இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல்-II: ஒரு மதிப்பெண் ஆன்லைன் தேர்வு (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல்)

விளக்கம். வட்டம் \(y\)-அச்சைத் தொடுவதால், \(x=0\) எனப் பிரதியிட்டால் கிடைக்கும் \(y\)-இல் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரே ஒரு (இரட்டை) மூலம் இருக்க வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் \(x=0\) எனப் பிரதியிட \(y^2 + (3\lambda-6)y + (9-19\lambda) = 0\) கிடைக்கிறது. தொடுநிபந்தனை \(b^2 - 4ac = 0\) என்பதால் \((3\lambda-6)^2 - 4(9-19\lambda) = 0\). சுருக்க \(9\lambda^2 + 40\lambda = 0\), அதாவது \(\lambda(9\lambda + 40) = 0\). எனவே \(\lambda = 0\) அல்லது \(\lambda = -\dfrac{40}{9}\). விடை (a).

விளக்கம். அதிபரவளையம் \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) எனக் கொள்க. செவ்வகலம் \(\dfrac{2b^2}{a} = 8\). துணையச்சின் நீளம் \(2b\); குவியங்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் \(2ae\). கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைப்படி \(2b = \dfrac{1}{2}(2ae)\), அதாவது \(b = \dfrac{ae}{2}\), எனவே \(b^2 = \dfrac{a^2 e^2}{4}\). மேலும் \(b^2 = a^2(e^2-1)\). இவ்விரண்டையும் சமப்படுத்த \(a^2(e^2-1) = \dfrac{a^2 e^2}{4}\), அதாவது \(e^2 - 1 = \dfrac{e^2}{4}\). இதிலிருந்து \(\dfrac{3e^2}{4} = 1\), \(e^2 = \dfrac{4}{3}\), எனவே \(e = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\). விடை (c).

விளக்கம். வட்டத்தை \(x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0\) என எழுதலாம்; மையம் \((2,4)\), ஆரம் \(r = \sqrt{4+16+5} = 5\). ஒரு நேர்க்கோடு வட்டத்தை வெவ்வேறு இரு புள்ளிகளில் வெட்ட, மையத்திலிருந்து அந்நேர்க்கோட்டிற்கு உள்ள செங்குத்துத் தூரம் ஆரத்தைவிடக் குறைவாக இருக்க வேண்டும். \(3x - 4y - m = 0\)-க்கு மையத்திலிருந்து தூரம் \(\dfrac{|3(2)-4(4)-m|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|m+10|}{5}\). எனவே \(\dfrac{|m+10|}{5} < 5\), அதாவது \(|m+10| < 25\). இதிலிருந்து \(-25 < m+10 < 25\), அதாவது \(-35 < m < 15\). விடை (4).

விளக்கம். வட்டம் \(x\)-அச்சை \((1,0)\)-ல் தொடுவதால், மையம் அப்புள்ளிக்கு நேர் மேலே \((1,k)\)-ல் அமையும்; ஆரம் \(|k|\). \((2,3)\) வழியாகச் செல்வதால் \((2-1)^2 + (3-k)^2 = k^2\). சுருக்க \(1 + 9 - 6k = 0\), அதாவது \(6k = 10\), \(k = \dfrac{5}{3}\). எனவே விட்டம் \(2k = \dfrac{10}{3}\). விடை (c).

விளக்கம். வட்டமாக இருக்க \(x^2\) மற்றும் \(y^2\)-ன் கெழுக்கள் சமமாக இருக்க வேண்டும்; எனவே \(3 = b\), அதாவது \(b = 3\). பிரதியிட \(3x^2 + 3y^2 + 12x - 18y + 9 = 0\); \(3\)-ஆல் வகுக்க \(x^2 + y^2 + 4x - 6y + 3 = 0\). இங்கு \(g = 2,\ f = -3,\ c = 3\). எனவே ஆரம் \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{4 + 9 - 3} = \sqrt{10}\). விடை (c).

விளக்கம். \(x^2 - 8x + 12 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-6) = 0 \Rightarrow x = 2, 6\) — இவை இரு நிலைக்குத்துக் கோடுகள். \(y^2 - 14y + 45 = 0 \Rightarrow (y-5)(y-9) = 0 \Rightarrow y = 5, 9\) — இவை இரு கிடைக்கோடுகள். இரு சோடிக் கோடுகளும் \(4\) அலகு இடைவெளியில் உள்ளதால் இது ஒரு சதுரம்; உள்வட்டத்தின் மையம் சதுரத்தின் மையமே: \(\left(\dfrac{2+6}{2}, \dfrac{5+9}{2}\right) = (4, 7)\).

விளக்கம். வட்டத்தின் ஒவ்வொரு செங்கோடும் அதன் மையம் வழியாகச் செல்லும். இங்கு மையம் \((1,1)\). \(2x + 4y = 3\)-க்கு இணையான கோடு \(2x + 4y + \lambda = 0\) வடிவில் இருக்கும். இது \((1,1)\) வழியாகச் செல்வதால் \(2 + 4 + \lambda = 0\), அதாவது \(\lambda = -6\). எனவே செங்கோடு \(2x + 4y - 6 = 0\), சுருக்க \(x + 2y = 3\). விடை (a).

விளக்கம்.

நீள்வட்டத்தின் வரையறுக்கும் பண்பு: அதன் மீதுள்ள எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் இரு குவியங்களுக்கு உள்ள தூரங்களின் கூடுதல் நெட்டச்சின் நீளம் \(2a\) -க்குச் சமம்.

இங்கு \(a^{2}=16\), எனவே \(a=4\); ஆகவே \(PF_{1}+PF_{2}=2a=8\).

விளக்கம். வட்டத்தின் எந்த இரு விட்டங்களும் மையத்தில் வெட்டிக்கொள்வதால், மையம் என்பது இவ்விரு நேர்க்கோடுகளின் வெட்டுப்புள்ளி. \(x + y = 6\) மற்றும் \(x + 2y = 4\)-ஐத் தீர்க்க, கழித்தால் \(-y = 2 \Rightarrow y = -2\), பிறகு \(x = 8\). எனவே மையம் \((8,-2)\). ஆரம் என்பது மையத்திலிருந்து \((6,2)\)-க்கு உள்ள தூரம்: \(\sqrt{(8-6)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). விடை (b).

விளக்கம். முதல் அதிபரவளையத்தின் குவியங்கள் \((\pm c, 0)\), இங்கு \(c^2 = a^2 + b^2\); அதாவது \((\pm\sqrt{a^2+b^2},\,0)\). துணை அதிபரவளையமாகிய \(-1\)-ன் குவியங்கள் \((0,\ \pm\sqrt{a^2+b^2})\). இந்நான்கு குவியங்களும் ஒரு சாய்சதுரத்தின் முனைகள்; அதன் இரு மூலைவிட்டங்களும் தலா \(2\sqrt{a^2+b^2}\) நீளமுடையவை, மேலும் அவை செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்கின்றன. செங்குத்து மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு \(\dfrac{1}{2} d_1 d_2 = \dfrac{1}{2}\big(2\sqrt{a^2+b^2}\big)\big(2\sqrt{a^2+b^2}\big) = 2(a^2 + b^2)\). விடை (b).

விளக்கம்.

\(y^{2}=4x\) -க்கு \(a=1\); எனவே செவ்வகலத்தின் முனைகள் \((1,2)\) மற்றும் \((1,-2)\). அப்புள்ளிகளில் தொடுகோட்டின் சாய்வுகள் \(\dfrac{2a}{y_{1}}=\pm1\); ஆகவே செங்குத்துக் கோடுகளின் சாய்வுகள் \(\mp1\).

இரு செங்குத்துக் கோடுகள்

\[x+y=3\qquad\text{மற்றும்}\qquad x-y=3.\]

ஒவ்வொன்றும் \((3,-2)\) -ஐ மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் தொடுகோடு என்பதால், மையத்திலிருந்து ஏதேனும் ஒரு கோட்டிற்கு உள்ள தூரமே \(r\):

\[r=\frac{|3+(-2)-3|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.\]

விளக்கம். \(y^2 = 12x\) எனில் \(4a = 12\), \(a = 3\). கோட்டை \(y = -x + k\) என எழுதலாம்; எனவே சாய்வு \(m = -1\), \(c = k\). \(y = mx + c\) என்பது \(y^2 = 4ax\)-க்குச் செங்கோடாக இருக்க நிபந்தனை \(c = -2am - am^3\). பிரதியிட \(k = -2(3)(-1) - 3(-1)^3 = 6 + 3 = 9\). விடை (d).

விளக்கம். \(E_1\)-ன் \(a = 3,\ b = 2\); எனவே அதைச் சூழும் செவ்வகம் \(R\)-ன் முனைகள் \((\pm 3, \pm 2)\). \(E_2\) இம்முனைகள் வழியாகவும் \((0,4)\) வழியாகவும் செல்கிறது. \(E_2 : \dfrac{x^2}{A^2} + \dfrac{y^2}{B^2} = 1\) எனக் கொள்க. \((0,4)\) வழியாகச் செல்வதால் \(B^2 = 16\). \((3,2)\) வழியாகச் செல்வதால் \(\dfrac{9}{A^2} + \dfrac{4}{16} = 1 \Rightarrow \dfrac{9}{A^2} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow A^2 = 12\). \(B^2 = 16 > A^2 = 12\) என்பதால் நெட்டச்சு \(y\)-அச்சில் உள்ளது; எனவே \(e^2 = 1 - \dfrac{A^2}{B^2} = 1 - \dfrac{12}{16} = \dfrac{1}{4}\), \(e = \dfrac{1}{2}\). விடை (c).

விளக்கம்.

\(2x-y=1\) -க்கு இணையான தொடுகோடுகளின் சாய்வு \(m=2\). \(\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{4}=1\) மீதுள்ள \((x_{1},y_{1})\) என்ற புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சாய்வு \(\dfrac{4x_{1}}{9y_{1}}\). இதை \(2\) -க்குச் சமப்படுத்த \(x_{1}=\dfrac{9y_{1}}{2}\).

அதிபரவளையச் சமன்பாட்டில் பிரதியிட:

\[\frac{(9y_{1}/2)^{2}}{9}-\frac{y_{1}^{2}}{4}=1\ \Longrightarrow\ \frac{9y_{1}^{2}}{4}-\frac{y_{1}^{2}}{4}=1\ \Longrightarrow\ y_{1}^{2}=\frac{1}{2}.\]

\(y_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) எனக் கொள்ள \(x_{1}=\dfrac{9}{2\sqrt{2}}\); எனவே ஒரு தொடுபுள்ளி \(\left(\dfrac{9}{2\sqrt{2}},\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\).

விளக்கம். \(a^2 = 16,\ b^2 = 9\). மையத்தொலைத்தகவு \(e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\). எனவே குவியங்கள் \((\pm ae, 0) = (\pm\sqrt{7}, 0)\). வட்டத்தின் மையம் \((0,3)\); அது \((\sqrt{7}, 0)\) வழியாகச் செல்வதால் \(r^2 = (\sqrt{7})^2 + (0-3)^2 = 7 + 9 = 16\). எனவே \(x^2 + (y-3)^2 = 16\), அதாவது \(x^2 + y^2 - 6y + 9 = 16\), சுருக்க \(x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0\). விடை (a).

விளக்கம். \(T\) வட்டத்தின் மையம் \((0,y)\); அது ஆதி வழியாகச் செல்வதால் அதன் ஆரம் \(|y|\). \(T\), வட்டம் \(C\) (மையம் \((1,1)\), ஆரம் \(1\))-ஐ வெளிப்புறமாகத் தொடுவதால், மையங்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் இரு ஆரங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்: \(\sqrt{(1-0)^2 + (1-y)^2} = 1 + y\) (இங்கு \(y > 0\)). இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த \(1 + (1-y)^2 = (1+y)^2\), அதாவது \(2 - 2y = 1 + 2y\). எனவே \(4y = 1\), \(y = \dfrac{1}{4}\). எனவே \(T\)-ன் ஆரம் \(\dfrac{1}{4}\). விடை (d).

விளக்கம். \(2ae = 6 \Rightarrow ae = 3\); \(e = \dfrac{3}{5}\) என்பதால் \(a = 5\). \(b^2 = a^2(1 - e^2) = 25\left(1 - \dfrac{9}{25}\right) = 16 \Rightarrow b = 4\). நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் நெட்டச்சு \((2a = 10)\) மற்றும் குற்றச்சு \((2b = 8)\); இவை செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்கின்றன. எனவே பரப்பு \(\dfrac{1}{2} d_1 d_2 = \dfrac{1}{2}(10)(8) = 40\). விடை (d).

விளக்கம். செவ்வகத்தின் முனைகளை \((\pm a\cos\theta,\ \pm b\sin\theta)\) எனக் கொள்க. அப்போது நீளம் \(2a\cos\theta\), அகலம் \(2b\sin\theta\); எனவே பரப்பு \(A = (2a\cos\theta)(2b\sin\theta) = 2ab\sin 2\theta\). \(\sin 2\theta\)-ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(1\) (அதாவது \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\)) ஆகும்போது \(A\) மீப்பெரியதாகும்: \(A_{\max} = 2ab\). விடை (a).

விளக்கம். \(B\) என்பது குற்றச்சின் முனை \((0,b)\). ஒரு குவியத்திலிருந்து குற்றச்சின் முனைக்கு உள்ள தூரம் \(a\) ஆகும்; எனவே \(FB = F'B = a\). \(FF' = 2ae\). \(\angle FBF' = 90^\circ\) ஆதலால் \(FB^2 + F'B^2 = FF'^2\), அதாவது \(a^2 + a^2 = (2ae)^2\). எனவே \(2a^2 = 4a^2 e^2\), \(e^2 = \dfrac{1}{2}\), \(e = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\). விடை (a).

விளக்கம்.

இத்தொடர்பை குவியம்–இயக்குவரை விதியாகப் பார்க்கலாம். இடப்பக்கம் \((x,y)\) -லிருந்து குவியம் \((3,4)\) -க்கு உள்ள தூரத்தின் வர்க்கம்; வலப்பக்கம் \(\dfrac{1}{9}\,y^{2}\), அதாவது \((x,y)\) -லிருந்து \(y=0\) என்ற கோட்டிற்கு உள்ள தூரத்தின் வர்க்கத்தின் \(\dfrac{1}{9}\) மடங்கு.

எனவே \(PF^{2}=e^{2}\,PM^{2}\), இங்கு \(e^{2}=\dfrac{1}{9}\); ஆகவே \(e=\dfrac{1}{3}<1\) — இது ஒரு நீள்வட்டம்.

விளக்கம். ஒரு பரவளையத்திற்குச் செங்குத்தான இரு தொடுகோடுகள் வரையப்படும் புள்ளியின் நியமப்பாதை அதன் இயக்குவரை ஆகும். \(y^2 = 4x\) எனில் \(4a = 4\), \(a = 1\); இயக்குவரை \(x = -a = -1\). விடை (b).

விளக்கம். வட்டம் \(x\)-அச்சை \((3,0)\)-ல் தொடுவதால் மையம் \((3,k)\), ஆரம் \(|k|\); சமன்பாடு \((x-3)^2 + (y-k)^2 = k^2\), அதாவது \((x-3)^2 + y^2 - 2ky = 0\). \((1,-2)\) வழியாகச் செல்வதால் \((1-3)^2 + (-2)^2 - 2k(-2) = 0\), அதாவது \(4 + 4 + 4k = 0\), \(k = -2\). எனவே வட்டம் \(x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0\). \((5,-2)\)-ஐப் பிரதியிட \(25 + 4 - 30 - 8 + 9 = 0\) என்பதால் அப்புள்ளி இவ்வட்டத்தின் மீது அமைகிறது. விடை (c).

விளக்கம். இங்கு குவியம் \((-2,0)\), இயக்குவரை \(x = -\dfrac{9}{2}\), மையத்தொலைத்தகவு \(e = \dfrac{2}{3}\). குவியம்–இயக்குவரை வரையறைப்படி \(e < 1\) எனில் நியமப்பாதை ஒரு நீள்வட்டம்; \(\dfrac{2}{3} < 1\) என்பதால் அது ஒரு நீள்வட்டம். விரிவாகக் கணக்கிட்டால் சமன்பாடு \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1\) எனக் கிடைக்கும். விடை (c).

விளக்கம். \(16x^2 - 9y^2 = 144\)-ஐ \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1\) என எழுதலாம்; \(a^2 = 9,\ b^2 = 16\). \(y = mx + c\) தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை \(c^2 = a^2 m^2 - b^2\). இங்கு \(c = 2\sqrt{5}\), எனவே \((2\sqrt{5})^2 = 9m^2 - 16\), அதாவது \(20 + 16 = 9m^2\), \(m^2 = 4\), \(m = \pm 2\). இவையே \(x^2 - (a+b)x - 4 = 0\)-ன் மூலங்கள். மூலங்களின் கூடுதல் \(a + b = 2 + (-2) = 0\) (பெருக்கல் \((2)(-2) = -4\) என்பதும் சரிபார்க்கப்படுகிறது). விடை (c).

விளக்கம். வட்டத்தின் மையம் \((-g, -f)\); இங்கு \(2g = -8 \Rightarrow g = -4\), \(2f = -4 \Rightarrow f = -2\); எனவே மையம் \((4,2)\). விட்டத்தின் நடுப்புள்ளியே வட்டத்தின் மையம். ஒரு முனை \((11,2)\) எனில், மறுமுனை \((2(4) - 11,\ 2(2) - 2) = (-3, 2)\). விடை (b).