மார்ச் 2020 12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் பொதுத் தேர்வின் 20 ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், வினாத்தாள் வரிசையில், சரியான விடை குறிக்கப்பட்டு சுருக்கமான விளக்கத்துடன்.
Q1
\(u(x,y)=e^{x^2+y^2}\) எனில் \(\frac{\partial u}{\partial x}\)-ன் மதிப்பு :
- A. \(y^2u\)
- B. \(e^{x^2+y^2}\)
- C. \(2xu\)சரி
- D. \(x^2u\)
விளக்கம். y-ஐ மாறிலியாகக் கொண்டு வகையிட, \(\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x^2+y^2}\cdot 2x=2xu\).
Q2
கழித்தலின் அடைவுப்பண்பு பெறாத கணம் :
- A. \(\mathbb{Q}\)
- B. \(\mathbb{R}\)
- C. \(\mathbb{Z}\)
- D. \(\mathbb{N}\)சரி
விளக்கம். \(\mathbb{N}\)-ல் எடுத்துக்காட்டாக \(2-5=-3\notin\mathbb{N}\); எனவே கழித்தல் அடைவுப்பண்பு பெறாது. \(\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\)-ல் அடைவுப்பண்பு உண்டு.
Q3
\(\int_0^{\pi}\sin^4 x\,dx\) -இன் மதிப்பு :
- A. \(\frac{3\pi}{2}\)
- B. \(\frac{3\pi}{10}\)
- C. \(\frac{3\pi}{8}\)சரி
- D. \(\frac{3\pi}{4}\)
விளக்கம். \(\int_0^{\pi}\sin^4x\,dx=2\int_0^{\pi/2}\sin^4x\,dx=2\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{8}\).
Q4
n படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு பெற்றுள்ள மூலங்கள் :
- A. சரியாக n மூலங்கள்சரி
- B. n வெவ்வேறு மூலங்கள்
- C. n மெய்யெண் மூலங்கள்
- D. n கலப்பெண் மூலங்கள்
விளக்கம். இயற்கணித அடிப்படைத் தேற்றப்படி n படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு (மடங்குகளையும் சேர்த்து) சரியாக n மூலங்கள் உண்டு; அவை வெவ்வேறாகவோ மெய்யெண்களாகவோ இருக்க வேண்டியதில்லை.
Q5
\(\rho(A)=\rho([A|B])\) எனில், \(AX=B\) என்ற நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது :
- A. ஒருங்கமைவற்றது
- B. ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வு பெற்றிருக்கும்
- C. ஒருங்கமைவுடையதுசரி
- D. ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும்
விளக்கம். ரூஷே-கபெல்லி தேற்றப்படி இரு தரங்களும் சமமெனில் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது; தீர்வு ஒன்றா எண்ணற்றவையா என்பது தரத்தையும் மாறிகளின் எண்ணிக்கையையும் பொறுத்தது, அது இங்கு தரப்படவில்லை.
Q6
\(x^2=8y-1\) என்ற பரவளையத்தின் முனை :
- A. \(\left(0,-\frac{1}{8}\right)\)
- B. \(\left(-\frac{1}{8},0\right)\)
- C. \(\left(\frac{1}{8},0\right)\)
- D. \(\left(0,\frac{1}{8}\right)\)சரி
விளக்கம். \(x^2=8\left(y-\frac{1}{8}\right)\); எனவே முனை \(\left(0,\frac{1}{8}\right)\).
Q7
\(\sin^{-1}x+\sin^{-1}y=\frac{2\pi}{3}\) எனில் \(\cos^{-1}x+\cos^{-1}y\) என்பதன் மதிப்பு :
- A. \(\pi\)
- B. \(\frac{2\pi}{3}\)
- C. \(\frac{\pi}{3}\)சரி
- D. \(\frac{\pi}{6}\)
விளக்கம். \(\cos^{-1}x+\cos^{-1}y=\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}x\right)+\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}y\right)=\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\).
Q8
\(\sum_{n=1}^{13}\left(i^n+i^{n-1}\right)\) -ன் மதிப்பு :
- A. 0
- B. \(1+i\)சரி
- C. \(i\)
- D. 1
விளக்கம். அடுத்தடுத்த 4 \(i\)-ன் அடுக்குகளின் கூடுதல் 0. \(\sum_{n=1}^{13}i^n=i^{13}=i\), \(\sum_{n=1}^{13}i^{n-1}=i^{12}=1\); எனவே கூடுதல் \(1+i\). (வினாத்தாளில் குறியீடு \(i=1\) என அச்சிடப்பட்டுள்ளது; அது \(n=1\) ஆகும்.)
Q9
\(\vec{r}=s\hat{i}+t\hat{j}\) (இங்கு s, t என்பவை துணையலகுகள்) என்ற சமன்பாடு :
- A. zox தளம்
- B. \(\hat{i},\hat{j}\) ஆகியவற்றை இணைக்கும் நேர்கோடு
- C. xoy தளம்சரி
- D. yoz தளம்
விளக்கம். ஒவ்வொரு புள்ளியும் \((s,t,0)\); z = 0 மற்றும் s, t ஏதேனும் மதிப்புகள் பெறுவதால் இது xoy தளம் ஆகும்.
Q10
மையம் (h, k) மற்றும் ஆரம் 'a' கொண்ட எல்லா வட்டங்களின் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை (இங்கு h, k, a ஆகியவை மாறத்தக்க மாறிலிகள் அல்லது ஏதேச்சையான மாறிலிகள்).
விளக்கம். \((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\)-ல் மூன்று ஏதேச்சையான மாறிலிகள் உள்ளன; அவற்றை நீக்கக் கிடைக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை 3.
Q11
\(\arg(0)\) -ன் மதிப்பு :
- A. \(\infty\)
- B. 0
- C. \(\pi\)
- D. வரையறுக்கப்படவில்லைசரி
விளக்கம். 0 என்ற கலப்பெண்ணின் மட்டு 0; அதற்குத் திசை இல்லாததால் வீச்சு வரையறுக்கப்படவில்லை.
Q12
\(\tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\)
- A. \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\)சரி
- B. \(\frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\)
- C. \(\frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\)
- D. \(\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\)
விளக்கம். \(\tan^{-1}\frac{1}{4}+\tan^{-1}\frac{2}{9}=\tan^{-1}\frac{17/36}{17/18}=\tan^{-1}\frac{1}{2}\). \(\cos\left(2\tan^{-1}\frac{1}{2}\right)=\frac{1-1/4}{1+1/4}=\frac{3}{5}\) என்பதால் விடை (2)-ம் இதற்குச் சமமே; வினாத்தாளில் இரண்டு சரியான விடைகள் உள்ளன.
Q13
t என்ற காலத்தில் கிடைமட்டமாக நகரும் துகளின் நிலை \(s(t)=3t^2-2t-8\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. துகள் ஓய்வு நிலைக்கு வரும் நேரம் :
- A. \(t=3\)
- B. \(t=0\)
- C. \(t=\frac{1}{3}\)சரி
- D. \(t=1\)
விளக்கம். திசைவேகம் \(v=s'(t)=6t-2=0\) எனில் \(t=\frac{1}{3}\).
Q14
\(100\ m^2\) பரப்பளவு கொண்ட செவ்வகத்தின் மீச்சிறு சுற்றளவு (மீட்டரில்) :
- A. 50
- B. 10
- C. 20
- D. 40சரி
விளக்கம். \(P=2\left(x+\frac{100}{x}\right)\); \(P'=0\) எனில் \(x=10\), அதாவது பக்கம் 10 மீ கொண்ட சதுரம்; \(P=40\) மீ.
Q15
n = 25 மற்றும் p = 0.8 என உள்ள ஈருறுப்பு பரவல் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறி X-ன் திட்ட விலக்கத்தின் மதிப்பு :
விளக்கம். \(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{25\times0.8\times0.2}=\sqrt{4}=2\).
Q16
\(3x^2+by^2+4bx-6by+b^2=0\) என்ற வட்டத்தின் ஆரம் :
- A. \(\sqrt{11}\)
- B. 1
- C. 3
- D. \(\sqrt{10}\)சரி
விளக்கம். வட்டத்திற்கு \(x^2\), \(y^2\)-ன் கெழுக்கள் சமம்; எனவே \(b=3\): \(x^2+y^2+4x-6y+3=0\). ஆரம் \(=\sqrt{4+9-3}=\sqrt{10}\).
Q17
\(x+2y+3z+7=0\) மற்றும் \(2x+4y+6z+7=0\) ஆகிய தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு :
- A. \(\frac{7}{2\sqrt{2}}\)
- B. \(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}\)சரி
- C. \(\frac{7}{2}\)
- D. \(\frac{\sqrt{7}}{2}\)
விளக்கம். இரண்டாம் தளத்தை \(x+2y+3z+\frac{7}{2}=0\) என எழுதுக. தொலைவு \(=\frac{|7-7/2|}{\sqrt{14}}=\frac{7}{2\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}\).
Q18
\((AB)^{-1}=\begin{bmatrix}12 & -17\\ -19 & 27\end{bmatrix}\) மற்றும் \(A^{-1}=\begin{bmatrix}1 & -1\\ -2 & 3\end{bmatrix}\) எனில், \(B^{-1}=\)
- A. \(\begin{bmatrix}8 & -5\\ -3 & 2\end{bmatrix}\)
- B. \(\begin{bmatrix}2 & -5\\ -3 & 8\end{bmatrix}\)சரி
- C. \(\begin{bmatrix}8 & 5\\ 3 & 2\end{bmatrix}\)
- D. \(\begin{bmatrix}3 & 1\\ 2 & 1\end{bmatrix}\)
விளக்கம். \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\); எனவே \(B^{-1}=(AB)^{-1}A\). இங்கு \(A=(A^{-1})^{-1}=\begin{bmatrix}3 & 1\\ 2 & 1\end{bmatrix}\); ஆகவே \(B^{-1}=\begin{bmatrix}2 & -5\\ -3 & 8\end{bmatrix}\).
Q19
\(\int_0^{2/3}\frac{dx}{\sqrt{4-9x^2}}\) -இன் மதிப்பு :
- A. \(\pi\)
- B. \(\frac{\pi}{6}\)சரி
- C. \(\frac{\pi}{2}\)
- D. \(\frac{\pi}{4}\)
விளக்கம். \(\int\frac{dx}{\sqrt{4-9x^2}}=\frac{1}{3}\sin^{-1}\frac{3x}{2}\); 0 முதல் \(\frac{2}{3}\) வரை மதிப்பு \(\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}\).
Q20
\(\frac{dx}{dy}+\frac{dy}{dx}=0\) என்ற வகைக்கெழு சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி முறையே :
- A. 2, படி வரையறுக்க இயலாது
- B. 1, 2சரி
- C. 2, 1
- D. 2, 2
விளக்கம். \(\frac{dy}{dx}\)-ஆல் பெருக்க \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+1=0\); உயர்வரிசை வகைக்கெழு முதல் வரிசை, அதன் அடுக்கு 2; எனவே வரிசை 1, படி 2.
