கலப்பு எண்கள் — சூத்திரத் தாள்

கலப்பு எண்கள் — சூத்திரத் தாள்

அடிப்படை

• \( i^{2} = -1,\quad i^{3} = -i,\quad i^{4} = 1 \); பொதுவாக \( i^{n} = i^{\,n \bmod 4} \).
• \( z = x + iy,\quad \bar{z} = x - iy \).
• \( \operatorname{Re}(z) = \dfrac{z + \bar{z}}{2},\quad \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \bar{z}}{2i} \).

மட்டும் இணையும்

• \( \left| z \right| = \sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad z\bar{z} = \left| z \right|^{2} \).
• \( \left| z_1 z_2 \right| = \left| z_1 \right|\left| z_2 \right|,\quad \left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{\left| z_1 \right|}{\left| z_2 \right|},\quad \left| z^{n} \right| = \left| z \right|^{n} \).
• \( \left| \bar{z} \right| = \left| z \right|,\quad \overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2},\quad \overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2} \).
• \( \left| z \right| = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \bar{z} \).
• முக்கோண சமனிலி: \( \big|\left| z_1 \right| - \left| z_2 \right|\big| \le \left| z_1 + z_2 \right| \le \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right| \).

துருவ வடிவமும் வீச்சும்

• \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,\text{cis}\,\theta,\quad r = \left| z \right|,\ \theta = \arg(z) \).
• முதன்மை வீச்சு \( \arg(z) \in (-\pi,\ \pi] \).
• \( \arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2,\quad \arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2 \).

டி மாய்வர் தேற்றமும் மூலங்களும்

• \( (\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta \).
• \( z^{1/n} = r^{1/n}\,\text{cis}\!\left(\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right),\quad k = 0,1,\dots,n-1 \).

ஒன்றின் கனமூலங்கள்

• \( 1,\ \omega,\ \omega^{2} \) இங்கு \( \omega = \text{cis}\,\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \).
• \( \omega^{3} = 1,\quad 1 + \omega + \omega^{2} = 0 \).
• \( 1 + \omega = -\omega^{2},\quad 1 + \omega^{2} = -\omega,\quad \omega + \omega^{2} = -1 \).

வர்க்க மூலம்

• \( \sqrt{z} = \pm\left(\sqrt{\dfrac{\left| z \right| + x}{2}} + i\,\dfrac{y}{\left| y \right|}\sqrt{\dfrac{\left| z \right| - x}{2}}\right) \), \( z = x + iy \).