அணிகள் & அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் — படிப்புக் குறிப்புகள்

அறிமுகம்

இந்த அத்தியாயம் அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளை நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்துகிறது. முக்கியக் கருத்துகள்: சேர்ப்பு அணி, நேர்மாறு அணி, அணியின் தரம், தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் (elementary transformations) மற்றும் மூன்று தீர்வு முறைகள் — நேர்மாறு அணி முறை, கிராமரின் விதி, காஸ்-ஜோர்டான் (Gaussian) நீக்கல் முறை.

1. சேர்ப்பு அணி (Adjoint)

\( n \times n \) அணி \( A \) -யின் சேர்ப்பு அணி \( \operatorname{adj} A \) என்பது இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்றியாகும். அடிப்படை முற்றொருமை:

\[ A(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{adj} A)A = \lvert A \rvert\, I_{n}. \]

முக்கியப் பண்புகள்:

• \( \lvert \operatorname{adj} A \rvert = \lvert A \rvert^{\,n-1} \)
• \( \operatorname{adj}(kA) = k^{\,n-1}\operatorname{adj} A \)
• \( \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = \lvert A \rvert^{\,n-2} A \) (\( \lvert A \rvert \neq 0 \) எனில்)
• \( \lvert \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) \rvert = \lvert A \rvert^{(n-1)^{2}} \)
• \( \operatorname{adj}(AB) = (\operatorname{adj} B)(\operatorname{adj} A) \)

2. நேர்மாறு அணி (Inverse)

\( \lvert A \rvert \neq 0 \) எனில் (கோவையற்ற அணி) மட்டுமே நேர்மாறு உள்ளது:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\lvert A \rvert}\,\operatorname{adj} A. \]

பண்புகள்: \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \), \( (A^{-1})^{-1} = A \), \( (kA)^{-1} = \tfrac{1}{k}A^{-1} \), \( (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T} \), மற்றும் \( \lvert A^{-1} \rvert = \dfrac{1}{\lvert A \rvert} \).

3. அணியின் தரம் (Rank)

அணி \( A \) -யின் தரம் \( \rho(A) \) என்பது, பூஜ்ஜியமற்ற கோவையைக் கொண்ட மிகப் பெரிய சிற்றணியின் வரிசை. தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் மூலம் அணியை படிநிலை (row-echelon) வடிவிற்கு மாற்றினால், தரம் = பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை.

• \( \rho(A) = \rho(A^{T}) \)
• \( n \times n \) கோவையற்ற அணிக்கு \( \rho(A) = n \) (\( \lvert A \rvert \neq 0 \))
• \( m \times n \) அணிக்கு \( \rho(A) \le \min(m, n) \)

4. தீர்வு முறைகள் — ஒருங்கமைவுத் தன்மை

\( AX = B \) தொகுப்பின் ஒருங்கமைவை (consistency) தரம் மூலம் ஆராயலாம்:

• \( \rho(A) = \rho([A\mid B]) = \) மாறிகளின் எண்ணிக்கை \( \Rightarrow \) தனித்த ஒரே தீர்வு.
• \( \rho(A) = \rho([A\mid B]) < \) மாறிகளின் எண்ணிக்கை \( \Rightarrow \) எண்ணற்ற தீர்வுகள் (\( k \)-அளபுரு குடும்பம், இங்கு \( k = \) மாறிகள் \( - \rho(A) \)).
• \( \rho(A) < \rho([A\mid B]) \Rightarrow \) தீர்வே இல்லை (ஒருங்கமைவற்றது).

5. ஒருபடித் தொகுப்பு \( AX = O \)

இது எப்போதும் ஒருங்கமைவுடையது (குறைந்தபட்சம் வெளிப்படைத் தீர்வு \( X = O \) உண்டு).

• \( \lvert A \rvert \neq 0 \) (தரம் = மாறிகள்) \( \Rightarrow \) வெளிப்படைத் தீர்வு மட்டுமே.
• \( \lvert A \rvert = 0 \) (தரம் < மாறிகள்) \( \Rightarrow \) வெளிப்படையற்ற தீர்வுகளும் உண்டு.

6. பயன்பாடு — சங்கேத மொழியியல் (Cryptography)

எண்ம அணி \( A \) (கோவையற்றது) மூலம் செய்தியைச் சங்கேதப்படுத்தலாம் (\( C = MA \)); மீட்க \( M = C A^{-1} \). எனவே மொழிமாற்றத்திற்கு \( A^{-1} \) இன்றியமையாதது.

தேர்வில் கவனிக்க வேண்டிய பொதுத் தவறுகள்

• \( (AB)^{-1} \) மற்றும் \( (AB)^{T} \) -ல் வரிசை தலைகீழாகும் — \( B^{-1}A^{-1} \), \( B^{T}A^{T} \).
• \( \operatorname{adj} \) மற்றும் கோவைப் பண்புகளில் அடுக்கு \( n-1 \), \( n-2 \), \( (n-1)^{2} \) ஆகியவற்றைக் குழப்பிக் கொள்ளாதீர்.
• \( \lvert kA \rvert = k^{n}\lvert A \rvert \) (கோவைக்கு) ஆனால் \( \operatorname{adj}(kA) = k^{n-1}\operatorname{adj}A \) — இரண்டும் வேறு.
• வெளிப்படையற்ற தீர்வுக்கு (ஒருபடித் தொகுப்பு) நிபந்தனை \( \lvert A \rvert = 0 \), இல்லாதது அல்ல.