12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் — கலப்பு எண்கள்: Online Practice Test

Explanation. பொதுக் காரணி \( i^{n} \) ஐ வெளியே எடுத்தால், கூட்டுத்தொகை \( i^{n}\left(1 + i + i^{2} + i^{3}\right) \) ஆகும். \( i^{2} = -1 \), \( i^{3} = -i \) என்பதால் அடைப்பினுள் \( 1 + i - 1 - i = 0 \). எனவே முழுத்தொகையும் \( i^{n}\times 0 = 0 \). தொடர்ச்சியான நான்கு \( i \) இன் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் சுழியம் என்பதை இது காட்டுகிறது.

Explanation. கூட்டுத்தொகையை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம்: \( \sum_{n=1}^{13} i^{n} \) மற்றும் \( \sum_{n=1}^{13} i^{n-1} \). \( i \) இன் அடுக்குகள் நான்கு நான்காகச் சுழன்று கூட்டினால் சுழியமாகும். முதல் தொகையில் \( i^{1} \) முதல் \( i^{13} \) வரை — முதல் \(12\) உறுப்புகள் சுழியம், மீதம் \( i^{13}=i \); எனவே \( \sum i^{n}=i \). இரண்டாம் தொகையில் \( i^{0} \) முதல் \( i^{12} \) வரை — முதல் \(12\) உறுப்புகள் சுழியம், மீதம் \( i^{12}=1 \); எனவே \( \sum i^{n-1}=1 \). இரண்டையும் கூட்ட \( i + 1 = 1 + i \).

Explanation. \( z \) ஐ \( i \) ஆல் பெருக்குவது அதை ஆதியைச் சுற்றி \( 90^{\circ} \) சுழற்றுவதற்குச் சமம். எனவே \( z \) மற்றும் \( iz \) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து, மேலும் அவற்றின் நீளங்கள் சமம் \( \left(\left| z \right| = \left| iz \right|\right) \). இவ்விரு கோட்டுத்துண்டுகளை அடிப்பக்கமாகவும் உயரமாகவும் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \( \frac{1}{2}\times \text{அடி}\times \text{உயரம்} = \frac{1}{2}\left| z \right|\left| iz \right| = \frac{1}{2}\left| z \right|^{2} \).

Explanation. \( \bar{z} = \dfrac{1}{i-2} \) எனில், \( z \) ஐப் பெற மீண்டும் இணை எடுக்க வேண்டும்: \( z = \overline{\left(\dfrac{1}{i-2}\right)} \). ஒரு வகுத்தலின் இணை, அதன் பகுதிகளின் இணைகளின் வகுத்தலுக்குச் சமம் என்பதால் \( z = \dfrac{1}{\overline{(i-2)}} = \dfrac{1}{-i-2} = \dfrac{-1}{i+2} \).

Explanation. மட்டுவின் பெருக்கல்–வகுத்தல் பண்புகளைப் (\( \left| z_1 z_2 \right| = \left| z_1 \right|\left| z_2 \right| \), \( \left| z_1/z_2 \right| = \left| z_1 \right|/\left| z_2 \right| \)) பயன்படுத்தலாம். \( \left| \sqrt{3}+i \right| = \sqrt{3+1}=2 \), \( \left| 4+3i \right| = \sqrt{16+9}=5 \), \( \left| 8+6i \right| = \sqrt{64+36}=10 \). எனவே \( \left| z \right| = \dfrac{2^{3}\times 5^{2}}{10^{2}} = \dfrac{8\times 25}{100} = 2 \).

Explanation. இரு பக்கங்களிலும் மட்டு எடுக்க \( \left| 2iz^{2} \right| = \left| \bar{z} \right| \). \( \left| 2i \right| = 2 \), \( \left| z^{2} \right| = \left| z \right|^{2} \), மேலும் \( \left| \bar{z} \right| = \left| z \right| \) என்பதால் \( 2\left| z \right|^{2} = \left| z \right| \). \( z \neq 0 \) ஆதலால் \( \left| z \right| \) ஆல் வகுக்க \( 2\left| z \right| = 1 \), எனவே \( \left| z \right| = \dfrac{1}{2} \).

Explanation. \( \left| z - (2 - i) \right| \le 2 \) என்பது மையம் \( 2 - i \), ஆரம் \(2\) கொண்ட வட்டத்தட்டு (வட்டமும் அதன் உட்பகுதியும்). ஆதியிலிருந்து இந்தத் தட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளிக்கான மீப்பெரு தொலைவு = ஆதியிலிருந்து மையம் வரையிலான தொலைவு + ஆரம் = \( \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}} + 2 = \sqrt{5} + 2 \).

Explanation. முக்கோண சமனிலியின்படி \( \left| \left| z \right| - \dfrac{3}{\left| z \right|} \right| \le \left| z - \dfrac{3}{z} \right| = 2 \). \( t = \left| z \right| > 0 \) எனக் கொண்டால் \( -2 \le t - \dfrac{3}{t} \le 2 \). இடப்பக்கம்: \( t^{2}+2t-3 \ge 0 \Rightarrow (t+3)(t-1)\ge 0 \Rightarrow t \ge 1 \). வலப்பக்கம்: \( t^{2}-2t-3 \le 0 \Rightarrow (t-3)(t+1)\le 0 \Rightarrow t \le 3 \). எனவே \( 1 \le \left| z \right| \le 3 \); மீச்சிறு மதிப்பு \(1\).

Explanation. \( \left| z \right| = 1 \) எனில் \( z\bar{z} = \left| z \right|^{2} = 1 \), எனவே \( \bar{z} = \dfrac{1}{z} \). இதைப் பதிலிட்டால் \( \dfrac{1+z}{1+\frac{1}{z}} = \dfrac{1+z}{\frac{z+1}{z}} = \dfrac{z(1+z)}{z+1} = z \).

Explanation. \( z = x + iy \) எனக் கொண்டால் \( \sqrt{x^{2}+y^{2}} - x - iy = 1 + 2i \). கற்பனைப் பகுதிகளை ஒப்பிட \( -y = 2 \Rightarrow y = -2 \). மெய்ப் பகுதிகளை ஒப்பிட \( \sqrt{x^{2}+4} - x = 1 \Rightarrow \sqrt{x^{2}+4} = 1 + x \). இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த \( x^{2}+4 = 1 + 2x + x^{2} \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2} \). எனவே \( z = \dfrac{3}{2} - 2i \).

Explanation. \( \left| z_1 z_2 z_3 \right| = 1\cdot 2\cdot 3 = 6 \). கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து \( z_1 z_2 z_3 \) ஐ வெளியே எடுத்தால் \( \left| z_1 z_2 z_3 \right|\left| \dfrac{9}{z_3} + \dfrac{4}{z_2} + \dfrac{1}{z_1} \right| = 12 \). ஒவ்வொரு \( z_k \) க்கும் \( \dfrac{1}{z_k} = \dfrac{\bar{z_k}}{\left| z_k \right|^{2}} \) என்பதால் \( \dfrac{9}{z_3} = \bar{z_3} \), \( \dfrac{4}{z_2} = \bar{z_2} \), \( \dfrac{1}{z_1} = \bar{z_1} \). எனவே அடைப்பு \( \left| \bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} \right| = \left| z_1 + z_2 + z_3 \right| \). இவ்வாறு \( 6\left| z_1 + z_2 + z_3 \right| = 12 \Rightarrow \left| z_1 + z_2 + z_3 \right| = 2 \).

Explanation. \( z + \dfrac{1}{z} \) மெய்யாக இருந்தால் அது தன் இணைக்குச் சமம்: \( z + \dfrac{1}{z} = \bar{z} + \dfrac{1}{\bar{z}} \). மறுசீரமைக்க \( (z - \bar{z}) + \dfrac{\bar{z} - z}{z\bar{z}} = 0 \Rightarrow (z - \bar{z})\left(1 - \dfrac{1}{\left| z \right|^{2}}\right) = 0 \). \( z \) மெய்யல்ல என்பதால் \( z \neq \bar{z} \); எனவே \( 1 - \dfrac{1}{\left| z \right|^{2}} = 0 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \).

Explanation. \( (z_1 + z_2 + z_3)^{2} = z_1^{2}+z_2^{2}+z_3^{2} + 2(z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1) \). இடப்பக்கம் \(0\) என்பதால் \( z_1^{2}+z_2^{2}+z_3^{2} = -2(z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1) \). \( \left| z_k \right| = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{z_k} = \bar{z_k} \) ஆதலால் \( z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = z_1 z_2 z_3\left(\dfrac{1}{z_3}+\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}\right) = z_1 z_2 z_3\,\overline{(z_1+z_2+z_3)} = z_1 z_2 z_3 \cdot 0 = 0 \). எனவே \( z_1^{2}+z_2^{2}+z_3^{2} = 0 \).

Explanation. ஒரு எண் முற்றிலும் கற்பனை எனில் அதன் மெய்ப்பகுதி சுழியம்; சமமாக, அது தன் இணையின் எதிர்க்குறிக்குச் சமம்: \( \dfrac{z-1}{z+1} = -\,\overline{\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)} = -\dfrac{\bar{z}-1}{\bar{z}+1} \). குறுக்குப் பெருக்கி \( (z-1)(\bar{z}+1) = -(\bar{z}-1)(z+1) \). இரு பக்கங்களையும் விரித்து எளிமைப்படுத்த \( z\bar{z} = 1 \), அதாவது \( \left| z \right|^{2} = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \).

Explanation. \( \left| z+2 \right| = \left| z-2 \right| \) என்பது \( z \) ஆனது \( -2 \) மற்றும் \( 2 \) ஆகிய புள்ளிகளிலிருந்து சமதூரத்தில் உள்ளது எனப் பொருள்படும். \( z = x+iy \) எனப் பதிலிட்டு வர்க்கப்படுத்த \( (x+2)^{2}+y^{2} = (x-2)^{2}+y^{2} \Rightarrow 8x = 0 \Rightarrow x = 0 \). \( x = 0 \) என்பது கற்பனை அச்சு; எனவே நியமப்பாதை கற்பனை அச்சு.

Explanation. பகுதியை மெய்யாக்க \( \dfrac{3}{-1+i} = \dfrac{3(-1-i)}{(-1)^{2}+1^{2}} = \dfrac{3(-1-i)}{2} = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}i \). மெய்ப்பகுதியும் கற்பனைப்பகுதியும் எதிர்மறை என்பதால் இது மூன்றாம் கால்பகுதியில் உள்ளது. மேற்கோள் கோணம் \( \alpha = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{3/2}{3/2}\right) = \dfrac{\pi}{4} \). மூன்றாம் கால்பகுதியில் முதன்மை வீச்சு \( -(\pi - \alpha) = -\left(\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{3\pi}{4} \).

Explanation. நிலையான வடிவில் எழுத \( \sin 40^{\circ} = \cos 50^{\circ} \), \( \cos 40^{\circ} = \sin 50^{\circ} \) என்பதால் \( \sin 40^{\circ} + i\cos 40^{\circ} = \cos 50^{\circ} + i\sin 50^{\circ} \). டி மாய்வரின் தேற்றப்படி \( (\cos 50^{\circ} + i\sin 50^{\circ})^{5} = \cos 250^{\circ} + i\sin 250^{\circ} \). \( 250^{\circ} \) ஆனது \( (-180^{\circ},\,180^{\circ}] \) வரம்பிற்கு வெளியே இருப்பதால் \( 250^{\circ} - 360^{\circ} = -110^{\circ} \) ஆக மாற்ற வேண்டும். எனவே முதன்மை வீச்சு \( -110^{\circ} \).

Explanation. இரு பக்கங்களிலும் மட்டு எடுக்க \( \left| 1+i \right|\left| 1+2i \right|\cdots\left| 1+ni \right| = \left| x+iy \right| \). ஒவ்வொரு காரணியின் மட்டும் \( \left| 1+ki \right| = \sqrt{1+k^{2}} \). எனவே \( \sqrt{2}\,\sqrt{5}\,\sqrt{10}\cdots\sqrt{1+n^{2}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \). இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த \( 2\cdot 5\cdot 10\cdots(1+n^{2}) = x^{2}+y^{2} \).

Explanation. \( 1 + \omega + \omega^{2} = 0 \) ஆதலால் \( 1 + \omega = -\omega^{2} \). எனவே \( (1+\omega)^{7} = (-\omega^{2})^{7} = -\omega^{14} \). \( \omega^{3} = 1 \) என்பதால் \( \omega^{14} = \omega^{14 \bmod 3} = \omega^{2} \), எனவே \( (1+\omega)^{7} = -\omega^{2} \). மீண்டும் \( -\omega^{2} = 1 + \omega \) என்பதால் \( (1+\omega)^{7} = 1 + 1\cdot\omega \). எனவே \( A = 1,\ B = 1 \), அதாவது \( (A,B) = (1,1) \).

Explanation. ஒவ்வொரு காரணியையும் துருவ வடிவில் எழுதலாம். \( 1 + i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,\dfrac{\pi}{3} \), எனவே \( (1+i\sqrt{3})^{2} = 4\,\text{cis}\,\dfrac{2\pi}{3} \). \( 1 - i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \) மற்றும் \( 4i = 4\,\text{cis}\,\dfrac{\pi}{2} \). எனவே பகுதி \( 4i(1-i\sqrt{3}) = 8\,\text{cis}\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right) = 8\,\text{cis}\,\dfrac{\pi}{6} \). முழுவதும் \( \dfrac{4\,\text{cis}\frac{2\pi}{3}}{8\,\text{cis}\frac{\pi}{6}} = \dfrac{1}{2}\,\text{cis}\!\left(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}\,\text{cis}\,\dfrac{\pi}{2} \). எனவே முதன்மை வீச்சு \( \dfrac{\pi}{2} \).

Explanation. \( x^{2}+x+1=0 \) இன் மூலங்கள் \(1\) அல்லாத ஒன்றின் கனமூலங்கள், அதாவது \( \alpha = \omega,\ \beta = \omega^{2} \) (இங்கு \( \omega^{3}=1 \)). \( 2020 = 3\times 673 + 1 \) ஆதலால் \( \omega^{2020} = \omega \) மற்றும் \( (\omega^{2})^{2020} = \omega^{4040} = \omega^{4040 \bmod 3} = \omega^{2} \). எனவே \( \alpha^{2020} + \beta^{2020} = \omega + \omega^{2} = -1 \) (ஏனெனில் \( 1 + \omega + \omega^{2} = 0 \)).

Explanation. முதலில் \( \left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)^{3} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 \). எனவே கொடுக்கப்பட்டது \( (-1)^{1/4} \) — அதாவது \( -1 \) இன் நான்கு நான்காம் மூலங்கள். இவை \( \text{cis}\,45^{\circ},\ \text{cis}\,135^{\circ},\ \text{cis}\,225^{\circ},\ \text{cis}\,315^{\circ} \). இவற்றின் பெருக்குத்தொகை \( \text{cis}\,(45^{\circ}+135^{\circ}+225^{\circ}+315^{\circ}) = \text{cis}\,720^{\circ} = \text{cis}\,0^{\circ} = 1 \).

Explanation. \( \omega^{3}=1 \) ஆதலால் \( \omega^{7}=\omega \), மேலும் \( 1+\omega+\omega^{2}=0 \) என்பதால் \( -\omega^{2}-1 = \omega \). எனவே அணிக்கோவை \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{vmatrix} \) ஆகச் சுருங்குகிறது. இதை விரிக்க \( 1(\omega\cdot\omega - \omega^{2}\cdot\omega^{2}) - 1(\omega - \omega^{2}) + 1(\omega^{2} - \omega) \). \( \omega^{4}=\omega \) எனப் பயன்படுத்தி எளிமைப்படுத்த, மதிப்பு \( 3\omega^{2} - 3\omega = 3(\omega^{2}-\omega) \). எனவே \( 3k = 3(\omega^{2}-\omega) \Rightarrow k = \omega^{2}-\omega \). \( \omega = -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\ \omega^{2} = -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \) என்பதால் \( k = -\sqrt{3}\,i = -i\sqrt{3} \).

Explanation. \( 1+\sqrt{3}\,i = 2\,\text{cis}\,\dfrac{\pi}{3} \) மற்றும் \( 1-\sqrt{3}\,i = 2\,\text{cis}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \). எனவே \( \dfrac{1+\sqrt{3}\,i}{1-\sqrt{3}\,i} = \text{cis}\!\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right) = \text{cis}\,\dfrac{2\pi}{3} \). இதை \(10\) ஆல் அடுக்க, டி மாய்வரின் தேற்றப்படி \( \text{cis}\,\dfrac{20\pi}{3} \). \( \dfrac{20\pi}{3} - 6\pi = \dfrac{2\pi}{3} \) ஆதலால் மதிப்பு \( \text{cis}\,\dfrac{2\pi}{3} \).

Explanation. \( \omega = \text{cis}\,\dfrac{2\pi}{3} \) என்பது \(1\) அல்லாத ஒன்றின் கனமூலம்; எனவே \( 1+\omega+\omega^{2}=0 \) மற்றும் \( \omega^{3}=1 \). அணிக்கோவையை விரித்து இந்தச் சமனிலிகளைப் பயன்படுத்தி எளிமைப்படுத்தினால் சமன்பாடு \( z^{3} = 0 \) ஆகச் சுருங்குகிறது. எனவே \( z = 0 \) மட்டுமே மூலம் (மும்மடங்கு மூலமாக); வெவ்வேறான மூலங்களின் எண்ணிக்கை \(1\).