மே 2022 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் பொதுத் தேர்வின் 20 ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், வினாத்தாள் வரிசையில், சரியான விடை குறிக்கப்பட்டு சுருக்கமான விளக்கத்துடன்.
Q1
ஒரு சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு \(f(x)=\begin{cases}2x & 0\le x\le a\\ 0 & \text{பிற மதிப்புகளுக்கு}\end{cases}\) எனில், a -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். மொத்த நிகழ்தகவு 1: \(\int_0^a 2x\,dx=a^2=1\), எனவே \(a=1\) (a > 0).
Q2
X என்பது தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியாக இருக்கும் போது கீழ்க்காணும் கூற்றுகளில் எது தவறானது ?
- A. \(\lim_{x\to\infty}F(x)=F(\infty)=1\)
- B. \(0\le F(x)\le 1\), அனைத்து \(x\in\mathbb{R}\)
- C. \(F(x)\) என்பது மெய்மதிப்புடைய குறையும் சார்பு.சரி
- D. \(\lim_{x\to-\infty}F(x)=F(-\infty)=0\)
விளக்கம். குவிவு பரவல் சார்பு F(x) குறையாத (non-decreasing) சார்பு; குறையும் சார்பு அல்ல. மற்ற மூன்று பண்புகளும் உண்மை.
Q3
\(f(x)=\frac{x}{x+1}\) எனில், அதன் வகையீடு :
- A. \(\frac{1}{x+1}\,dx\)
- B. \(\frac{-1}{(x+1)^2}\,dx\)
- C. \(\frac{-1}{x+1}\,dx\)
- D. \(\frac{1}{(x+1)^2}\,dx\)சரி
விளக்கம். \(f'(x)=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\), எனவே \(df=\frac{1}{(x+1)^2}\,dx\).
Q4
\(\int_0^1 x(1-x)^{99}\,dx\) -இன் மதிப்பு :
- A. \(\frac{1}{10010}\)
- B. \(\frac{1}{11000}\)
- C. \(\frac{1}{10001}\)
- D. \(\frac{1}{10100}\)சரி
விளக்கம். \(\int_0^a f(x)dx=\int_0^a f(a-x)dx\) பயன்படுத்த: \(\int_0^1(1-x)x^{99}dx=\frac{1}{100}-\frac{1}{101}=\frac{1}{10100}\).
Q5
\(\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) -ன் முதன்மை மதிப்பு :
- A. \(\frac{\pi}{2}\)
- B. \(\frac{\pi}{3}\)
- C. \(\frac{5\pi}{6}\)
- D. \(\frac{\pi}{6}\)சரி
விளக்கம். \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) மற்றும் \(\frac{\pi}{6}\in[0,\pi]\), எனவே முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{6}\).
Q6
\(A=\begin{bmatrix}2&3\\5&-2\end{bmatrix}\) மற்றும் \(\lambda A^{-1}=A\) எனில், \(\lambda\) -ன் மதிப்பு :
- A. 19சரி
- B. 17
- C. 21
- D. 14
விளக்கம். \(\lambda A^{-1}=A\Rightarrow A^2=\lambda I\). இங்கு \(A^2=\begin{bmatrix}19&0\\0&19\end{bmatrix}=19I\), எனவே \(\lambda=19\).
Q7
\(x^3+px^2+qx+r\) -க்கு \(\alpha,\beta\) மற்றும் \(\gamma\) என்பவை பூச்சியமாக்கிகள் எனில் \(\sum\frac{1}{\alpha}\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(\frac{q}{r}\)
- B. \(-\frac{q}{r}\)சரி
- C. \(-\frac{q}{p}\)
- D. \(-\frac{p}{r}\)
விளக்கம். \(\sum\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}=\frac{q}{-r}=-\frac{q}{r}\).
Q8
\((1+i)(1+2i)(1+3i)\cdots(1+ni)=x+iy\) எனில் \(2\cdot5\cdot10\cdots(1+n^2)\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(x^2+y^2\)சரி
- B. 1
- C. \(1+n^2\)
- D. \(i\)
விளக்கம். இருபுறமும் மட்டு மதிப்பின் வர்க்கம் எடுக்க: \(|1+i|^2|1+2i|^2\cdots|1+ni|^2=2\cdot5\cdot10\cdots(1+n^2)=x^2+y^2\).
Q9
\(|3-x|+9\) என்ற சார்பின் குறைந்த மதிப்பு :
விளக்கம். \(|3-x|\ge 0\); \(x=3\) இல் சமம், எனவே குறைந்த மதிப்பு \(0+9=9\).
Q10
\(\sum_{n=1}^{12} i^n\) -ன் மதிப்பு :
- A. 0சரி
- B. 1
- C. -1
- D. \(i\)
விளக்கம். \(i\) -ன் அடுத்தடுத்த நான்கு அடுக்குகளின் கூடுதல் 0 \((i-1-i+1=0)\); 12 உறுப்புகள் மூன்று தொகுதிகள், எனவே கூடுதல் 0.
Q11
\(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k},\ 3\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k},\ \hat{i}+m\hat{j}+4\hat{k}\) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்கள் எனில், m -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். ஒரு தள வெக்டர்களுக்கு திசையிலி முப்பெருக்கம் 0: \(\begin{vmatrix}2&-1&3\\3&2&1\\1&m&4\end{vmatrix}=2(8-m)+11+3(3m-2)=21+7m=0\), எனவே \(m=-3\).
Q12
மையம் \((-3,-4)\) மற்றும் ஆரம் 3 அலகுகள் கொண்ட வட்டத்தின் பொது வடிவச் சமன்பாடு :
- A. \(x^2+y^2-6x+8y-16=0\)
- B. \(x^2+y^2-6x-8y+16=0\)
- C. \(x^2+y^2+6x-8y+16=0\)
- D. \(x^2+y^2+6x+8y+16=0\)சரி
விளக்கம். \((x+3)^2+(y+4)^2=9\) விரிக்க \(x^2+y^2+6x+8y+16=0\).
Q13
\(\frac{dy}{dx}+p(x)y=0\) -இன் தீர்வு :
- A. \(x=ce^{-\int p\,dy}\)
- B. \(y=ce^{\int p\,dx}\)
- C. \(x=ce^{\int p\,dy}\)
- D. \(y=ce^{-\int p\,dx}\)சரி
விளக்கம். மாறிகளைப் பிரிக்க: \(\frac{dy}{y}=-p\,dx\Rightarrow \log y=-\int p\,dx+\log c\), எனவே \(y=ce^{-\int p\,dx}\).
Q14
\(\int_0^\infty e^{-3x}x^2\,dx\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(\frac{4}{27}\)
- B. \(\frac{7}{27}\)
- C. \(\frac{2}{27}\)சரி
- D. \(\frac{5}{27}\)
விளக்கம். \(\int_0^\infty e^{-ax}x^n\,dx=\frac{n!}{a^{n+1}}\) பயன்படுத்த: \(\frac{2!}{3^3}=\frac{2}{27}\).
Q15
\(y=(x-1)^3\) என்ற வளைவரையின் வளைவு மாற்றப்புள்ளி :
- A. \((1,0)\)சரி
- B. \((0,0)\)
- C. \((1,1)\)
- D. \((0,1)\)
விளக்கம். \(y''=6(x-1)\), \(x=1\) இல் 0 ஆகி குறி மாறுகிறது; \(y(1)=0\), எனவே புள்ளி \((1,0)\).
Q16
\(\frac{x-4}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-2}\) மற்றும் \(\frac{x-1}{4}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z-2}{2}\) என்ற இரு நேர்க் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் :
- A. \(\frac{\pi}{2}\)சரி
- B. \(\frac{\pi}{4}\)
- C. \(\frac{2\pi}{3}\)
- D. \(\frac{\pi}{3}\)
விளக்கம். திசை விகிதங்கள் \((2,1,-2)\), \((4,-4,2)\): புள்ளிப் பெருக்கம் \(8-4-4=0\), எனவே கோடுகள் செங்குத்தானவை.
Q17
பின்வருபவைகளில் எது N -ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும் ?
- A. பெருக்கல்சரி
- B. வகுத்தல்
- C. கழித்தல்
- D. அனைத்தும்
விளக்கம். இரு இயல் எண்களின் பெருக்கல் இயல் எண்; ஆனால் \(2-3\), \(2\div3\) ஆகியவை N -ல் இல்லை.
Q18
கீழ்க்காணும் கூற்றுகளில் எது உண்மையல்ல ?
- A. A என்பது n வரிசையுடைய ஒரு சதுர அணி மற்றும் \(\lambda\) என்பது ஒரு திசையிலி எனில் \(\text{Adj}(\lambda A)=\lambda^n(\text{Adj}\,A)\).சரி
- B. ஒரு சமச்சீர் அணியின் சேர்ப்பு அணி சமச்சீராக இருக்கும்.
- C. \(A(\text{Adj}\,A)=(\text{Adj}\,A)A=|A|I\).
- D. ஒரு மூலைவிட்ட அணியின் சேர்ப்பு அணி மூலைவிட்ட அணியாக இருக்கும்.
விளக்கம். \(\lambda A\) -ன் ஒவ்வொரு இணைக்காரணியும் \((n-1)\) வரிசை சிற்றணிக்கோவை, எனவே \(\text{Adj}(\lambda A)=\lambda^{n-1}\,\text{Adj}\,A\); \(\lambda^n\) அல்ல.
Q19
\(\frac{dy}{dx}+Py=Q\) எனும் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தொகையீட்டுக் காரணி \(\sin x\) எனில், P என்பது :
- A. \(\tan x\)
- B. \(\log\sin x\)
- C. \(\cot x\)சரி
- D. \(\cos x\)
விளக்கம். \(e^{\int P\,dx}=\sin x\Rightarrow\int P\,dx=\log\sin x\Rightarrow P=\cot x\).
Q20
\(x^2=24y\) என்ற பரவளையத்தின் செவ்வகலநீளம் :
விளக்கம். \(x^2=4ay\) உடன் ஒப்பிட \(4a=24\), எனவே செவ்வகலநீளம் \(4a=24\).
