வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் பற்றி

நடுத்தரம் ~150 நிமிடப் படிப்பு

ஒரு உலோகக் கனச்சதுரத்தைச் சூடாக்கும்போது அதன் பக்கம் சிறிதளவு விரிவடைகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதன் கன அளவு எவ்வளவு மாறும்? கன அளவைத் துல்லியமாக மீண்டும் கணக்கிடத் தேவையில்லை: வகைக்கெழு மிக நல்ல மதிப்பீட்டைத் தருகிறது. இந்த அலகின் முதல் பாதியின் முக்கியக் கருத்து இதுதான். நேரியல் தோராயமாக்கல் (Linear approximation), தெரிந்த புள்ளிக்கு அருகில் வளைவரைக்குப் பதிலாக அதன் தொடுகோட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. வகையீடு (Differential) $dy = f'(x)\,dx$, $y$ இல் ஏற்படும் தோராய மாற்றத்தைத் தருகிறது.

இரண்டாம் பாதி பல மாறிகள் கொண்ட சார்புகளுக்குச் செல்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, உருளையின் கன அளவு ஆரம், உயரம் இரண்டையும் சார்ந்தது. ஒரு மாறி மாறும்போது, மற்ற எல்லா மாறிகளையும் நிலையாக வைத்தால், சார்பு எப்படி மாறுகிறது என்பதைப் பகுதி வகைக்கெழு (Partial derivative) அளக்கிறது. தோராயமாக்கல் கருத்துகள் இங்கும் பொருந்துகின்றன: இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சார்பின் நேரியல் தோராயமாக்கலும் மொத்த வகையீடும் இரண்டு பகுதி வகைக்கெழுக்களையும் பயன்படுத்துகின்றன.

தேர்வுக்கு இரண்டு வகை வினாக்களைப் பயிற்சி செய்யுங்கள். எண் கணக்குகள் $\sqrt[3]{26}$ போன்ற மதிப்பை மதிப்பிடவோ, தனிப்பிழை, சார்பிழை, சதவீதப் பிழை காணவோ கேட்கின்றன. நிரூபணக் கணக்குகள் கலப்பு பகுதி வகைக்கெழுக்கள் சமம் எனச் சரிபார்க்கவோ, ஒரு சார்பு இசைச் சார்பா எனச் சோதிக்கவோ, சமபடித்தான சார்புக்கு ஆய்லரின் தேற்றத்தைச் சரிபார்க்கவோ கேட்கின்றன. இந்தக் கருத்துகள் பின்னர் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள், இயற்பியல் பாடங்களில் மீண்டும் பயன்படுகின்றன.

நீங்கள் கற்பவை

• ஒரு அல்லது இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சார்பின் நேரியல் தோராயமாக்கலைக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் காணுதல்.
• கணிப்பான் இல்லாமல் வர்க்கமூலம், கனமூலம் போன்ற மதிப்புகளையும் பரப்பு அல்லது கன அளவு மாற்றங்களையும் மதிப்பிடுதல்.
• ஒரு தோராயமாக்கலின் தனிப்பிழை, சார்பிழை, சதவீதப் பிழை ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுதல்.
• முதல் மற்றும் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்களைக் கண்டு, கலப்பு பகுதி வகைக்கெழுக்கள் சமம் எனச் சரிபார்த்தல்.
• ஒரு சார்பு சமபடித்தானதா எனச் சோதித்து அதன் படியைக் காணுதல்.
• சமபடித்தான சார்புகளுக்கு ஆய்லரின் தேற்றத்தைச் சரிபார்த்துப் பயன்படுத்துதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• ஒரு மாறி கொண்ட சார்புகளுக்கான வகையிடல் விதிகள்.
• மெய்மதிப்புச் சார்புகளின் எல்லைகளும் தொடர்ச்சித் தன்மையும்.
• கோளம், கனச்சதுரம், உருளை போன்ற வழக்கமான வடிவங்களின் பரப்பு, கன அளவுச் சூத்திரங்கள்.

வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் — விரிவான விளக்கம்

வகையீடுகளும் பகுதி வகைக்கெழுக்களும்: முக்கியக் கருத்துகள்

நேரியல் தோராயமாக்கல்

ஒரு புள்ளி $x_0$ க்கு அருகில், வகையிடத்தக்க சார்பு அதன் தொடுகோட்டுக்கு நெருக்கமாக இருக்கும். நேரியல் தோராயமாக்கல் $L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. தேவையான மதிப்புக்கு அருகில், $f(x_0)$, $f'(x_0)$ எளிதாகக் காணக்கூடியதாக உள்ள $x_0$ ஐத் தேர்ந்தெடுங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, $\sqrt{36.1}$ ஐ மதிப்பிட $f(x) = \sqrt{x}$, $x_0 = 36$ என எடுக்கவும். $x - x_0$ சிறியதாக இருக்கும்போது மட்டுமே மதிப்பீடு நன்றாக இருக்கும்.

தோராயமாக்கலில் பிழைகள்

உண்மை மதிப்புக்கும் தோராய மதிப்புக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தின் தனி மதிப்பு தனிப்பிழை (Absolute error). தனிப்பிழையை உண்மை மதிப்பால் வகுத்தால் சார்பிழை (Relative error). சார்பிழையை 100 ஆல் பெருக்கினால் சதவீதப் பிழை. சார்பிழை, சதவீதப் பிழை ஆகியவை துல்லியத்தை நியாயமாக ஒப்பிட உதவுகின்றன: 1 செ.மீ. பிழை, ஒரு சாலையை அளப்பதை விடப் பென்சிலை அளப்பதில் மிக அதிகம் பாதிக்கும்.

வகையீடுகள்

$y = f(x)$ க்கு வகையீடு $dy = f'(x)\,dx$; இங்கு $dx$ என்பது $x$ இல் ஒரு சிறிய மாற்றம். உண்மை மாற்றம் $\Delta y$ வளைவரையின் வழியே அளக்கப்படுகிறது; $dy$ தொடுகோட்டின் வழியே அளக்கப்படுகிறது. $dx$ சிறியதாக இருக்கும்போது இரண்டும் நெருக்கமாக இருக்கும். வகைக்கெழு ஒரு வீதம்; வகையீடு ஒரு மாற்றத்தின் அளவு. வழக்கமான விதிகள் இங்கும் பொருந்துகின்றன; எடுத்துக்காட்டாக $d(uv) = u\,dv + v\,du$.

பகுதி வகைக்கெழுக்கள்

$u = f(x, y)$ என்ற சார்புக்கு, $x$ ஐப் பொறுத்த பகுதி வகைக்கெழுவைக் காண $y$ ஐ மாறிலியாகக் கருதி $x$ ஐப் பொறுத்து வகையிடுகிறோம். $y$ க்கும் இதேபோல். பாடநூல் இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சார்புகளின் எல்லை, தொடர்ச்சித் தன்மையுடன் தொடங்கி, பிறகு பகுதி வகைக்கெழுக்களை எல்லைகளாக வரையறுக்கிறது. வடிவியல் முறையில், $\frac{\partial u}{\partial x}$ என்பது x அச்சின் திசையில் பரப்பின் சாய்வு. இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சார்புக்கு, $(x_0, y_0)$ இல் நேரியல் தோராயமாக்கலும் மொத்த வகையீடு $du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy$ உம் இரண்டு பகுதி வகைக்கெழுக்களையும் சேர்த்துப் பயன்படுத்துகின்றன.

இரண்டாம் வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்களும் இசைச் சார்புகளும்

ஒரு பகுதி வகைக்கெழுவை மீண்டும் வகையிட்டால் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள் கிடைக்கின்றன. கலப்பு வகைக்கெழுக்கள் $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$ தொடர்ச்சியானவையாக இருக்கும்போதெல்லாம் சமம். இதுவே கிளைரோவின் தேற்றம் (Clairaut's theorem). $u(x, y)$ ஆனது லாப்லாஸ் சமன்பாடு $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ ஐ நிறைவு செய்தால் அது இசைச் சார்பு (Harmonic function) எனப்படும். கவனிக்கவும்: தூய இரண்டாம் வகைக்கெழுக்கள் மட்டுமே கூட்டப்படுகின்றன; கலப்பு வகைக்கெழுக்கள் அல்ல.

சமபடித்தான சார்புகளும் ஆய்லரின் தேற்றமும்

ஒவ்வொரு $\lambda > 0$ க்கும் $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)$ எனில் $f(x, y)$ ஆனது $n$ படி சமபடித்தான சார்பு (Homogeneous function). எடுத்துக்காட்டாக, $x^3 + 3xy^2$ படி 3 கொண்ட சமபடித்தான சார்பு. இத்தகைய சார்புக்கு $x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = nf$ என்று ஆய்லரின் தேற்றம் கூறுகிறது. இது பெரும்பாலும் நீண்ட கணக்கீட்டைத் தவிர்க்கிறது: படி தெரிந்தவுடன், பகுதி வகைக்கெழுக்களின் அந்தச் சேர்க்கை உடனே கிடைக்கும்.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• பகுதி வகையிடலில் மற்ற மாறிகளை மாறிலிகளாகக் கருத மறப்பது; எடுத்துக்காட்டாக, x ஐப் பொறுத்த பகுதி வகைக்கெழு காணும்போது xy இல் உள்ள y ஐயும் வகையிடுவது.
• நேரியல் தோராயமாக்கலுக்குத் தேவையான மதிப்பிலிருந்து தொலைவில் உள்ள புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுப்பது; இது மோசமான மதிப்பீட்டைத் தரும்.
• வகைக்கெழுவையும் (ஒரு வீதம்) வகையீட்டையும் (ஒரு தோராய மாற்றம்) ஒன்றாகக் கருதுவது.
• ஒரு சார்பு சமபடித்தானதா எனச் சரிபார்த்து அதன் படியைக் காணாமலேயே ஆய்லரின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது.
• இசைச் சார்பைச் சோதிக்கும்போது கலப்பு பகுதி வகைக்கெழுக்களைக் கூட்டுவது; லாப்லாஸ் சமன்பாடு தூய இரண்டாம் வகைக்கெழுக்களை மட்டுமே பயன்படுத்துகிறது.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

வகைக்கெழுவுக்கும் வகையீட்டுக்கும் என்ன வேறுபாடு?

வகைக்கெழு f′(x) என்பது ஒரு புள்ளியில் சார்பின் மாறுவீதம். வகையீடு dy = f′(x) dx என்பது x ஒரு சிறிய அளவு dx மாறும்போது சார்பில் ஏற்படும் தோராய மாற்றம். ஒன்று வீதம்; மற்றொன்று அளவு.

நேரியல் தோராயமாக்கலுக்குப் புள்ளி x₀ ஐ எப்படித் தேர்ந்தெடுப்பது?

நீங்கள் காண வேண்டிய மதிப்புக்கு அருகில், சார்பையும் அதன் வகைக்கெழுவையும் எளிதாகக் கணக்கிடக்கூடிய x₀ ஐத் தேர்ந்தெடுங்கள். 36.1 இன் வர்க்கமூலத்தை மதிப்பிட x₀ = 36 எனத் தேர்ந்தெடுக்கவும்; அதன் வர்க்கமூலம் சரியாக 6. தொலைவில் உள்ள புள்ளி குறைந்த துல்லியமுள்ள விடையைத் தரும்.

பகுதி வகைக்கெழுக்கள் நமக்கு ஏன் தேவை?

பல அளவுகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளைச் சார்ந்துள்ளன. உருளையின் கன அளவு ஆரம், உயரம் இரண்டையும் சார்ந்தது. இவற்றில் ஒன்றை மட்டும் மாற்றி மற்றவற்றை நிலையாக வைத்தால் அந்த அளவு எப்படி மாறுகிறது என்பதைப் பகுதி வகைக்கெழு சொல்கிறது.

ஒரு சார்பை இசைச் சார்பு ஆக்குவது எது?

u(x, y) லாப்லாஸ் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்தால், அதாவது x ஐப் பொறுத்த இரண்டாம் பகுதி வகைக்கெழுவும் y ஐப் பொறுத்த இரண்டாம் பகுதி வகைக்கெழுவும் சேர்ந்து பூச்சியம் ஆனால், அது இசைச் சார்பு. இத்தகைய சார்புகள் இயற்பியலில் வருகின்றன; எடுத்துக்காட்டாக நிலையான வெப்ப ஓட்டம், நிலைமின்னியல்.

பகுதி வகையிடலின் வரிசையை மாற்றலாமா?

ஆம், அந்தப் பகுதியில் கலப்பு பகுதி வகைக்கெழுக்கள் தொடர்ச்சியானவையாக இருந்தால் அவை சமம். இதுவே கிளைரோவின் தேற்றம். பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அடுக்குக்குறிச் சார்புகள், வழக்கமான முக்கோணவியல் சார்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட இடங்களில் எல்லாம் இந்த நிபந்தனையை நிறைவு செய்கின்றன. எனவே அவற்றுக்கு எந்த வரிசை எளிதோ அந்த வரிசையில் வகையிடலாம்.

ஒரு சார்பு எப்போது n படி சமபடித்தான சார்பு?

x க்குப் பதில் λx, y க்குப் பதில் λy (λ > 0) எனப் பிரதியிடும்போது சார்பு முழுவதும் λⁿ ஆல் பெருக்கப்பட்டால். பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இதன் பொருள், ஒவ்வொரு உறுப்பின் மொத்தப் படியும் n ஆக இருக்க வேண்டும். அப்போது மட்டுமே ஆய்லரின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியும்.