கலப்பு எண்கள்: புத்தகப் பயிற்சி ஒரு மதிப்பெண் வினா விடைகள், விளக்கத்துடன் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல்)

விளக்கம். பொதுக் காரணி \( i^{n} \) ஐ வெளியே எடுத்தால், கூட்டுத்தொகை \( i^{n}\left(1 + i + i^{2} + i^{3}\right) \) ஆகும். \( i^{2} = -1 \), \( i^{3} = -i \) என்பதால் அடைப்பினுள் \( 1 + i - 1 - i = 0 \). எனவே முழுத்தொகையும் \( i^{n}\times 0 = 0 \). தொடர்ச்சியான நான்கு \( i \) இன் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் சுழியம் என்பதை இது காட்டுகிறது.

விளக்கம். கூட்டுத்தொகையை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம்: \( \sum_{n=1}^{13} i^{n} \) மற்றும் \( \sum_{n=1}^{13} i^{n-1} \). \( i \) இன் அடுக்குகள் நான்கு நான்காகச் சுழன்று கூட்டினால் சுழியமாகும். முதல் தொகையில் \( i^{1} \) முதல் \( i^{13} \) வரை — முதல் \(12\) உறுப்புகள் சுழியம், மீதம் \( i^{13}=i \); எனவே \( \sum i^{n}=i \). இரண்டாம் தொகையில் \( i^{0} \) முதல் \( i^{12} \) வரை — முதல் \(12\) உறுப்புகள் சுழியம், மீதம் \( i^{12}=1 \); எனவே \( \sum i^{n-1}=1 \). இரண்டையும் கூட்ட \( i + 1 = 1 + i \).

விளக்கம். \( z \) ஐ \( i \) ஆல் பெருக்குவது அதை ஆதியைச் சுற்றி \( 90^{\circ} \) சுழற்றுவதற்குச் சமம். எனவே \( z \) மற்றும் \( iz \) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து, மேலும் அவற்றின் நீளங்கள் சமம் \( \left(\left| z \right| = \left| iz \right|\right) \). இவ்விரு கோட்டுத்துண்டுகளை அடிப்பக்கமாகவும் உயரமாகவும் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \( \frac{1}{2}\times \text{அடி}\times \text{உயரம்} = \frac{1}{2}\left| z \right|\left| iz \right| = \frac{1}{2}\left| z \right|^{2} \).

விளக்கம். \( \bar{z} = \dfrac{1}{i-2} \) எனில், \( z \) ஐப் பெற மீண்டும் இணை எடுக்க வேண்டும்: \( z = \overline{\left(\dfrac{1}{i-2}\right)} \). ஒரு வகுத்தலின் இணை, அதன் பகுதிகளின் இணைகளின் வகுத்தலுக்குச் சமம் என்பதால் \( z = \dfrac{1}{\overline{(i-2)}} = \dfrac{1}{-i-2} = \dfrac{-1}{i+2} \).

விளக்கம். மட்டுவின் பெருக்கல்–வகுத்தல் பண்புகளைப் (\( \left| z_1 z_2 \right| = \left| z_1 \right|\left| z_2 \right| \), \( \left| z_1/z_2 \right| = \left| z_1 \right|/\left| z_2 \right| \)) பயன்படுத்தலாம். \( \left| \sqrt{3}+i \right| = \sqrt{3+1}=2 \), \( \left| 4+3i \right| = \sqrt{16+9}=5 \), \( \left| 8+6i \right| = \sqrt{64+36}=10 \). எனவே \( \left| z \right| = \dfrac{2^{3}\times 5^{2}}{10^{2}} = \dfrac{8\times 25}{100} = 2 \).

விளக்கம். இரு பக்கங்களிலும் மட்டு எடுக்க \( \left| 2iz^{2} \right| = \left| \bar{z} \right| \). \( \left| 2i \right| = 2 \), \( \left| z^{2} \right| = \left| z \right|^{2} \), மேலும் \( \left| \bar{z} \right| = \left| z \right| \) என்பதால் \( 2\left| z \right|^{2} = \left| z \right| \). \( z \neq 0 \) ஆதலால் \( \left| z \right| \) ஆல் வகுக்க \( 2\left| z \right| = 1 \), எனவே \( \left| z \right| = \dfrac{1}{2} \).

விளக்கம். \( \left| z - (2 - i) \right| \le 2 \) என்பது மையம் \( 2 - i \), ஆரம் \(2\) கொண்ட வட்டத்தட்டு (வட்டமும் அதன் உட்பகுதியும்). ஆதியிலிருந்து இந்தத் தட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளிக்கான மீப்பெரு தொலைவு = ஆதியிலிருந்து மையம் வரையிலான தொலைவு + ஆரம் = \( \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}} + 2 = \sqrt{5} + 2 \).

விளக்கம். முக்கோண சமனிலியின்படி \( \left| \left| z \right| - \dfrac{3}{\left| z \right|} \right| \le \left| z - \dfrac{3}{z} \right| = 2 \). \( t = \left| z \right| > 0 \) எனக் கொண்டால் \( -2 \le t - \dfrac{3}{t} \le 2 \). இடப்பக்கம்: \( t^{2}+2t-3 \ge 0 \Rightarrow (t+3)(t-1)\ge 0 \Rightarrow t \ge 1 \). வலப்பக்கம்: \( t^{2}-2t-3 \le 0 \Rightarrow (t-3)(t+1)\le 0 \Rightarrow t \le 3 \). எனவே \( 1 \le \left| z \right| \le 3 \); மீச்சிறு மதிப்பு \(1\).

விளக்கம். \( \left| z \right| = 1 \) எனில் \( z\bar{z} = \left| z \right|^{2} = 1 \), எனவே \( \bar{z} = \dfrac{1}{z} \). இதைப் பதிலிட்டால் \( \dfrac{1+z}{1+\frac{1}{z}} = \dfrac{1+z}{\frac{z+1}{z}} = \dfrac{z(1+z)}{z+1} = z \).

விளக்கம். \( z = x + iy \) எனக் கொண்டால் \( \sqrt{x^{2}+y^{2}} - x - iy = 1 + 2i \). கற்பனைப் பகுதிகளை ஒப்பிட \( -y = 2 \Rightarrow y = -2 \). மெய்ப் பகுதிகளை ஒப்பிட \( \sqrt{x^{2}+4} - x = 1 \Rightarrow \sqrt{x^{2}+4} = 1 + x \). இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த \( x^{2}+4 = 1 + 2x + x^{2} \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2} \). எனவே \( z = \dfrac{3}{2} - 2i \).

விளக்கம். \( \left| z_1 z_2 z_3 \right| = 1\cdot 2\cdot 3 = 6 \). கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து \( z_1 z_2 z_3 \) ஐ வெளியே எடுத்தால் \( \left| z_1 z_2 z_3 \right|\left| \dfrac{9}{z_3} + \dfrac{4}{z_2} + \dfrac{1}{z_1} \right| = 12 \). ஒவ்வொரு \( z_k \) க்கும் \( \dfrac{1}{z_k} = \dfrac{\bar{z_k}}{\left| z_k \right|^{2}} \) என்பதால் \( \dfrac{9}{z_3} = \bar{z_3} \), \( \dfrac{4}{z_2} = \bar{z_2} \), \( \dfrac{1}{z_1} = \bar{z_1} \). எனவே அடைப்பு \( \left| \bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} \right| = \left| z_1 + z_2 + z_3 \right| \). இவ்வாறு \( 6\left| z_1 + z_2 + z_3 \right| = 12 \Rightarrow \left| z_1 + z_2 + z_3 \right| = 2 \).

விளக்கம். \( z + \dfrac{1}{z} \) மெய்யாக இருந்தால் அது தன் இணைக்குச் சமம்: \( z + \dfrac{1}{z} = \bar{z} + \dfrac{1}{\bar{z}} \). மறுசீரமைக்க \( (z - \bar{z}) + \dfrac{\bar{z} - z}{z\bar{z}} = 0 \Rightarrow (z - \bar{z})\left(1 - \dfrac{1}{\left| z \right|^{2}}\right) = 0 \). \( z \) மெய்யல்ல என்பதால் \( z \neq \bar{z} \); எனவே \( 1 - \dfrac{1}{\left| z \right|^{2}} = 0 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \).

விளக்கம். \( (z_1 + z_2 + z_3)^{2} = z_1^{2}+z_2^{2}+z_3^{2} + 2(z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1) \). இடப்பக்கம் \(0\) என்பதால் \( z_1^{2}+z_2^{2}+z_3^{2} = -2(z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1) \). \( \left| z_k \right| = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{z_k} = \bar{z_k} \) ஆதலால் \( z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = z_1 z_2 z_3\left(\dfrac{1}{z_3}+\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}\right) = z_1 z_2 z_3\,\overline{(z_1+z_2+z_3)} = z_1 z_2 z_3 \cdot 0 = 0 \). எனவே \( z_1^{2}+z_2^{2}+z_3^{2} = 0 \).

விளக்கம். ஒரு எண் முற்றிலும் கற்பனை எனில் அதன் மெய்ப்பகுதி சுழியம்; சமமாக, அது தன் இணையின் எதிர்க்குறிக்குச் சமம்: \( \dfrac{z-1}{z+1} = -\,\overline{\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)} = -\dfrac{\bar{z}-1}{\bar{z}+1} \). குறுக்குப் பெருக்கி \( (z-1)(\bar{z}+1) = -(\bar{z}-1)(z+1) \). இரு பக்கங்களையும் விரித்து எளிமைப்படுத்த \( z\bar{z} = 1 \), அதாவது \( \left| z \right|^{2} = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \).

விளக்கம். \( \left| z+2 \right| = \left| z-2 \right| \) என்பது \( z \) ஆனது \( -2 \) மற்றும் \( 2 \) ஆகிய புள்ளிகளிலிருந்து சமதூரத்தில் உள்ளது எனப் பொருள்படும். \( z = x+iy \) எனப் பதிலிட்டு வர்க்கப்படுத்த \( (x+2)^{2}+y^{2} = (x-2)^{2}+y^{2} \Rightarrow 8x = 0 \Rightarrow x = 0 \). \( x = 0 \) என்பது கற்பனை அச்சு; எனவே நியமப்பாதை கற்பனை அச்சு.

விளக்கம்.

முதலில் அடிமானத்தை \(\cos\theta+i\sin\theta\) என்ற திட்ட வடிவில் எழுதுவோம். \(\sin 40^{\circ}=\cos 50^{\circ}\), \(\cos 40^{\circ}=\sin 50^{\circ}\) என்பதால் அந்த எண் \(\cos 50^{\circ}+i\sin 50^{\circ}\). டி மாய்வரின் தேற்றப்படி அதன் ஐந்தாம் அடுக்கு \(\cos 250^{\circ}+i\sin 250^{\circ}\). வீச்சு \(250^{\circ}\) ஆனது \(180^{\circ}\) -ஐ விடப் பெரியது; முதன்மை வீச்சின் வீச்சகம் \((-180^{\circ},180^{\circ}]\) -க்குள் கொண்டுவர \(360^{\circ}\) -ஐக் கழிக்க \(-110^{\circ}\) கிடைக்கிறது.

விளக்கம்.

\(-1-i\) என்ற புள்ளியின் இரு ஆயத்தொலைவுகளும் குறை எண்கள் என்பதால் அது மூன்றாம் கால்பகுதியில் அமைகிறது. மேற்கோள் கோணம் \(\tan\alpha=\left|\dfrac{-1}{-1}\right|=1\) என்பதால் \(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\). மூன்றாம் கால்பகுதியில் முதன்மை வீச்சு \(-(\pi-\alpha)=-\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{3\pi}{4}\); இது \((-\pi,\pi]\) -க்குள் உள்ளது.

விளக்கம்.

முதலில் அடிமானத்தைச் சுருக்குவோம்: \(\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+2i+i^{2}}{1-i^{2}}=\dfrac{2i}{2}=i\). எனவே நிபந்தனை \(i^{n}=1\) ஆகிறது. \(i\) -ன் அடுக்குகள் \(4\) -ஐ சுழற்சிக் காலமாகக் கொண்டு மீண்டும் வருகின்றன; \(n\) ஆனது \(4\) -ன் மடங்காக இருக்கும்போது மட்டுமே \(i^{n}=1\). எனவே மிகச்சிறிய மிகை மதிப்பு \(n=4\).

விளக்கம்.

\(1+\omega+\omega^{2}=0\) என்பதால் \(1+\omega=-\omega^{2}\). எனவே \((1+\omega)^{7}=(-\omega^{2})^{7}=-\omega^{14}\). \(\omega^{3}=1\) என்பதால் அடுக்கை \(3\) -ன் மட்டில் குறைக்க \(\omega^{14}=\omega^{2}\); ஆகவே \((1+\omega)^{7}=-\omega^{2}\). இறுதியாக \(-\omega^{2}=1+\omega\); இதை \(A+B\omega\) உடன் ஒப்பிட \(A=1\), \(B=1\).

விளக்கம்.

ஒவ்வொரு காரணியையும் துருவ வடிவில் எழுதுவோம். \(1+i\sqrt{3}=2\,\operatorname{cis}\dfrac{\pi}{3}\), எனவே அதன் வர்க்கம் \(4\,\operatorname{cis}\dfrac{2\pi}{3}\). பகுதியில் \(1-i\sqrt{3}=2\,\operatorname{cis}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\), \(4i=4\,\operatorname{cis}\dfrac{\pi}{2}\); இவற்றின் பெருக்கற்பலன் \(8\,\operatorname{cis}\dfrac{\pi}{6}\). வகுக்க, மட்டு \(\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\), வீச்சு \(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\). எனவே அந்த எண் \(\dfrac{1}{2}\operatorname{cis}\dfrac{\pi}{2}\); அதன் முதன்மை வீச்சு \(\dfrac{\pi}{2}\).

விளக்கம். \(x^{2}-x+1=0\) -ஐத் தீர்க்க \(x=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}=\cos 60^{\circ}\pm i\sin 60^{\circ}\); எனவே \(\alpha, \beta\) ஆகியவை மட்டு \(1\), வீச்சுகள் \(\pm 60^{\circ}\) கொண்ட இணைக் கலப்பெண்கள். டி மாய்வரின் தேற்றப்படி \(\alpha^{2020}+\beta^{2020}=2\cos(2020\times 60^{\circ})\). \(2020\times 60^{\circ}=121200^{\circ}\equiv 240^{\circ}\pmod{360^{\circ}}\) என்பதால் இது \(2\cos 240^{\circ}=2\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1\).

விளக்கம். முதலில் \( \left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)^{3} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 \). எனவே கொடுக்கப்பட்டது \( (-1)^{1/4} \) — அதாவது \( -1 \) இன் நான்கு நான்காம் மூலங்கள். இவை \( \text{cis}\,45^{\circ},\ \text{cis}\,135^{\circ},\ \text{cis}\,225^{\circ},\ \text{cis}\,315^{\circ} \). இவற்றின் பெருக்குத்தொகை \( \text{cis}\,(45^{\circ}+135^{\circ}+225^{\circ}+315^{\circ}) = \text{cis}\,720^{\circ} = \text{cis}\,0^{\circ} = 1 \).

விளக்கம்.

\(\omega^{4}=\omega\) எனப் பயன்படுத்தி அணிக்கோவையை விரிவுபடுத்த அது \(3(\omega^{2}-\omega)\) எனச் சுருங்குகிறது. திட்ட மூலம் \(\omega=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\) எனக் கொண்டால் \(\omega^{2}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\); எனவே \(\omega^{2}-\omega=-\sqrt{3}\,i\). ஆகவே அணிக்கோவையின் மதிப்பு \(3(-\sqrt{3}\,i)=-3\sqrt{3}\,i\).

விளக்கம்.

\(i^{4n}=(i^{4})^{n}=1\) என்பதால் \(i^{4n+1}=i^{4n}\cdot i=i\), \(i^{4n-1}=i^{4n}\cdot i^{-1}=i^{-1}=-i\). பிரதியிட \(\dfrac{i-(-i)}{2}=\dfrac{2i}{2}=i\).

விளக்கம்.

மூன்று நிரைகளையும் முதல் நிரையுடன் கூட்டுவோம். \(1+\omega+\omega^{2}=0\) என்பதால் புதிய முதல் நிரையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் \(z\) ஆகிறது; எனவே \(z\) -ஐ வெளியே எடுக்கலாம். பின்னர் இரண்டு நிரல் செயல்பாடுகளால் அணிக்கோவை \(z^{3}\) எனச் சுருங்குகிறது (மீதமுள்ள உறுப்புகள் \((\omega-\omega^{2})^{2}=-3\) ஐப் பயன்படுத்தி நீங்கிவிடுகின்றன). சமன்பாடு \(z^{3}=0\) ஆகிறது; அதன் ஒரே மூலம் \(z=0\). எனவே வெவ்வேறான மூலம் ஒன்றே.