வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் பற்றி

கடினம் ~240 நிமிடப் படிப்பு

11ஆம் வகுப்பில் வகையிடக் கற்றீர்கள். வகைக்கெழு நமக்கு என்ன சொல்கிறது என்பதுதான் இந்த அலகு. ஒரு அளவு காலத்தைப் பொறுத்து மாறினால், அதன் வகைக்கெழு அந்தக் கணத்தில் மாறுவீதம்: ஒரு துகளின் திசைவேகம், பலூனின் கன அளவு அதிகரிக்கும் வீதம், சூடான பொருள் குளிரும் வீதம். பின்னால் ஏதாவது ஒரு பெருமமோ சிறுமமோ இல்லாமல் உலகில் எதுவும் நடப்பதில்லை என்று ஆய்லர் குறிப்பிட்டார். இந்த அலகும் அதிலேயே முடிகிறது: ஒரு அளவின் மிகப்பெரிய அல்லது மிகச்சிறிய மதிப்பைக் காணுதல்.

தலைப்புகள் தெளிவான வரிசையில் வருகின்றன. முதலில் மாறுவீதங்கள், தொடுகோடுகள், செங்கோடுகள். பிறகு ரோலின் தேற்றமும் லெக்ராஞ்சியின் இடைமதிப்புத் தேற்றமும்; இவை ஒரு முழு இடைவெளியில் சார்பின் நடத்தையை விவரிக்கின்றன. இவற்றிலிருந்து டெய்லர், மெக்லாரின் தொடர்களும், $0/0$, $\infty/\infty$ வடிவ எல்லைகளுக்கான லோபிதாலின் விதியும் (L'Hôpital's rule) வருகின்றன. பிறகு முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனைகள் இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகளைத் தருகின்றன. இறுதியில் எல்லாமும் வளைவரை வரைதலில் ஒன்று சேர்கின்றன.

இங்கு பல வினாக்கள் சொற்கணக்குகள். சூழலைப் படித்து, அளவை ஒரே மாறியின் சார்பாக எழுதி, வகையிட்டு, விடையைப் பொருள்படுத்த வேண்டும். ஒரு மதிப்பெண் வினாக்களில் தேற்றங்களின் நிபந்தனைகளைக் கவனியுங்கள்: மூடிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இல்லாத, அல்லது திறந்த இடைவெளியில் வகையிடத்தக்கதாக இல்லாத சார்பு, முனை மதிப்புகள் சமமாக இருந்தாலும் ரோலின் தேற்றத்தை நிறைவு செய்யாது. குழிவு, வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் பற்றிய வினாக்களும் அடிக்கடி வருகின்றன. எனவே இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் குறி எதைக் குறிக்கிறது என்பதில் தெளிவாக இருங்கள்.

நீங்கள் கற்பவை

• கொடுக்கப்பட்ட சார்பிலிருந்து திசைவேகம், முடுக்கம், தொடர்புடைய வீதங்களைக் காணுதல்.
• தொடுகோடுகள், செங்கோடுகளின் சமன்பாடுகளை எழுதுதல், இரண்டு வளைவரைகளுக்கு இடையிலான கோணம் காணுதல்.
• ரோலின் தேற்றம், லெக்ராஞ்சியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம் ஆகியவற்றைக் கூறி, நிபந்தனைகளைச் சரிபார்த்து, c ஐக் காணுதல்.
• டெய்லர், மெக்லாரின் தொடர்கள் மூலம் சார்புகளை விரித்தல்.
• லோபிதாலின் விதி மூலம் தேரப்பெறா எல்லைகளைக் கணக்கிடுதல்.
• முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனைகள் மூலம் பெரும சிறுமக் கணக்குகளைத் தீர்த்தல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• சார்புகளின் எல்லைகளும் தொடர்ச்சித் தன்மையும்.
• சங்கிலி விதி உட்பட வகையிடல் விதிகள்.
• முக்கோணவியல், அடுக்குக்குறி, மடக்கைச் சார்புகளின் பண்புகள்.

வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் — விரிவான விளக்கம்

இந்த அலகின் தலைப்புகள்

மாறுவீதமும் இயக்கமும்

$t$ நேரத்தில் ஒரு துகளின் நிலை $s(t)$ எனில், அதன் திசைவேகம் $v(t) = s'(t)$, முடுக்கம் $a(t) = v'(t)$. $v(t) = 0$ ஆகும்போது துகள் அந்தக் கணத்தில் ஓய்வில் இருக்கும். $v(t)$ குறி மாறும்போது துகள் திசை மாறுகிறது. தொடர்புடைய வீதங்களையும் இதே கருத்து கையாள்கிறது. ஒரு கோள வடிவ பலூனின் ஆரம் தெரிந்த வீதத்தில் அதிகரித்தால், $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ஐ $t$ ஐப் பொறுத்து வகையிட்டு, கொடுக்கப்பட்ட ஆரத்தைப் பிரதியிட்டால் கன அளவின் மாறுவீதம் கிடைக்கும். வகையிடுவதற்கு முன்பே $r$ இன் மதிப்பைப் பிரதியிடுவது வழக்கமான பிழை.

தொடுகோடுகள், செங்கோடுகள், வளைவரைகளுக்கு இடையிலான கோணம்

ஒரு புள்ளியில் வகைக்கெழு அங்கு தொடுகோட்டின் சாய்வு. $(x_1, y_1)$ இல் சாய்வு $m$ எனில், தொடுகோடு $y - y_1 = m(x - x_1)$. செங்கோடு தொடுகோட்டுக்குச் செங்குத்தானது; எனவே அதன் சாய்வு $-1/m$. இரண்டு வளைவரைகள் வெட்டும் புள்ளியில் அவற்றுக்கு இடையிலான கோணம், அந்தப் புள்ளியில் அவற்றின் தொடுகோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம். இரண்டு சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் $-1$ எனில், வளைவரைகள் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்கின்றன.

இடைமதிப்புத் தேற்றங்கள்

ரோலின் தேற்றம் (Rolle's theorem): $f$ ஆனது $[a, b]$ இல் தொடர்ச்சியானது, $(a, b)$ இல் வகையிடத்தக்கது, $f(a) = f(b)$ எனில், $(a, b)$ இல் குறைந்தது ஒரு $c$ க்கு $f'(c) = 0$. வடிவியல் முறையில், இரு முனைகளுக்கும் இடையே எங்கோ ஒரு கிடைத் தொடுகோடு உண்டு. லெக்ராஞ்சியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம் $f(a) = f(b)$ என்ற நிபந்தனையை நீக்கி, $(a, b)$ இல் ஏதோ ஒரு $c$ க்கு $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ என்று முடிவு செய்கிறது. சொற்களில் சொன்னால், ஏதோ ஒரு கணத்தில் கணநேர வீதம் சராசரி வீதத்திற்குச் சமம்.

தொடர் விரிவுகளும் தேரப்பெறா வடிவங்களும்

டெய்லர் தொடர், $a$ இல் சார்பின் வகைக்கெழுக்களைக் கொண்டு அதை $(x - a)$ இன் அடுக்குத் தொடராக எழுதுகிறது. $a = 0$ எனில் அது மெக்லாரின் தொடர் எனப்படும். $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\log(1 + x)$ ஆகியவற்றின் பழக்கமான விரிவுகள் இதிலிருந்து கிடைக்கின்றன. லோபிதாலின் விதி $0/0$ அல்லது $\infty/\infty$ வடிவ எல்லைகளைக் கணக்கிடுகிறது: பின்னம் முழுவதையும் அல்ல, தொகுதியையும் பகுதியையும் தனித்தனியாக வகையிட்டு, மீண்டும் எல்லை காணுங்கள். $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ போன்ற பிற வடிவங்களை முதலில் ஒரு வகுத்தலாக மாற்றி எழுத வேண்டும்; பெரும்பாலும் மடக்கை எடுத்து இதைச் செய்கிறோம்.

பெருமம், சிறுமம், உகப்பாக்கம்

சார்பகத்தில் $f'(x) = 0$ ஆகும் அல்லது $f'(x)$ இல்லாத புள்ளி மாறுநிலை எண் (Critical number). முதல் வகைக்கெழுச் சோதனை இருபுறமும் $f'$ இன் குறியைப் பார்க்கிறது: மிகையிலிருந்து குறைக்கு மாறினால் இடஞ்சார்ந்த பெருமம்; குறையிலிருந்து மிகைக்கு மாறினால் இடஞ்சார்ந்த சிறுமம். $f'(c) = 0$ ஆகும்போது இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை விரைவானது: $f''(c) < 0$ எனில் பெருமம், $f''(c) > 0$ எனில் சிறுமம். $f''(c) = 0$ எனில் சோதனை பயனளிக்காது; முதல் வகைக்கெழுச் சோதனைக்குத் திரும்புங்கள். மூடிய இடைவெளியில் முழுமையான அறுதி மதிப்புகளுக்கு, மாறுநிலை எண்களிலும் முனைப் புள்ளிகளிலும் உள்ள மதிப்புகளை ஒப்பிடுங்கள். நிலையான கன அளவுள்ள மூடிய உருளையின் மிகக்குறைந்த மேற்பரப்பு போன்ற உகப்பாக்கக் கணக்குகள் இதே படிகளைப் பயன்படுத்துகின்றன.

சமச்சீர், தொலைத்தொடுகோடுகள், வளைவரை வரைதல்

ஒரு வளைவரையை வரைய, அதன் சார்பகம், வெட்டுத்துண்டுகள், சமச்சீர், தொலைத்தொடுகோடுகள், ஏறும் மற்றும் இறங்கும் இடைவெளிகள், இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள், குழிவு, வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் ஆகியவற்றைத் திரட்டுங்கள். பொதுவாகப் பகுதி பூச்சியமாகவும் தொகுதி பூச்சியமில்லாமலும் இருக்கும் இடத்தில் செங்குத்துத் தொலைத்தொடுகோடு வரும். $x \to \pm\infty$ ஆகும்போது $f(x)$ இன் எல்லையிலிருந்து கிடைத் தொலைத்தொடுகோடு கிடைக்கிறது. விகிதமுறு சார்பில், தொகுதியின் படி பகுதியின் படியை விட ஒன்று அதிகமாக இருந்தால் சாய்வுத் தொலைத்தொடுகோடு வரும். இவை அனைத்தும் சேர்ந்து துல்லியமான தோராய வரைபடத்தைத் தருகின்றன.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• மூடிய இடைவெளியில் தொடர்ச்சியையும் திறந்த இடைவெளியில் வகையிடத்தக்க தன்மையையும் சரிபார்க்காமல் ரோலின் தேற்றத்தையோ இடைமதிப்புத் தேற்றத்தையோ பயன்படுத்துவது.
• லோபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தும்போது தொகுதியையும் பகுதியையும் தனித்தனியாக வகையிடாமல், பின்னம் முழுவதற்கும் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்துவது.
• முழுமையான பெருமம் அல்லது முழுமையான சிறுமம் காணும்போது மூடிய இடைவெளியின் முனைப் புள்ளிகளை விட்டுவிடுவது.
• இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் குறியைத் தலைகீழாகப் புரிந்துகொள்வது: f''(c) குறை மதிப்பு எனில் இடஞ்சார்ந்த பெருமம்; சிறுமம் அல்ல.
• பகுதி பூச்சியமாகும் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் சரிபார்க்காததால் ஒரு செங்குத்துத் தொலைத்தொடுகோட்டைத் தவறவிடுவது.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

இயக்கக் கணக்குகளில் திசைவேகத்தையும் முடுக்கத்தையும் எப்படிக் காண்பது?

நிலைச் சார்பைக் காலத்தைப் பொறுத்து வகையிட்டால் திசைவேகம் கிடைக்கும். மீண்டும் வகையிட்டால் முடுக்கம் கிடைக்கும். பிறகு கொடுக்கப்பட்ட t இன் மதிப்பைப் பிரதியிடுங்கள். துகள் எப்போது ஓய்வில் இருக்கும் என்று கேட்டால், v(t) = 0 ஐத் தீர்க்கவும்.

லோபிதாலின் விதியை எப்போது பயன்படுத்தலாம்?

நேரடியாகப் பிரதியிடும்போது 0/0 அல்லது ∞/∞ கிடைத்தால் மட்டுமே. தொகுதியையும் பகுதியையும் தனித்தனியாக வகையிட்டு மீண்டும் எல்லை காணுங்கள். புதிய எல்லையும் அதே வடிவில் இருந்தால் விதியை மீண்டும் பயன்படுத்தலாம். 0 · ∞ அல்லது 1^∞ போன்ற வடிவங்களுக்கு, முதலில் கோவையை ஒரு வகுத்தலாக மாற்றி எழுதுங்கள்.

மூடிய இடைவெளியில் முழுமையான அறுதி மதிப்புகளை எப்படிக் காண்பது?

இடைவெளிக்குள் உள்ள எல்லா மாறுநிலை எண்களையும், அதாவது வகைக்கெழு பூச்சியமாகும் அல்லது இல்லாத புள்ளிகளையும், காணுங்கள். ஒவ்வொரு மாறுநிலை எண்ணிலும் இரண்டு முனைப் புள்ளிகளிலும் சார்பின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள். இவற்றில் மிகப்பெரியது முழுமையான பெருமம்; மிகச்சிறியது முழுமையான சிறுமம்.

வளைவு மாற்றப் புள்ளி என்றால் என்ன?

வளைவரையில் குழிவு மாறும் புள்ளி: மேல்நோக்கிக் குழிவிலிருந்து கீழ்நோக்கிக் குழிவுக்கு, அல்லது மறுதிசையில். இரண்டாம் வகைக்கெழு பூச்சியமாகும் அல்லது இல்லாத புள்ளிகள் இதற்கு வாய்ப்புள்ளவை. ஆனால் அங்கு இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் குறி உண்மையில் மாறுகிறதா என்று சரிபார்க்க வேண்டும். y = x^4 க்கு 0 இல் இரண்டாம் வகைக்கெழு பூச்சியம்; ஆனாலும் அங்கு வளைவு மாற்றம் இல்லை.

டெய்லர் தொடருக்கும் மெக்லாரின் தொடருக்கும் என்ன வேறுபாடு?

இரண்டும் ஒரு புள்ளியில் சார்பின் வகைக்கெழுக்களைக் கொண்டு அதை அடுக்குத் தொடராக எழுதுகின்றன. டெய்லர் தொடர் எந்தப் புள்ளி a ஐப் பொறுத்தும், (x − a) இன் அடுக்குகளில் இருக்கும். மெக்லாரின் தொடர் a = 0 என்ற சிறப்பு நிலை; x இன் அடுக்குகளில் இருக்கும்.

நிலைப் புள்ளி என்றால் என்ன?

முதல் வகைக்கெழு பூச்சியமாகும் புள்ளி; அங்கு தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கும். ஒவ்வொரு நிலைப் புள்ளியும் ஒரு மாறுநிலை எண். ஆனால் ஒரு மாறுநிலை எண், |x| க்கு x = 0 போல, வகைக்கெழு இல்லாத புள்ளியாகவும் இருக்கலாம்.