -1)\).
Q3
\(\frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}} = 0\) என்ற வகைக்கெழு சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி :
- A. 2, 6
- B. 2, 3சரி
- C. 2, 4
- D. 3, 3
விளக்கம். உயர் வரிசை வகைக்கெழு \(\frac{d^2y}{dx^2}\), எனவே வரிசை 2. \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}} = -\left(\frac{d^2y}{dx^2} + x^{\frac{1}{4}}\right)\) என எழுதி முப்படியாக்க \(\left(\frac{d^2y}{dx^2} + x^{\frac{1}{4}}\right)^3 = -\frac{dy}{dx}\) கிடைக்கிறது; எனவே படி 3.
Q4
1, 2, 3, 4, 5, 6 எண்ணிடப்பட்ட அறுபக்க பகடையும், 1, 2, 3, 4 என எண்ணிடப்பட்ட நான்கு பக்க பகடையும் சோடியாக உருட்டப்பட்டு இரண்டும் காட்டும் எண்களின் கூட்டல் தொகை தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த கூட்டலைக் குறிக்கும் சமவாய்ப்பு மாறி X எனில், கூடுதல் 7 -ன் நேர்மாறு பிம்பத்தின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை :
விளக்கம். \(X^{-1}(7) = \{(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}\); இதில் 4 உறுப்புகள் உள்ளன.
Q5
\(|z| = 1\) எனில் \(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(\frac{1}{z}\)
- B. \(z\)சரி
- C. 1
- D. \(\bar{z}\)
விளக்கம். \(z\bar{z} = |z|^2 = 1\) என்பதால் \(\bar{z} = \frac{1}{z}\). எனவே \(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}} = \frac{z(1+z)}{z+1} = z\).
Q6
\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx\) -இன் மதிப்பு :
- A. 0
- B. \(\frac{3}{2}\)
- C. \(\frac{2}{3}\)சரி
- D. \(\frac{1}{2}\)
விளக்கம். \(t = \sin x\) எனப் பிரதியிட, தொகை \(\left[\frac{\sin^3 x}{3}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}\).
Q7
\(f(x) = x^2\) என்ற சார்பு \([0, \infty)\) என்ற இடைவெளியில் :
- A. கணக்கிட இயலாது
- B. ஏறும் சார்புசரி
- C. ஏறும் மற்றும் இறங்கும் சார்பு
- D. இறங்கும் சார்பு
விளக்கம். \([0, \infty)\) இல் \(f'(x) = 2x \ge 0\) (\(x = 0\) இல் மட்டும் பூச்சியம்), எனவே \(f\) ஏறும் சார்பு.
Q8
\(\hat{i}+\hat{j},\ \hat{i}+2\hat{j},\ \hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}\) என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு :
- A. \(\pi\)சரி
- B. \(\frac{\pi}{2}\)
- C. \(\frac{\pi}{4}\)
- D. \(\frac{\pi}{3}\)
விளக்கம். கன அளவு \(= \left|\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & \pi \end{vmatrix}\right| = \pi(2-1) = \pi\).
Q9
மெய் எண்களின் கணம் \(\mathbb{R}\) -ன் மீது '\(*\)' பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது எனில், கீழ்க்காண்பவைகளில் எது \(\mathbb{R}\) -ன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல ?
- A. \(a * b = a\)
- B. \(a * b = \min(a, b)\)
- C. \(a * b = a^b\)சரி
- D. \(a * b = \max(a, b)\)
விளக்கம். \(a^b\) எப்போதும் மெய் எண்ணாக இருக்காது; எ.கா. \((-1)^{\frac{1}{2}}\) மெய் எண் அல்ல. எனவே \(a * b = a^b\) என்பது \(\mathbb{R}\) -ன் மீது அடைவு பெறவில்லை. மற்ற மூன்றும் எப்போதும் மெய் எண்களைத் தரும்.
Q10
t என்ற காலத்தில் ஒரு நகரும் 's' துகளின் நிலை \(s(t) = 5t^2 - 2t - 8\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. துகள் ஓய்வு நிலைக்கு வரும் நேரம் :
- A. 1
- B. 0
- C. 3
- D. \(\frac{1}{3}\)சரி
விளக்கம். ஓய்வு நிலையில் \(v = s'(t) = 0\). அச்சிடப்பட்டபடி \(10t - 2 = 0\) எனில் \(t = \frac{1}{5}\); இது விடைகளில் இல்லை. வினாத்தாளில் அச்சுப்பிழை உள்ளது: பாடநூல் வினா \(s(t) = 3t^2 - 2t - 8\); அதற்கு \(6t - 2 = 0\) எனில் \(t = \frac{1}{3}\) (எதிர்பார்க்கப்பட்ட விடை).
Q11
\(f(x) = \frac{1}{12}\), \(a < x < b\) எனும் சார்பு ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பினைக் குறிக்கிறது எனில், பின்வருவனவற்றுள் எது a மற்றும் b -ன் மதிப்புகளாக இருக்க இயலாது ?
- A. 7 மற்றும் 19
- B. 0 மற்றும் 12
- C. 16 மற்றும் 24சரி
- D. 5 மற்றும் 17
விளக்கம். \(\int_a^b \frac{1}{12}\,dx = 1\) எனில் \(b - a = 12\). 16 மற்றும் 24 க்கு \(b - a = 8\); எனவே இவை மதிப்புகளாக இருக்க இயலாது.
Q12
P(x, y) என்ற புள்ளி, குவியங்கள் \(F_1(3, 0)\) மற்றும் \(F_2(-3, 0)\) கொண்ட கூம்பு வளைவு \(16x^2 + 25y^2 = 400\) -ன் மீதுள்ள புள்ளி எனில் \(PF_1 + PF_2\) -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\) என்பது \(a = 5\) உடைய நீள்வட்டம். அதன் மீதுள்ள எந்தப் புள்ளிக்கும் \(PF_1 + PF_2 = 2a = 10\).
Q13
\(\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \lambda\hat{j} + \hat{k}) = 3\) மற்றும் \(\vec{r} \cdot (4\hat{i} + \hat{j} - \mu\hat{k}) = 5\) ஆகிய தளங்கள் இணை எனில், \(\lambda\) மற்றும் \(\mu\) -ன் மதிப்புகள் முறையே :
- A. \(-\frac{1}{2}, -2\)சரி
- B. \(\frac{1}{2}, -2\)
- C. \(\frac{1}{2}, 2\)
- D. \(-\frac{1}{2}, 2\)
விளக்கம். செங்கோடுகள் இணையாக இருக்க வேண்டும்: \(\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{1} = \frac{1}{-\mu}\). எனவே \(\lambda = -\frac{1}{2}\), \(\mu = -2\).
Q14
\(x^3 + 64\) -ன் ஒரு பூச்சியமாக்கி :
- A. \(4i\)
- B. 0
- C. \(-4\)சரி
- D. 4
விளக்கம். \((-4)^3 + 64 = -64 + 64 = 0\); எனவே \(-4\) ஒரு பூச்சியமாக்கி.
Q15
\(\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0\) -ன் தீர்வு :
- A. \(x = ce^{-\int P\,dy}\)
- B. \(y = ce^{\int P\,dx}\)
- C. \(x = ce^{\int P\,dy}\)
- D. \(y = ce^{-\int P\,dx}\)சரி
விளக்கம். மாறிகளைப் பிரிக்க \(\frac{dy}{y} = -P\,dx\); எனவே \(\log y = -\int P\,dx + \log c\), அதாவது \(y = ce^{-\int P\,dx}\).
Q16
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x \, dx =\)
- A. \(\frac{\pi}{2}\)
- B. \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^7 x \, dx\)சரி
- C. 0
- D. 1
விளக்கம். \(\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx\) என்ற பண்பை \(a = \frac{\pi}{2}\) உடன் பயன்படுத்த \(\sin^7 x\) என்பது \(\cos^7 x\) ஆகிறது. (இரண்டும் \(\frac{16}{35}\).)
Q17
\(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\) -ன் மதிப்பு :
- A. 0
- B. \(\frac{\pi}{2}\)சரி
- C. \(\frac{\pi}{3}\)
- D. \(\pi\)
விளக்கம். \(|x| \le 1\) க்கு \(\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}\); இங்கு \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}\).
Q18
A, B மற்றும் C என்பன நேர்மாறு காணத்தக்கவாறு ஏதேனுமொரு வரிசையில் உள்ள அணிகள் எனில் பின்வருவனவற்றில் எது உண்மையல்ல ?
- A. \(\det A^{-1} = (\det A)^{-1}\)
- B. \(\text{adj } A = |A|A^{-1}\)
- C. \((ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}\)
- D. \(\text{adj}(AB) = (\text{adj } A)(\text{adj } B)\)சரி
விளக்கம். சரியான விதி \(\text{adj}(AB) = (\text{adj } B)(\text{adj } A)\) (வரிசை மாற்று விதி); எனவே (4) உண்மையல்ல. மற்ற மூன்றும் நிலையான முடிவுகள்.
Q19
கலப்பெண் \((i^{25})^3\) -இன் மதிப்பு :
- A. 1
- B. \(i\)
- C. \(-i\)சரி
- D. \(-1\)
விளக்கம். \(i^{25} = i^{24} \cdot i = i\); எனவே \((i^{25})^3 = i^3 = -i\).
Q20
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு 4 செ.மீ. மற்றும் அதன் பிழை 0.1 செ.மீ. எனில் கன அளவு கணக்கீட்டில் ஏற்படும் பிழை (கன செ.மீட்டரில்) :
- A. 2
- B. 0.4
- C. 4.8சரி
- D. 0.45
விளக்கம். \(V = x^3\); எனவே \(dV = 3x^2\,dx = 3(16)(0.1) = 4.8\) கன செ.மீ.
