12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் மார்ச் 2020: ஆன்லைன் பயிற்சித் தேர்வு

விளக்கம். y-ஐ மாறிலியாகக் கொண்டு வகையிட, \(\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x^2+y^2}\cdot 2x=2xu\).

விளக்கம். \(\mathbb{N}\)-ல் எடுத்துக்காட்டாக \(2-5=-3\notin\mathbb{N}\); எனவே கழித்தல் அடைவுப்பண்பு பெறாது. \(\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\)-ல் அடைவுப்பண்பு உண்டு.

விளக்கம். \(\int_0^{\pi}\sin^4x\,dx=2\int_0^{\pi/2}\sin^4x\,dx=2\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{8}\).

விளக்கம். இயற்கணித அடிப்படைத் தேற்றப்படி n படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு (மடங்குகளையும் சேர்த்து) சரியாக n மூலங்கள் உண்டு; அவை வெவ்வேறாகவோ மெய்யெண்களாகவோ இருக்க வேண்டியதில்லை.

விளக்கம். ரூஷே-கபெல்லி தேற்றப்படி இரு தரங்களும் சமமெனில் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது; தீர்வு ஒன்றா எண்ணற்றவையா என்பது தரத்தையும் மாறிகளின் எண்ணிக்கையையும் பொறுத்தது, அது இங்கு தரப்படவில்லை.

விளக்கம். \(x^2=8\left(y-\frac{1}{8}\right)\); எனவே முனை \(\left(0,\frac{1}{8}\right)\).

விளக்கம். \(\cos^{-1}x+\cos^{-1}y=\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}x\right)+\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}y\right)=\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\).

விளக்கம். அடுத்தடுத்த 4 \(i\)-ன் அடுக்குகளின் கூடுதல் 0. \(\sum_{n=1}^{13}i^n=i^{13}=i\), \(\sum_{n=1}^{13}i^{n-1}=i^{12}=1\); எனவே கூடுதல் \(1+i\). (வினாத்தாளில் குறியீடு \(i=1\) என அச்சிடப்பட்டுள்ளது; அது \(n=1\) ஆகும்.)

விளக்கம். ஒவ்வொரு புள்ளியும் \((s,t,0)\); z = 0 மற்றும் s, t ஏதேனும் மதிப்புகள் பெறுவதால் இது xoy தளம் ஆகும்.

விளக்கம். \((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\)-ல் மூன்று ஏதேச்சையான மாறிலிகள் உள்ளன; அவற்றை நீக்கக் கிடைக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை 3.

விளக்கம். 0 என்ற கலப்பெண்ணின் மட்டு 0; அதற்குத் திசை இல்லாததால் வீச்சு வரையறுக்கப்படவில்லை.

விளக்கம். \(\tan^{-1}\frac{1}{4}+\tan^{-1}\frac{2}{9}=\tan^{-1}\frac{17/36}{17/18}=\tan^{-1}\frac{1}{2}\). \(\cos\left(2\tan^{-1}\frac{1}{2}\right)=\frac{1-1/4}{1+1/4}=\frac{3}{5}\) என்பதால் விடை (2)-ம் இதற்குச் சமமே; வினாத்தாளில் இரண்டு சரியான விடைகள் உள்ளன.

விளக்கம். திசைவேகம் \(v=s'(t)=6t-2=0\) எனில் \(t=\frac{1}{3}\).

விளக்கம். \(P=2\left(x+\frac{100}{x}\right)\); \(P'=0\) எனில் \(x=10\), அதாவது பக்கம் 10 மீ கொண்ட சதுரம்; \(P=40\) மீ.

விளக்கம். \(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{25\times0.8\times0.2}=\sqrt{4}=2\).

விளக்கம். வட்டத்திற்கு \(x^2\), \(y^2\)-ன் கெழுக்கள் சமம்; எனவே \(b=3\): \(x^2+y^2+4x-6y+3=0\). ஆரம் \(=\sqrt{4+9-3}=\sqrt{10}\).

விளக்கம். இரண்டாம் தளத்தை \(x+2y+3z+\frac{7}{2}=0\) என எழுதுக. தொலைவு \(=\frac{|7-7/2|}{\sqrt{14}}=\frac{7}{2\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}\).

விளக்கம். \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\); எனவே \(B^{-1}=(AB)^{-1}A\). இங்கு \(A=(A^{-1})^{-1}=\begin{bmatrix}3 & 1\\ 2 & 1\end{bmatrix}\); ஆகவே \(B^{-1}=\begin{bmatrix}2 & -5\\ -3 & 8\end{bmatrix}\).

விளக்கம். \(\int\frac{dx}{\sqrt{4-9x^2}}=\frac{1}{3}\sin^{-1}\frac{3x}{2}\); 0 முதல் \(\frac{2}{3}\) வரை மதிப்பு \(\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}\).

விளக்கம். \(\frac{dy}{dx}\)-ஆல் பெருக்க \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+1=0\); உயர்வரிசை வகைக்கெழு முதல் வரிசை, அதன் அடுக்கு 2; எனவே வரிசை 1, படி 2.