கலப்பு எண்கள் — படிப்புக் குறிப்புகள்

கலப்பு எண்கள் — முக்கியக் கருத்துகள்

1. கற்பனை அலகும் அடிப்படை வடிவமும்

கற்பனை அலகு \( i \) ஆனது \( i^{2} = -1 \) எனும் பண்பால் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு கலப்பு எண்ணின் இயல் வடிவம் \( z = x + iy \); இங்கு \( x \) மெய்ப்பகுதி \( \big(\operatorname{Re}(z)\big) \), \( y \) கற்பனைப்பகுதி \( \big(\operatorname{Im}(z)\big) \). \( i \) இன் அடுக்குகள் \( i,\,-1,\,-i,\,1 \) என நான்கு நான்காகச் சுழல்கின்றன; எனவே \( i^{n} \) இன் மதிப்பு \( n \) ஐ \(4\) ஆல் வகுத்த மீதியைப் பொறுத்தது.

2. இணையும் மட்டும்

\( z = x + iy \) இன் இணை \( \bar{z} = x - iy \). மட்டு \( \left| z \right| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \), மேலும் \( z\bar{z} = \left| z \right|^{2} \). முக்கியப் பண்புகள்: \( \left| z_1 z_2 \right| = \left| z_1 \right|\left| z_2 \right| \), \( \left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{\left| z_1 \right|}{\left| z_2 \right|} \), \( \left| \bar{z} \right| = \left| z \right| \), \( \overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} \), \( \overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2} \). \( \left| z \right| = 1 \) எனில் \( \dfrac{1}{z} = \bar{z} \) — பல வினாக்களில் பயன்படும் சாவி.

3. ஆர்கண்ட் தளமும் வடிவவியலும்

ஒவ்வொரு கலப்பு எண்ணும் ஆர்கண்ட் தளத்தில் ஒரு புள்ளியாகக் குறிக்கப்படும். \( \left| z_1 - z_2 \right| \) என்பது இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம். \( \left| z - z_0 \right| = r \) ஒரு வட்டத்தையும், \( \left| z - z_0 \right| \le r \) வட்டத்தட்டையும் குறிக்கும். \( \left| z - a \right| = \left| z - b \right| \) என்பது \( a,\,b \) ஐ இணைக்கும் கோட்டின் செங்குத்து இருசமவெட்டியை (நியமப்பாதை) தரும். \( i \) ஆல் பெருக்குவது \( 90^{\circ} \) சுழற்சிக்குச் சமம்.

4. துருவ வடிவமும் வீச்சும்

\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,\text{cis}\,\theta \); இங்கு \( r = \left| z \right| \), \( \theta \) வீச்சு. முதன்மை வீச்சு \( \arg(z) \) ஆனது \( (-\pi,\ \pi] \) வரம்பில் அமைகிறது. கால்பகுதியைப் பொறுத்து குறியைக் கவனமாகத் தீர்மானிக்க வேண்டும்: முதல்/நான்காம் கால்பகுதியில் \( \theta = \pm\alpha \); இரண்டாம் கால்பகுதியில் \( \pi - \alpha \); மூன்றாம் கால்பகுதியில் \( -(\pi - \alpha) \) — இங்கு \( \alpha \) மேற்கோள் கோணம்.

5. டி மாய்வர் தேற்றமும் மூலங்களும்

\( (\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta \). \( z = r\,\text{cis}\,\theta \) இன் \( n \) ஆம் மூலங்கள் \( z^{1/n} = r^{1/n}\,\text{cis}\!\left(\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \), \( k = 0,1,\dots,n-1 \) — இவை \(n\) வெவ்வேறு மதிப்புகள்.

6. ஒன்றின் கனமூலங்கள்

ஒன்றின் கனமூலங்கள் \( 1,\ \omega,\ \omega^{2} \); இங்கு \( \omega = \text{cis}\,\dfrac{2\pi}{3} \). முக்கிய முற்றொருமைகள்: \( \omega^{3} = 1 \) மற்றும் \( 1 + \omega + \omega^{2} = 0 \). இவற்றிலிருந்து \( 1 + \omega = -\omega^{2} \), \( 1 + \omega^{2} = -\omega \) போன்ற எளிதான மாற்றங்கள் கிடைக்கும்; அடுக்குகளை \(3\) இன் மீதியாகச் சுருக்கிக் கணக்கிட வேண்டும்.

7. பொதுவான தேர்வுப் பொறிகள்

• முதன்மை வீச்சைக் கணக்கிடும்போது கால்பகுதியைப் பார்க்காமல் கணிப்பான் தரும் கோணத்தை அப்படியே எழுதிவிடுதல். \( 250^{\circ} \) போன்றவற்றை \( -110^{\circ} \) ஆக மாற்ற மறக்கக் கூடாது.
• மட்டுவை எடுப்பதே எளிய வழி எனும்போது \( z \) ஐ \( x+iy \) ஆக விரித்து நேரத்தை வீணாக்குதல்.
• \( \left| z \right| = 1 \) எனும் நிபந்தனையில் \( \bar{z} = \dfrac{1}{z} \) எனும் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தாமை.
• \( i^{n} \) இன் சுழற்சியை \( n \bmod 4 \) ஆகவும், \( \omega^{n} \) ஐ \( n \bmod 3 \) ஆகவும் சுருக்க மறத்தல்.
• \( \left| z+2 \right| = \left| z-2 \right| \) போன்ற நியமப்பாதை வினாக்களில் அச்சுகளைக் (மெய்/கற்பனை) குழப்பிக் கொள்ளுதல்.