அத்தியாயம் 5 — இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல்-II: படிப்புக் குறிப்புகள்

1. வட்டம் (Circle)

மையம் \((h,k)\), ஆரம் \(r\) கொண்ட வட்டத்தின் இலக்கண வடிவம் \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\). பொது வடிவம் \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\); இதன் மையம் \((-g,-f)\), ஆரம் \(\sqrt{g^2 + f^2 - c}\). ஒரு பொதுச் சமன்பாடு வட்டமாக இருக்க \(x^2,\ y^2\)-ன் கெழுக்கள் சமமாகவும் \(xy\) உறுப்பு இல்லாமலும் இருக்க வேண்டும்.

• வட்டம் \(x\)-அச்சைத் தொட்டால் மையம் \((h,\pm r)\) வடிவில்; \(y\)-அச்சைத் தொட்டால் மையம் \((\pm r, k)\) வடிவில் இருக்கும்.
• \((x_1,y_1)\)-ல் வட்டம் \(x^2+y^2=a^2\)-க்குத் தொடுகோடு: \(xx_1 + yy_1 = a^2\); செங்கோடு மையம் வழியாகச் செல்லும்.
• \(y = mx + c\) என்பது \(x^2+y^2=a^2\)-க்குத் தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை \(c^2 = a^2(1+m^2)\).

2. கூம்பு வளைவுகள் (Conics)

நிலைக்கோட்டிலிருந்து (இயக்குவரை) ஒரு புள்ளியின் தூரத்திற்கும், ஒரு நிலைப்புள்ளியிலிருந்து (குவியம்) அதன் தூரத்திற்கும் உள்ள விகிதம் மாறிலியாக இருக்கும்போது அப்புள்ளியின் நியமப்பாதை ஒரு கூம்பு வளைவு. இம்மாறிலியே மையத்தொலைத்தகவு \(e\).

• \(e = 1\) எனில் பரவளையம், \(e < 1\) எனில் நீள்வட்டம், \(e > 1\) எனில் அதிபரவளையம்.
• பரவளையம்: \(y^2 = 4ax\) (வலப்புறம் திறந்தது), முனை \((0,0)\), குவியம் \((a,0)\), இயக்குவரை \(x = -a\), செவ்வகலம் \(4a\).
• நீள்வட்டம்: \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b)\); \(b^2 = a^2(1 - e^2)\), குவியங்கள் \((\pm ae, 0)\), செவ்வகலம் \(\dfrac{2b^2}{a}\).
• அதிபரவளையம்: \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\); \(b^2 = a^2(e^2 - 1)\), குவியங்கள் \((\pm ae, 0)\), செவ்வகலம் \(\dfrac{2b^2}{a}\), தொலைத்தொடுகோடுகள் \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\).

3. தொடுகோடு மற்றும் தொடுகோடு நிபந்தனைகள்

• பரவளையம் \(y^2 = 4ax\): \(y = mx + c\) தொடுகோடாக இருக்க \(c = \dfrac{a}{m}\); தொடுபுள்ளி \(\left(\dfrac{a}{m^2}, \dfrac{2a}{m}\right)\).
• நீள்வட்டம்: தொடுகோடு நிபந்தனை \(c^2 = a^2 m^2 + b^2\).
• அதிபரவளையம்: தொடுகோடு நிபந்தனை \(c^2 = a^2 m^2 - b^2\).

4. பொதுச் சமன்பாட்டிலிருந்து கூம்பு வளைவை அடையாளம் காணல்

\(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\) என்ற சமன்பாட்டில் \(B = 0\) எனக் கொள்ளும்போது: \(A = C\) எனில் வட்டம்; \(A,\ C\)-ல் ஒன்று மட்டும் பூச்சியம் (மற்றொன்று பூச்சியமற்றது) எனில் பரவளையம்; \(A,\ C\) ஒரே குறி கொண்டு வேறுபட்டால் நீள்வட்டம்; \(A,\ C\) எதிர் குறிகள் கொண்டால் அதிபரவளையம்.

5. தேர்வில் கவனிக்க வேண்டிய பொதுத் தவறுகள்

• நெட்டச்சு எந்த அச்சில் உள்ளது என்பதைக் கணக்கிட \(a^2\)-ன் இடம் (வகுஎண்களில் பெரியது எங்கு உள்ளது) என்பதைப் பாருங்கள்; சில கணக்குகளில் நெட்டச்சு \(y\)-அச்சில் இருக்கும்.
• நீள்வட்டத்திற்கு \(b^2 = a^2(1 - e^2)\); அதிபரவளையத்திற்கு \(b^2 = a^2(e^2 - 1)\) — அடையாளக் குறிகளைக் குழப்பிக்கொள்ள வேண்டாம்.
• வட்டம் ஒரு அச்சைத் தொடும்போது மையத்தின் ஒரு ஆயம் \(\pm r\)-க்குச் சமம் என்பதைப் பயன்படுத்துங்கள்.
• தொடுகோடு நிபந்தனை \(b^2 - 4ac = 0\) என்பதை, ஒரு நேர்க்கோடு வளைவைத் தொடுகிறதா என்பதைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தலாம்.