A. இணைப்பிகளின் மெய்மை அட்டவணைகள்
| \( p \) | \( q \) | \( \neg p \) | \( p \wedge q \) | \( p \vee q \) | \( p \rightarrow q \) | \( p \leftrightarrow q \) | \( p \veebar q \) |
|---|
| T | T | F | T | T | T | T | F |
| T | F | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | F | T | T | F | T |
| F | F | T | F | F | T | T | F |
\( n \) எளிய கூற்றுகள் → மெய்மை அட்டவணையில் \( 2^{n} \) வரிசைகள்.
B. தர்க்க சமான விதிகள் (Laws of Logical Equivalence)
- சம வலு விதிகள் (Idempotent): \( p \vee p \equiv p \), \( \quad p \wedge p \equiv p \)
- பரிமாற்று விதிகள் (Commutative): \( p \vee q \equiv q \vee p \), \( \quad p \wedge q \equiv q \wedge p \)
- சேர்ப்பு விதிகள் (Associative): \( p \vee (q \vee r) \equiv (p \vee q) \vee r \), \( \quad p \wedge (q \wedge r) \equiv (p \wedge q) \wedge r \)
- பங்கீட்டு விதிகள் (Distributive): \( p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r) \), \( \quad p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r) \)
- சமனி விதிகள் (Identity): \( p \vee \mathbb{F} \equiv p \), \( \quad p \wedge \mathbb{T} \equiv p \), \( \quad p \vee \mathbb{T} \equiv \mathbb{T} \), \( \quad p \wedge \mathbb{F} \equiv \mathbb{F} \)
- நிரப்பு விதிகள் (Complement): \( p \vee \neg p \equiv \mathbb{T} \), \( \quad p \wedge \neg p \equiv \mathbb{F} \), \( \quad \neg \mathbb{T} \equiv \mathbb{F} \), \( \quad \neg \mathbb{F} \equiv \mathbb{T} \)
- இரட்டை மறுப்பு விதி (Involution / Double Negation): \( \neg(\neg p) \equiv p \)
- டி மார்கன் விதிகள் (De Morgan): \( \neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q \), \( \quad \neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q \)
- ஈர்ப்பு விதிகள் (Absorption): \( p \vee (p \wedge q) \equiv p \), \( \quad p \wedge (p \vee q) \equiv p \)
C. நிபந்தனைக் கூற்று — முக்கியச் சமானங்கள்
- \( p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q \)
- நேர்மாறு சமம்: \( p \rightarrow q \equiv \neg q \rightarrow \neg p \)
- இரு நிபந்தனை: \( p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p) \)
- \( p \rightarrow q \) க்கு — மறுதலை: \( q \rightarrow p \); எதிர்மறை: \( \neg p \rightarrow \neg q \); நேர்மாறு: \( \neg q \rightarrow \neg p \).
D. ஈருறுப்புச் செயலி — பண்புகள்
- அடைவு: \( a, b \in S \Rightarrow a * b \in S \)
- பரிமாற்று: \( a * b = b * a \)
- சேர்ப்பு: \( (a * b) * c = a * (b * c) \)
- முற்றொருமை: \( a * e = e * a = a \) (இருந்தால் தனித்தது)
- நேர்மாறு: \( a * a^{-1} = a^{-1} * a = e \) (சேர்ப்புப் பண்பு இருந்தால் தனித்தது)
E. அடைவுப் பண்பு — விரைவு அட்டவணை
| கணம் | \( + \) | \( - \) | \( \times \) | \( \div \) (பூஜ்ஜியம் நீங்கலாக) |
|---|
| \( \mathbb{N} \) | ஆம் | இல்லை | ஆம் | இல்லை |
| \( \mathbb{Z} \) | ஆம் | ஆம் | ஆம் | இல்லை |
| \( \mathbb{Q} \) | ஆம் | ஆம் | ஆம் | ஆம் |
| \( \mathbb{R} \) | ஆம் | ஆம் | ஆம் | ஆம் |
| \( \mathbb{C} \) | ஆம் | ஆம் | ஆம் | ஆம் |
F. மட்டு எண் கணிதம்
- \( a \equiv b \ (\mathrm{mod}\ n) \iff n \mid (a - b) \)
- \( \mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, \ldots, n-1\} \); இதன் மீது \( +_n \) மற்றும் \( \times_n \) ஈருறுப்புச் செயலிகள்.
G. பூலியன் அணி உறுப்பு விதிகள்
- \( \vee \): \( 0 \vee 0 = 0 \); \( 0 \vee 1 = 1 \vee 0 = 1 \vee 1 = 1 \).
- \( \wedge \): \( 1 \wedge 1 = 1 \); \( 0 \wedge 0 = 0 \wedge 1 = 1 \wedge 0 = 0 \).
