கலப்பு எண்கள்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

கலப்பு எண்கள் பற்றி

நடுத்தரம் ~180 நிமிடப் படிப்பு

$x^2 + 1 = 0$ என்ற சமன்பாட்டிற்கு மெய்யெண் தீர்வு இல்லை. ஏனெனில் எந்த மெய்யெண்ணின் வர்க்கமும் குறை எண் ஆகாது. இதைச் சமாளிக்க $i^2 = -1$ என்ற கற்பனை அலகு (Imaginary unit) $i$ ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறோம். $x$, $y$ மெய்யெண்களாக உள்ள $x + iy$ வடிவ எண்கள் கலப்பெண்கள் (Complex numbers) எனப்படும். இவற்றைக் கொண்டு, $n$ படி கொண்ட ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கும், மீண்டும் வரும் மூலங்களையும் சேர்த்து எண்ணினால், சரியாக $n$ மூலங்கள் உண்டு.

இந்தப் பாடம் இயற்கணிதத்திற்கும் வடிவியலுக்கும் இடையே மாறி மாறிச் செல்கிறது. கலப்பெண் $x + iy$ என்பது ஆர்கண்ட் தளத்தில் $(x, y)$ என்ற புள்ளி, அல்லது ஆதியிலிருந்து அந்தப் புள்ளிக்குச் செல்லும் வெக்டர். இரண்டு கலப்பெண்களைக் கூட்டுவது இணைகர விதி. $i$ ஆல் பெருக்கினால் புள்ளி ஆதியைப் பொறுத்து கடிகார எதிர்த்திசையில் $90^\circ$ சுழலும். இணைக் கலப்பெண் என்பது மெய் அச்சில் எதிரொளிப்பு. மட்டு என்பது ஆதியிலிருந்து உள்ள தொலைவு. இந்தப் படத்தை மனதில் வைத்தால் நியமப்பாதை வினாக்கள் மிக எளிதாகும்.

தேர்வுக்கு $i$ இன் அடுக்குகள், மட்டு மற்றும் இணையின் பண்புகள், கலப்பெண்ணின் வர்க்க மூலம் காணுதல், முதன்மை வீச்சு ஆகியவற்றில் வேகமாக இருங்கள். $(1 + i)^{10}$ போன்ற அடுக்குகளுக்கும் ஒன்றின் $n$ ஆம் படி மூலங்களுக்கும் டி மாய்வரின் தேற்றம் பயன்படுகிறது. $|z - 2| = 3$ எனும்போது $z$ வரையும் வளைவரையைக் காண்பது போன்ற நியமப்பாதை வினாக்கள் பாடநூல் பயிற்சிகளில் அடிக்கடி வருகின்றன.

நீங்கள் கற்பவை

• செவ்வக வடிவில் கலப்பெண்களைக் கூட்டுதல், கழித்தல், பெருக்குதல், வகுத்தல்.
• ஆர்கண்ட் தளத்தில் கலப்பெண்களைப் புள்ளிகளாகவும் வெக்டர்களாகவும் குறித்தல்.
• செவ்வக, துருவ, ஆய்லர் வடிவங்களுக்கு இடையே மாற்றி, முதன்மை வீச்சு காணுதல்.
• இணை மற்றும் மட்டுவின் பண்புகளைப் பயன்படுத்திக் கோவைகளைச் சுருக்குதல்.
• கலப்பெண்ணின் வர்க்க மூலங்களையும் n ஆம் படி மூலங்களையும் காணுதல்.
• டி மாய்வரின் தேற்றம் மூலம் கலப்பெண்களின் அடுக்குகளைக் கணக்கிடுதல்.
• $|z - z_0| = r$ போன்ற நிபந்தனைகளிலிருந்து $z$ இன் நியமப்பாதையைக் கண்டு விவரித்தல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• மெய்யெண் தொகுப்பும் வழக்கமான இயற்கணித முற்றொருமைகளும்.
• இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல், தன்மைகாட்டியைப் பயன்படுத்துதல்.
• அடிப்படை முக்கோணவியல் விகிதங்கள், ரேடியன் அளவு, ஆயத்தொலை வடிவியல்.

கலப்பு எண்கள் — விரிவான விளக்கம்

கலப்பெண்களின் இயற்கணிதமும் வடிவியலும்

கற்பனை அலகும் செவ்வக வடிவமும்

$i^2 = -1$ என $i$ ஐ வரையறுக்கிறோம். அதன் அடுக்குகள் நான்கு நான்காகச் சுழற்சியில் திரும்ப வருகின்றன: $i, -1, -i, 1$. எனவே $i^{n}$ காண, $n$ ஐ 4 ஆல் வகுத்து மீதியைப் பயன்படுத்துங்கள்; எடுத்துக்காட்டாக $i^{103} = i^{3} = -i$. செவ்வக வடிவில் கலப்பெண் $z = x + iy$. இங்கு $x = \text{Re}(z)$ மெய்ப்பகுதி, $y = \text{Im}(z)$ கற்பனைப் பகுதி. இரண்டு கலப்பெண்களின் மெய்ப்பகுதிகள் சமமாகவும் கற்பனைப் பகுதிகள் சமமாகவும் இருந்தால் மட்டுமே அவை சமம்.

இயற்கணிதச் செயல்களும் அவற்றின் பண்புகளும்

கூட்ட அல்லது கழிக்க, மெய்ப்பகுதிகளைத் தனியாகவும் கற்பனைப் பகுதிகளைத் தனியாகவும் சேர்க்கவும். பெருக்க, வழக்கம்போல் விரித்து $i^2$ க்குப் பதில் $-1$ எழுதவும். மெய்யெண்களைப் போலவே கூட்டலும் பெருக்கலும் பரிமாற்று, சேர்ப்பு விதிகளை நிறைவு செய்கின்றன. பெருக்கல் கூட்டலின் மீது பங்கீட்டு விதியை நிறைவு செய்கிறது. ஒன்று மட்டும் மாறுகிறது: கலப்பெண்களை வரிசைப்படுத்த முடியாது. எனவே $2 + i > 1 + 3i$ போன்ற கூற்றுக்குப் பொருள் இல்லை.

இணைக் கலப்பெண்ணும் மட்டுவும்

$z = x + iy$ இன் இணைக் கலப்பெண் (Conjugate) $\bar{z} = x - iy$. $z\bar{z} = x^2 + y^2$ ஒரு மெய்யெண் என்பதால், பகுதியின் இணையால் தொகுதியையும் பகுதியையும் பெருக்கி வகுத்தல் செய்கிறோம். மட்டு (Modulus) $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$; இது ஆதியிலிருந்து $z$ இன் தொலைவு. பயனுள்ள முடிவுகள்: $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$, $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$, முக்கோணச் சமனிலி $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$. $z_1$ க்கும் $z_2$ க்கும் இடையிலான தொலைவு $|z_1 - z_2|$. நியமப்பாதை வினாக்கள் இதையே பயன்படுத்துகின்றன.

ஆர்கண்ட் தளம்

ஒவ்வொரு கலப்பெண் $x + iy$ உம் சரியாக ஒரு புள்ளி $(x, y)$ உடன் பொருந்தும். கிடை அச்சு மெய் அச்சு; செங்குத்து அச்சு கற்பனை அச்சு. கூட்டல் இணைகர விதியைப் பின்பற்றுகிறது. $i$ ஆல் பெருக்கினால் புள்ளி ஆதியைப் பொறுத்து கடிகார எதிர்த்திசையில் $90^\circ$ சுழலும். மையம் $z_0$, ஆரம் $r$ கொண்ட வட்டம் என்பது வெறுமனே $|z - z_0| = r$.

துருவ வடிவமும் ஆய்லர் வடிவமும்

$r = |z|$, $\theta$ என்பது $z$ இன் ஒரு வீச்சு (Argument) எனில், $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$. ஆய்லர் சூத்திரம் $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ மூலம் இதைச் சுருக்கமாக $z = re^{i\theta}$ என எழுதலாம். முதன்மை வீச்சு $\text{Arg}\, z$, $(-\pi, \pi]$ இல் அமையும். குறுங்கோணம் $\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$ ஐக் கண்டு, கால்பகுதிக்கு ஏற்ப மாற்றுங்கள். பெருக்கல், வகுத்தலுக்குத் துருவ வடிவம் ஏற்றது: மட்டுகள் பெருக்கப்படும் அல்லது வகுக்கப்படும்; வீச்சுகள் கூட்டப்படும் அல்லது கழிக்கப்படும்.

டி மாய்வரின் தேற்றமும் மூலங்களும்

ஒவ்வொரு முழு எண் $n$ க்கும் $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$ என்று டி மாய்வரின் தேற்றம் (De Moivre's theorem) கூறுகிறது. விகிதமுறு அடுக்குக்கு இது மதிப்புகளில் ஒன்றைத் தரும். கலப்பெண்ணின் $n$ ஆம் படி மூலங்களைக் காண இதுவே கருவி. ஒன்றின் $n$ ஆம் படி மூலங்கள் $k = 0, 1, \ldots, n-1$ க்கு $e^{i\,2k\pi/n}$ ஆகும். இவை அலகு வட்டத்தின் மேல், ஒழுங்கு $n$ பக்கப் பலகோணத்தின் முனைகளாக அமைகின்றன. $n \geq 2$ எனில் இவற்றின் கூடுதல் 0.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• கால்பகுதியைச் சரிபார்க்காமல் $\tan^{-1}\frac{y}{x}$ ஐ வீச்சாக எடுப்பது. $z = -1 - i$ க்கு முதன்மை வீச்சு $-\frac{3\pi}{4}$; $\frac{\pi}{4}$ அல்ல.
• $\sqrt{-4}\sqrt{-9} = \sqrt{36} = 6$ என எழுதுவது. இரண்டும் குறை எண்களாக இருக்கும்போது $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ என்ற விதி பொருந்தாது. சரியான மதிப்பு $(2i)(3i) = -6$.
• கற்பனைப் பகுதியின் குறியை மட்டும் மாற்றி $z$ இன் பெருக்கல் நேர்மாறைக் காண்பது. நேர்மாறு $\frac{\bar{z}}{|z|^2}$. எனவே $x^2 + y^2$ ஆலும் வகுக்க வேண்டும்.
• $\cos \theta + i \sin \theta$ வடிவில் இல்லாத எண்ணுக்கு டி மாய்வரின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது. எடுத்துக்காட்டாக $\sin \theta + i \cos \theta$ ஐ முதலில் $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ என மாற்றி எழுத வேண்டும்.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

கற்பனை எண்ணுக்கும் கலப்பெண்ணுக்கும் என்ன வேறுபாடு?

முற்றிலும் கற்பனை எண் $iy$ வடிவில் இருக்கும்; இங்கு $y$ பூச்சியமற்ற மெய்யெண். கலப்பெண் $x + iy$; இரண்டு பகுதிகளும் இருக்கலாம். ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணும் $y = 0$ ஆக உள்ள கலப்பெண். ஒவ்வொரு முற்றிலும் கற்பனை எண்ணும் $x = 0$ ஆக உள்ள கலப்பெண்.

கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சை எப்படிக் காண்பது?

முதலில் குறுங்கோணம் $\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$ ஐக் காணுங்கள். பிறகு கால்பகுதியைப் பாருங்கள்: முதல் கால்பகுதியில் $\alpha$, இரண்டாவதில் $\pi - \alpha$, மூன்றாவதில் $-\pi + \alpha$, நான்காவதில் $-\alpha$. விடை $(-\pi, \pi]$ இல் இருக்க வேண்டும்.

வகுக்கும்போது ஏன் இணையால் பெருக்குகிறோம்?

ஏனெனில் $(x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2$ ஒரு மெய்யெண். பகுதியின் இணையால் தொகுதியையும் பகுதியையும் பெருக்கினால் பகுதி மெய்யெண் ஆகிறது. அப்போது விடையை மெய்ப்பகுதி, கற்பனைப் பகுதி எனப் பிரித்து எழுதலாம்.

முக்கோணச் சமனிலியின் வடிவியல் பொருள் என்ன?

ஆர்கண்ட் தளத்தில் $0$, $z_1$, $z_1 + z_2$ ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன. அதன் பக்க நீளங்கள் $|z_1|$, $|z_2|$, $|z_1 + z_2|$. முக்கோணத்தின் எந்தப் பக்கமும் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் கூடுதலை விட நீளமாக இருக்காது. எனவே $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$.

செவ்வக வடிவத்திற்குப் பதில் துருவ வடிவத்தை எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்?

கூட்டல், கழித்தலுக்குச் செவ்வக வடிவத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்; ஒத்த பகுதிகளைச் சேர்த்தால் போதும். பெருக்கல், வகுத்தல், அடுக்குகள், மூலங்களுக்குத் துருவ வடிவத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்; மட்டுகள் பெருக்கப்படும், வீச்சுகள் கூட்டப்படும். $(1 + i)^{8}$ ஐ விரித்துக் காண்பது நேரம் எடுக்கும்; துருவ வடிவில் அது $(\sqrt{2})^8(\cos 2\pi + i \sin 2\pi) = 16$.

ஒன்றின் மூலங்கள் எதற்குப் பயன்படுகின்றன?

ஒன்றின் $n$ ஆம் படி மூலங்கள் $z^n = 1$ போன்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க உதவுகின்றன. எந்தக் கலப்பெண்ணின் $n$ ஆம் படி மூலங்களையும் இவை தருகின்றன; ஏனெனில் அந்த மூலங்கள் ஒரு மூலத்தை ஒன்றின் ஒவ்வொரு மூலத்தாலும் பெருக்கக் கிடைப்பவை. இவை அலகு வட்டத்தின் மேல் ஒழுங்கு $n$-கோணத்தின் முனைகளில் அமைகின்றன. கன மூலங்கள் $1, \omega, \omega^2$ க்கு $1 + \omega + \omega^2 = 0$, $\omega^3 = 1$ என்பதை நினைவில் வையுங்கள்.