வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் — சூத்திரத் தாள்

நேரியல் தோராயம் & வகையீடு (ஒரு மாறி)

• நேரியல் தோராயம்: \( L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \)
• வகையீடு: \( df = f'(x)\,dx \)
• உண்மையான மாற்றம்: \( \Delta f = f(x+\Delta x) - f(x) \approx df \)

பிழைகள்

• தனிப்பிழை \(= \lvert \Delta f \rvert \approx \lvert df \rvert\)
• சார்பிழை \(= \dfrac{df}{f}\)
• சதவீதப் பிழை \(= \dfrac{df}{f} \times 100\)
• \(f = x^n\) எனில் \(\dfrac{df}{f} = n\,\dfrac{dx}{x}\)

பகுதி வகைக்கெழுக்கள்

• \( \dfrac{\partial F}{\partial x} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x+h,y) - F(x,y)}{h} \)
• \( \dfrac{\partial F}{\partial y} = \lim\limits_{k \to 0} \dfrac{F(x,y+k) - F(x,y)}{k} \)
• கிளைரோட்டின் தேற்றம்: \( f_{xy} = f_{yx} \) (தொடர்ச்சியானவை எனில்)

முழு வகையீடு & நேரியல் தோராயம் (பல மாறி)

• \( dF = \dfrac{\partial F}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial F}{\partial y}\,dy \) (இரு மாறி)
• \( dF = \dfrac{\partial F}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial F}{\partial y}\,dy + \dfrac{\partial F}{\partial z}\,dz \) (மூன்று மாறி)
• \( L(x,y) = F(x_0,y_0) + \left.\dfrac{\partial F}{\partial x}\right|_{0}(x-x_0) + \left.\dfrac{\partial F}{\partial y}\right|_{0}(y-y_0) \)

சங்கிலி விதி

• \( \dfrac{dW}{dt} = \dfrac{\partial W}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial W}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} \)
• \( \dfrac{\partial W}{\partial s} = \dfrac{\partial W}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial s} + \dfrac{\partial W}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial s} \)
• \( \dfrac{\partial W}{\partial t} = \dfrac{\partial W}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial W}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial t} \)

சமப்படித்தான சார்புகள் & ஆய்லரின் தேற்றம்

• சமப்படித்தான சார்பு: \( F(tx,ty) = t^{p} F(x,y) \) (\(p\)-ஆம் படி)
• ஆய்லரின் தேற்றம்: \( x\,\dfrac{\partial F}{\partial x} + y\,\dfrac{\partial F}{\partial y} = pF \)

பயனுள்ள பகுதி வகைக்கெழுக்கள்

• \( \dfrac{\partial}{\partial x}\,e^{x^2+y^2} = 2x\,e^{x^2+y^2} \)
• \( \dfrac{\partial}{\partial x}\,x^{y} = y\,x^{y-1} \) (\(y\) மாறிலி)
• \( \dfrac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}\,e^{xy} = (1+xy)\,e^{xy} \)
• \( \dfrac{\partial}{\partial x}\,\log(e^{x}+e^{y}) = \dfrac{e^{x}}{e^{x}+e^{y}} \)

லாப்லாஸ் சமன்பாடு

• \( \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \) (சீரான / harmonic சார்பு)