வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் — கற்றல் குறிப்புகள்

முக்கியக் கருத்துக்கள்

இந்த அத்தியாயம் வகையீட்டை (derivative) உண்மை உலகச் சிக்கல்களுக்குப் பயன்படுத்துவதைப் பற்றியது — மாறுபாட்டு வீதங்கள், தொடுகோடு–செங்கோடு, மீப்பெரு–சிறும மதிப்புகள், சார்புகளின் தன்மை, மற்றும் வளைவரையின் வடிவம்.

1. தொடர்புடைய மாறுபாட்டு வீதங்கள் (Related rates)

ஒரு மாறியின் மாறுபாட்டு வீதம் தெரிந்தால், அதனுடன் சமன்பாட்டால் தொடர்புடைய மற்றொரு மாறியின் வீதத்தைக் காணலாம். முறை: இரு மாறிகளையும் இணைக்கும் சமன்பாட்டை எழுதி, காலம் \(t\)-ஐப் பொறுத்து உள்ளார்ந்து வகையிடவும். எ.கா. கோளத்தின் \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\) எனில் \(\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\dfrac{dr}{dt}\).

2. தொடுகோடும் செங்கோடும் (Tangent & Normal)

\((x_{1},y_{1})\) புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சாய்வு \(m=\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(x_{1},y_{1})}\). தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்க \(\dfrac{dy}{dx}=0\); நிலைக்குத்தாக (செங்குத்தாக) இருக்க \(\dfrac{dy}{dx}\) வரையறுக்கப்படாமல் (பகுதி \(=0\)) இருக்கும். செங்கோட்டின் சாய்வு \(-\dfrac{1}{m}\).

3. சராசரி மதிப்புத் தேற்றங்கள் (Mean Value Theorems)

ரோலின் தேற்றம்: \(f\) ஆனது \([a,b]\)-ல் தொடர்ச்சியாகவும் \((a,b)\)-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்து \(f(a)=f(b)\) எனில், \(f'(c)=0\) ஆகும் \(c\in(a,b)\) உண்டு.

லாக்ரான்ஜ் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம்: மேற்கண்ட முதல் இரு நிபந்தனைகளுடன் \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ஆகும் \(c\) உண்டு.

4. சார்புகளின் ஏற்றம்/இறக்கம் (Monotonicity)

ஒரு இடைவெளியில் \(f'(x)>0\) எனில் \(f\) ஏறுசார்பு; \(f'(x)<0\) எனில் இறங்குசார்பு. \(f'(x)=0\) ஆகும் புள்ளிகள் மாறுநிலைப் புள்ளிகள் (critical points).

5. மீப்பெரு–சிறும மதிப்புகள் (Maxima & Minima)

முதல் வகை சோதனை: \(c\)-ல் \(f'\) குறி \(+\) ஆக இருந்து \(-\) ஆக மாறினால் மீப்பெருமம்; \(-\) ஆக இருந்து \(+\) ஆனால் சிறுமம். இரண்டாம் வகை சோதனை: \(f'(c)=0\) ஆகவும் \(f''(c)<0\) எனில் மீப்பெருமம்; \(f''(c)>0\) எனில் சிறுமம்.

6. குழிவு மற்றும் வளைவு மாற்றப் புள்ளி (Concavity & inflection)

\(f''(x)>0\) எனில் வளைவரை மேற்புறமாகக் குழிந்துள்ளது (concave up); \(f''(x)<0\) எனில் கீழ்புறமாகக் குழிந்துள்ளது (concave down). \(f''\) குறி மாறும் புள்ளி வளைவு மாற்றப் புள்ளி (point of inflection).

7. வரம்புகள் — l'Hôpital விதி

\(\dfrac{0}{0}\) அல்லது \(\dfrac{\infty}{\infty}\) வடிவ வரம்புகளுக்கு \(\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\). \(\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\) போன்ற வடிவங்களை முதலில் பின்னமாக மாற்றி பயன்படுத்தவும்.

தேர்வில் அடிக்கடி வரும் தவறுகள்

• தொடர்புடைய வீதச் சிக்கல்களில் வகையிடுவதற்கு முன்பே மதிப்புகளைப் பதிலிட்டுவிடுதல் — முதலில் வகையிட்டு, பிறகே பதிலிடவும்.
• நிலைக்குத்துத் தொடுகோடு (பகுதி \(=0\)) மற்றும் கிடைமட்டத் தொடுகோடு (\(\dfrac{dy}{dx}=0\)) ஆகியவற்றைக் குழப்பிக்கொள்ளுதல்.
• ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தும் முன் \(f(a)=f(b)\) என்பதைச் சரிபார்க்காமல் விடுதல்.
• மூடிய இடைவெளியில் முழுமையான மீப்பெரு/சிறுமத்தைக் காணும்போது இறுதிப் புள்ளிகளின் மதிப்புகளை மறந்துவிடுதல்.
• மாறுநிலைப் புள்ளியை நேரடியாக மீப்பெருமம்/சிறுமம் என்று முடிவு செய்தல் — இரண்டாம் வகை அல்லது குறிமாற்றச் சோதனையை மேற்கொள்ளவும்.