தனிநிலைக் கணிதம் — சூத்திர அட்டவணை / முக்கிய விதிகள்

A. இணைப்பிகளின் மெய்மை அட்டவணைகள்

\( n \) எளிய கூற்றுகள் → மெய்மை அட்டவணையில் \( 2^{n} \) வரிசைகள்.

B. தர்க்க சமான விதிகள் (Laws of Logical Equivalence)

• சம வலு விதிகள் (Idempotent): \( p \vee p \equiv p \), \( \quad p \wedge p \equiv p \)
• பரிமாற்று விதிகள் (Commutative): \( p \vee q \equiv q \vee p \), \( \quad p \wedge q \equiv q \wedge p \)
• சேர்ப்பு விதிகள் (Associative): \( p \vee (q \vee r) \equiv (p \vee q) \vee r \), \( \quad p \wedge (q \wedge r) \equiv (p \wedge q) \wedge r \)
• பங்கீட்டு விதிகள் (Distributive): \( p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r) \), \( \quad p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r) \)
• சமனி விதிகள் (Identity): \( p \vee \mathbb{F} \equiv p \), \( \quad p \wedge \mathbb{T} \equiv p \), \( \quad p \vee \mathbb{T} \equiv \mathbb{T} \), \( \quad p \wedge \mathbb{F} \equiv \mathbb{F} \)
• நிரப்பு விதிகள் (Complement): \( p \vee \neg p \equiv \mathbb{T} \), \( \quad p \wedge \neg p \equiv \mathbb{F} \), \( \quad \neg \mathbb{T} \equiv \mathbb{F} \), \( \quad \neg \mathbb{F} \equiv \mathbb{T} \)
• இரட்டை மறுப்பு விதி (Involution / Double Negation): \( \neg(\neg p) \equiv p \)
• டி மார்கன் விதிகள் (De Morgan): \( \neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q \), \( \quad \neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q \)
• ஈர்ப்பு விதிகள் (Absorption): \( p \vee (p \wedge q) \equiv p \), \( \quad p \wedge (p \vee q) \equiv p \)

C. நிபந்தனைக் கூற்று — முக்கியச் சமானங்கள்

• \( p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q \)
• நேர்மாறு சமம்: \( p \rightarrow q \equiv \neg q \rightarrow \neg p \)
• இரு நிபந்தனை: \( p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p) \)
• \( p \rightarrow q \) க்கு — மறுதலை: \( q \rightarrow p \); எதிர்மறை: \( \neg p \rightarrow \neg q \); நேர்மாறு: \( \neg q \rightarrow \neg p \).

D. ஈருறுப்புச் செயலி — பண்புகள்

• அடைவு: \( a, b \in S \Rightarrow a * b \in S \)
• பரிமாற்று: \( a * b = b * a \)
• சேர்ப்பு: \( (a * b) * c = a * (b * c) \)
• முற்றொருமை: \( a * e = e * a = a \) (இருந்தால் தனித்தது)
• நேர்மாறு: \( a * a^{-1} = a^{-1} * a = e \) (சேர்ப்புப் பண்பு இருந்தால் தனித்தது)

E. அடைவுப் பண்பு — விரைவு அட்டவணை

F. மட்டு எண் கணிதம்

• \( a \equiv b \ (\mathrm{mod}\ n) \iff n \mid (a - b) \)
• \( \mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, \ldots, n-1\} \); இதன் மீது \( +_n \) மற்றும் \( \times_n \) ஈருறுப்புச் செயலிகள்.

G. பூலியன் அணி உறுப்பு விதிகள்

• \( \vee \): \( 0 \vee 0 = 0 \); \( 0 \vee 1 = 1 \vee 0 = 1 \vee 1 = 1 \).
• \( \wedge \): \( 1 \wedge 1 = 1 \); \( 0 \wedge 0 = 0 \wedge 1 = 1 \wedge 0 = 0 \).