மார்ச் 2024 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் பொதுத் தேர்வின் 20 ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், வினாத்தாள் வரிசையில், சரியான விடை குறிக்கப்பட்டு சுருக்கமான விளக்கத்துடன்.
Q1
\(y^2=4x\) என்ற பரவளையத்திற்கும் அதன் செவ்வகலத்திற்கும் இடையே பரப்பானது :
- A. \(\frac{8}{3}\)சரி
- B. \(\frac{2}{3}\)
- C. \(\frac{5}{3}\)
- D. \(\frac{4}{3}\)
விளக்கம். செவ்வகலம் x = 1. பரப்பு = \(2\int_0^1 2\sqrt{x}\,dx = 4\cdot\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\).
Q2
\(\int_0^a \left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^3 dx\) -இன் மதிப்பு :
- A. \(\frac{3\pi a^2}{8}\)
- B. \(\frac{\pi a^3}{16}\)
- C. \(\frac{3\pi a^4}{8}\)
- D. \(\frac{3\pi a^4}{16}\)சரி
விளக்கம். \(x=a\sin\theta\) எனப் பிரதியிட: தொகை = \(a^4\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta = a^4\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi a^4}{16}\).
Q3
\(P(x, y)\) என்ற புள்ளி குவியங்கள் \(F_1(3, 0)\) மற்றும் \(F_2(-3, 0)\) கொண்ட கூம்பு வளைவு \(16x^2+25y^2=400\) -ன் மீதுள்ள புள்ளி எனில் \(PF_1+PF_2\) -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். நீள்வட்டம் \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\), எனவே a = 5. நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள எந்தப் புள்ளிக்கும் \(PF_1+PF_2=2a=10\).
Q4
\(|z_1|=1, |z_2|=2, |z_3|=3\) மற்றும் \(|9z_1z_2+4z_1z_3+z_2z_3|=12\) எனில், \(|z_1+z_2+z_3|\) -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். \(9=z_3\bar{z}_3,\ 4=z_2\bar{z}_2,\ 1=z_1\bar{z}_1\) என்பதால், கோவை \(|z_1z_2z_3|\,|\bar{z}_1+\bar{z}_2+\bar{z}_3| = 6|z_1+z_2+z_3| = 12\); எனவே \(|z_1+z_2+z_3|=2\).
Q5
\((p\vee q)\wedge(p\vee r)\) என்ற மெய் அட்டவணையில் உள்ள நிரைகளின் எண்ணிக்கை :
விளக்கம். p, q, r என மூன்று தனிக் கூற்றுகள் உள்ளன; எனவே மெய் அட்டவணையில் \(2^3=8\) நிரைகள்.
Q6
\(\vec{\beta}\) மற்றும் \(\vec{\gamma}\) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் \(\vec{\alpha}\) அமைந்துள்ளது எனில்,
- A. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=0\)சரி
- B. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=1\)
- C. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=2\)
- D. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=-1\)
விளக்கம். ஒரே தளத்திலமைந்த மூன்று வெக்டர்களின் திசையிலி முப்பெருக்கம் பூச்சியம்; எனவே \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=0\).
Q7
\(y=Ae^x+Be^{-x}\), இங்கு A, B என்பன ஏதேனும் இரு மாறிலிகள், எனும் வளைவரைத் தொகுதியின் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு :
- A. \(\frac{dy}{dx}+y=0\)
- B. \(\frac{d^2y}{dx^2}+y=0\)
- C. \(\frac{dy}{dx}-y=0\)
- D. \(\frac{d^2y}{dx^2}-y=0\)சரி
விளக்கம். \(y'=Ae^x-Be^{-x}\), \(y''=Ae^x+Be^{-x}=y\); எனவே \(\frac{d^2y}{dx^2}-y=0\).
Q8
\(f(x)=\frac{1}{x}\) -ன் கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடு :
- A. \(x=c\)
- B. \(y=0\)சரி
- C. \(y=c\)
- D. \(x=0\)
விளக்கம். \(x\to\pm\infty\) எனும்போது \(\frac{1}{x}\to 0\); எனவே கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடு \(y=0\).
Q9
\(f(x)=\frac{x}{x+1}\) எனில், அதன் வகையீடு :
- A. \(\frac{1}{x+1}dx\)
- B. \(\frac{-1}{(x+1)^2}dx\)
- C. \(\frac{-1}{x+1}dx\)
- D. \(\frac{1}{(x+1)^2}dx\)சரி
விளக்கம். \(f'(x)=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\); எனவே \(df=\frac{1}{(x+1)^2}dx\).
Q10
\((1+i)(1+2i)(1+3i)\cdots(1+ni)=x+iy\) எனில், \(2\cdot5\cdot10\cdots(1+n^2)\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(x^2+y^2\)சரி
- B. 1
- C. \(1+n^2\)
- D. \(i\)
விளக்கம். இருபுறமும் மட்டு வர்க்கம் எடுக்க: \(|1+i|^2|1+2i|^2\cdots|1+ni|^2 = 2\cdot5\cdot10\cdots(1+n^2) = x^2+y^2\).
Q11
\(x^3-3x^2, x\in[0, 3]\) என்ற சார்பிற்கு ரோலின் தேற்றத்தை நிறைவு செய்யும் எண் :
- A. \(\frac{3}{2}\)
- B. 1
- C. 2சரி
- D. \(\sqrt{2}\)
விளக்கம். \(f(0)=f(3)=0\). \(f'(c)=3c^2-6c=0\) எனில் c = 0 அல்லது 2; (0, 3)-இல் உள்ளது c = 2.
Q12
\(x^2-3=5x+3y\) என்ற கூம்பு வளைவின் வகை :
- A. அதிபரவளையம்
- B. நீள்வட்டம்
- C. வட்டம்
- D. பரவளையம்சரி
விளக்கம். \(x^2\) மட்டுமே உள்ளது (\(y^2\), xy உறுப்புகள் இல்லை); A = 1, B = 0, C = 0, \(B^2-4AC=0\). எனவே பரவளையம்.
Q13
A என்பது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி மற்றும் \(A^{-1}=\begin{bmatrix}5 & 3\\ -2 & -1\end{bmatrix}\) எனில், \((A^T)^{-1}=\)
- A. \(\begin{bmatrix}-1 & -3\\ 2 & 5\end{bmatrix}\)
- B. \(\begin{bmatrix}-5 & 3\\ 2 & 1\end{bmatrix}\)
- C. \(\begin{bmatrix}5 & -2\\ 3 & -1\end{bmatrix}\)சரி
- D. \(\begin{bmatrix}5 & 3\\ -2 & -1\end{bmatrix}\)
விளக்கம். \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T=\begin{bmatrix}5 & -2\\ 3 & -1\end{bmatrix}\).
Q14
\(\vec{r}=(\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k})+t(2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k})\) என்ற கோட்டிற்கும் \(\vec{r}\cdot(\vec{i}+\vec{j})+4=0\) என்ற தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் :
- A. \(45^\circ\)சரி
- B. \(0^\circ\)
- C. \(90^\circ\)
- D. \(30^\circ\)
விளக்கம். திசை (2, 1, −2), செங்குத்து (1, 1, 0): \(\sin\theta=\frac{|2+1+0|}{3\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\); எனவே \(\theta=45^\circ\).
Q15
\(\sin^{-1}x+\cot^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\) எனில் x -ன் மதிப்பு :
- A. \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
- B. \(\frac{1}{2}\)
- C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- D. \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)சரி
விளக்கம். \(\sin^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\cot^{-1}\frac{1}{2}=\tan^{-1}\frac{1}{2}\); எனவே \(x=\sin\left(\tan^{-1}\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\).
Q16
\(x^3+px^2+qx+r\) -க்கு \(\alpha, \beta\) மற்றும் \(\gamma\) என்பவை பூச்சியமாக்கிகள் எனில், \(\sum\frac{1}{\alpha}\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(\frac{q}{r}\)
- B. \(-\frac{q}{r}\)சரி
- C. \(-\frac{q}{p}\)
- D. \(-\frac{p}{r}\)
விளக்கம். \(\sum\frac{1}{\alpha}=\frac{\sum\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}=\frac{q}{-r}=-\frac{q}{r}\).
Q17
Var(3) -ன் மதிப்பு :
- A. 0சரி
- B. 3
- C. Var(3)
- D. 9
விளக்கம். ஒரு மாறிலியின் பரவற்படி பூச்சியம்; எனவே Var(3) = 0.
Q18
n = 25 மற்றும் p = 0.8 என்று உள்ள ஈருறுப்பு பரவல் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறி X எனில், X -ன் திட்டவிலக்கத்தின் மதிப்பு :
விளக்கம். \(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{25\times0.8\times0.2}=\sqrt{4}=2\).
Q19
A, B மற்றும் C என்பன நேர்மாறு காணத்தக்கவாறு ஏதேனுமொரு வரிசையில் இருப்பின் பின்வருவனவற்றில் எது உண்மையல்ல ?
- A. \(\det A^{-1}=(\det A)^{-1}\)
- B. \(\text{adj } A=|A|A^{-1}\)
- C. \((ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}\)
- D. \(\text{adj }(AB)=(\text{adj } A)(\text{adj } B)\)சரி
விளக்கம். சரியான விதி \(\text{adj}(AB)=(\text{adj } B)(\text{adj } A)\); எனவே (ஈ) உண்மையல்ல; மற்றவை சரியான முடிவுகள்.
Q20
\(x^3+64\) -ன் ஒரு பூச்சியமாக்கி :
- A. \(4i\)
- B. 0
- C. −4சரி
- D. 4
விளக்கம். \((-4)^3+64=-64+64=0\); எனவே −4 ஒரு பூச்சியமாக்கி.
