Every multiple-choice question from வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல், Samacheer Kalvi) with the correct option highlighted and a clear, worked explanation. 15 questions in all — free to read in English and Tamil.
Q1
ஒரு வட்ட வடிவ வார்ப்பின் ஆரம் \(10\) செ.மீ. ஆரத்தின் அளவில் தோராயமாக \(0.02\) செ.மீ பிழை உள்ளது எனில், அதன் பரப்பில் ஏற்படும் தோராய சதவீதப் பிழை என்ன?
- A. \(0.2\%\)
- B. \(0.4\%\)Correct
- C. \(0.04\%\)
- D. \(0.08\%\)
Explanation. வட்டப் பரப்பு \(A = \pi r^2\). வகையிட்டால் \(\dfrac{dA}{A} = \dfrac{2\,dr}{r}\) என்பதால், பரப்பின் சார்பிழை, ஆரத்தின் சார்பிழையைப் போல் இரு மடங்கு ஆகும். எனவே சதவீதப் பிழை \(= 2 \times \dfrac{dr}{r} \times 100 = 2 \times \dfrac{0.02}{10} \times 100 = 0.4\%\). ஆரத்தின் அடுக்கு \(2\) என்பதால் சதவீதப் பிழையும் இரட்டிப்பாகிறது என்பதை இங்கு கவனிக்கவும்.
Q2
\(31\)-ன் \(5\)ஆம் படி மூலத்தின் சதவீதப் பிழை, \(31\)-ன் சதவீதப் பிழையைப் போல் தோராயமாக எத்தனை மடங்காகும்?
- A. \(\dfrac{1}{31}\)
- B. \(\dfrac{1}{5}\)Correct
- C. \(5\)
- D. \(31\)
Explanation. \(y = x^{1/5}\) என்க. மடக்கை எடுத்து வகையிட்டால் \(\dfrac{dy}{y} = \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{dx}{x}\) கிடைக்கும். எனவே \(y = \sqrt[5]{x}\)-ன் சார்பிழை (மற்றும் சதவீதப் பிழை), \(x\)-ன் சார்பிழையில் \(\dfrac{1}{5}\) மடங்கு ஆகும். அடுக்கு \(\dfrac{1}{5}\) என்பதே இந்த மடங்கைத் தீர்மானிக்கிறது.
Q3
\(u(x,y) = e^{x^2+y^2}\) எனில், \(\dfrac{\partial u}{\partial x}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(e^{x^2+y^2}\)
- B. \(2xu\)Correct
- C. \(x^2 u\)
- D. \(y^2 u\)
Explanation. \(y\)-ஐ மாறிலியாகக் கருதி \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிடுகிறோம். \(x^2+y^2\)-ஐ \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிட்டால் \(2x\) கிடைக்கும். சங்கிலி விதிப்படி \(\dfrac{\partial u}{\partial x} = e^{x^2+y^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2+y^2}\). \(u = e^{x^2+y^2}\) என்பதால் இதை \(2xu\) எனச் சுருக்கமாக எழுதலாம்.
Q4
\(v(x,y) = \log\!\left(e^{x}+e^{y}\right)\) எனில், \(\dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(e^{x}+e^{y}\)
- B. \(\dfrac{1}{e^{x}+e^{y}}\)
- C. \(2\)
- D. \(1\)Correct
Explanation. \(\dfrac{\partial v}{\partial x} = \dfrac{e^{x}}{e^{x}+e^{y}}\) மற்றும் \(\dfrac{\partial v}{\partial y} = \dfrac{e^{y}}{e^{x}+e^{y}}\). இவற்றைக் கூட்டினால் தொகுதி \(e^{x}+e^{y}\) ஆகி, பகுதியுடன் சமமாகிறது: \(\dfrac{e^{x}+e^{y}}{e^{x}+e^{y}} = 1\). எனவே விடை \(1\).
Q5
\(w(x,y) = x^{y},\ x>0\) எனில், \(\dfrac{\partial w}{\partial x}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(x^{y}\log x\)
- B. \(y\log x\)
- C. \(y\,x^{y-1}\)Correct
- D. \(x\log y\)
Explanation. \(x\)-ஐப் பொறுத்து பகுதி வகைக்கெழு காணும்போது \(y\)-ஐ மாறிலியாகக் கருதுகிறோம். எனவே \(x^{y}\) என்பது அடுக்கு மாறிலியான வழக்கமான அடுக்குச் சார்பாகச் செயல்படுகிறது. அடுக்கு விதிப்படி \(\dfrac{\partial w}{\partial x} = y\,x^{y-1}\). (இங்கு \(y\) அடுக்கில் இருந்தாலும் அது மாறிலி என்பதால் \(x^{y}\log x\) எனும் வடிவம் வராது.)
Q6
\(f(x,y) = e^{xy}\) எனில், \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(xy\,e^{xy}\)
- B. \((1+xy)\,e^{xy}\)Correct
- C. \((1+y)\,e^{xy}\)
- D. \((1+x)\,e^{xy}\)
Explanation. முதலில் \(y\)-ஐப் பொறுத்து வகையிட்டால் \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = x\,e^{xy}\). அடுத்து இதை \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிட பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்: \(\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(x\,e^{xy}\right) = 1\cdot e^{xy} + x\cdot y\,e^{xy} = (1+xy)\,e^{xy}\). எனவே விடை \((1+xy)e^{xy}\).
Q7
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு \(4\) செ.மீ மற்றும் அதன் பிழை \(0.1\) செ.மீ எனில், கன அளவு கணக்கீட்டில் ஏற்படும் பிழை என்ன?
- A. \(0.4\) கன செ.மீ
- B. \(0.45\) கன செ.மீ
- C. \(2\) கன செ.மீ
- D. \(4.8\) கன செ.மீCorrect
Explanation. கன அளவு \(V = a^3\). வகையீடு \(dV = 3a^2\,da\). இங்கு \(a = 4,\ da = 0.1\) எனப் பதிலிட்டால் \(dV = 3 \times 4^2 \times 0.1 = 3 \times 16 \times 0.1 = 4.8\) கன செ.மீ. எனவே கன அளவில் ஏற்படும் தோராய பிழை \(4.8\) கன செ.மீ.
Q8
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு \(x_0\)-இலிருந்து \(x_0 + dx\) ஆக மாறும்போது, அதன் முழுப் பரப்பளவு \(S = 6x^2\)-இல் ஏற்படும் மாற்றம் என்ன?
- A. \(12x_0 + dx\)
- B. \(12x_0\,dx\)Correct
- C. \(6x_0\,dx\)
- D. \(6x_0 + dx\)
Explanation. முழுப் பரப்பளவு \(S = 6x^2\). வகையீட்டின் மூலம் \(dS = \dfrac{dS}{dx}\,dx = 12x\,dx\). \(x = x_0\) என்ற புள்ளியில் இதை மதிப்பிட்டால் பரப்பில் ஏற்படும் தோராய மாற்றம் \(dS = 12x_0\,dx\) ஆகும்.
Q9
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு \(1\%\) அதிகரிக்கும்போது, அதன் கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம் என்ன?
- A. \(0.3\,x\,dx\) கன அலகுகள்
- B. \(0.03\,x\) கன அலகுகள்
- C. \(0.03\,x^2\) கன அலகுகள்
- D. \(0.03\,x^3\) கன அலகுகள்Correct
Explanation. கன அளவு \(V = x^3\), எனவே \(dV = 3x^2\,dx\). பக்கம் \(1\%\) அதிகரிப்பதால் \(dx = \dfrac{1}{100}x = 0.01x\). இதைப் பதிலிட்டால் \(dV = 3x^2 \times 0.01x = 0.03\,x^3\) கன அலகுகள். எனவே கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம் \(0.03\,x^3\).
Q10
\(g(x,y) = 3x^2 - 5y + 2y^2\), \(x(t) = e^{t}\) மற்றும் \(y(t) = \cos t\) எனில், \(\dfrac{dg}{dt}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(6e^{2t} + 5\sin t - 4\cos t\,\sin t\)Correct
- B. \(6e^{2t} - 5\sin t + 4\cos t\,\sin t\)
- C. \(3e^{2t} + 5\sin t + 4\cos t\,\sin t\)
- D. \(3e^{2t} - 5\sin t + 4\cos t\,\sin t\)
Explanation. சங்கிலி விதிப்படி \(\dfrac{dg}{dt} = \dfrac{\partial g}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial g}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}\). இங்கு \(\dfrac{\partial g}{\partial x} = 6x,\ \dfrac{\partial g}{\partial y} = -5 + 4y\) மற்றும் \(\dfrac{dx}{dt} = e^{t},\ \dfrac{dy}{dt} = -\sin t\). எனவே \(\dfrac{dg}{dt} = 6x\,e^{t} + (-5+4y)(-\sin t)\). \(x = e^{t},\ y = \cos t\) எனப் பதிலிட்டால் \(\dfrac{dg}{dt} = 6e^{2t} + 5\sin t - 4\cos t\,\sin t\).
Q11
\(f(x) = \dfrac{x}{x+1}\) எனில், அதன் வகையீடு \(df\) என்ன?
- A. \(\dfrac{-1}{(x+1)^2}\,dx\)
- B. \(\dfrac{1}{(x+1)^2}\,dx\)Correct
- C. \(\dfrac{1}{x+1}\,dx\)
- D. \(\dfrac{-1}{x+1}\,dx\)
Explanation. ஒரு மாறி சார்பின் வகையீடு \(df = f'(x)\,dx\). ஈவு விதிப்படி \(f'(x) = \dfrac{(x+1)\cdot 1 - x\cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}\). எனவே \(df = \dfrac{1}{(x+1)^2}\,dx\).
Q12
\(u(x,y) = x^2 + 3xy + y - 2019\) எனில், \(\left.\dfrac{\partial u}{\partial x}\right|_{(4,-5)}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(-4\)
- B. \(-3\)
- C. \(-7\)Correct
- D. \(13\)
Explanation. \(y\)-ஐ மாறிலியாகக் கருதி \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிட்டால் \(\dfrac{\partial u}{\partial x} = 2x + 3y\) (மாறிலி \(-2019\)-ன் வகைக்கெழு பூச்சியம்). \((4,-5)\) என்ற புள்ளியில் \(\dfrac{\partial u}{\partial x} = 2(4) + 3(-5) = 8 - 15 = -7\).
Q13
சார்பு \(g(x) = \cos x\)-ன் \(x = \dfrac{\pi}{2}\) என்ற புள்ளியில் நேரியல் தோராய மதிப்பு (linear approximation) என்ன?
- A. \(x + \dfrac{\pi}{2}\)
- B. \(-x + \dfrac{\pi}{2}\)Correct
- C. \(x - \dfrac{\pi}{2}\)
- D. \(-x - \dfrac{\pi}{2}\)
Explanation. நேரியல் தோராய மதிப்பு \(L(x) = g(a) + g'(a)(x-a)\), இங்கு \(a = \dfrac{\pi}{2}\). \(g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} = 0\) மற்றும் \(g'(x) = -\sin x\) என்பதால் \(g'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{2} = -1\). எனவே \(L(x) = 0 + (-1)\!\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -x + \dfrac{\pi}{2}\).
Q14
\(w(x,y,z) = x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y)\) எனில், \(\dfrac{\partial w}{\partial x} + \dfrac{\partial w}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z}\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(xy + yz + zx\)
- B. \(x(y+z)\)
- C. \(y(z+x)\)
- D. \(0\)Correct
Explanation. ஒவ்வொரு மாறியையும் பொறுத்து வகையிடுகிறோம்: \(\dfrac{\partial w}{\partial x} = 2x(y-z) - y^2 + z^2\); \(\dfrac{\partial w}{\partial y} = x^2 + 2y(z-x) - z^2\); \(\dfrac{\partial w}{\partial z} = -x^2 + y^2 + 2z(x-y)\). இம்மூன்றையும் கூட்டினால் ஒவ்வொரு உறுப்பும் எதிர் உறுப்போடு நீங்கி கூட்டுத்தொகை \(0\) ஆகிறது. எனவே விடை \(0\).
Q15
\(f(x,y,z) = xy + yz + zx\) எனில், \(f_x - f_z\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(z - x\)Correct
- B. \(y - z\)
- C. \(x - z\)
- D. \(y - x\)
Explanation. பகுதி வகைக்கெழுக்கள்: \(f_x = y + z\) (\(x\)-ஐப் பொறுத்து) மற்றும் \(f_z = y + x\) (\(z\)-ஐப் பொறுத்து). எனவே \(f_x - f_z = (y+z) - (y+x) = z - x\).
